河南省创新发展联盟2019-2020学年高二下学期第二次联考数学（文）试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com 数学（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：人教A版必修5，选修1-1，1-2，4-4.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接用复数的除法运算有，可以得出复数，得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎2.下列关于高中数学中的圆锥曲线的内容结构图正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线可得答案.‎ - 21 -‎ ‎【详解】由圆锥曲线内容可知C项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查结构图的理解，属于基础题.‎ ‎3.已知函数，则（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，令可得，则可得答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 则，‎ 故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查导数的运算法则，注意是一个具体的数字，属于基础题.‎ ‎4.用反证法证明命题“已知，如果可被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时,假设的内容应为（ ）‎ A. 都不能被3整除 B. 都能被3整除 C. 不都能被3整除 D. 不能被3整除 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据用反证法证明命题时，应否定命题的结论，即假设命题不成立，即可得出答案.‎ - 21 -‎ ‎【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证，“中至少有一个能被3整除”的否定是“都不能被3整除”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查用反证法证明命题时应该怎样假设的问题，注意反证法证明命题的步骤和否定的写法，属于基础题.‎ ‎5.已知呈线性相关的变量与的部分数据如表所示： ‎ 若其回归直线方程是，则（ ）‎ A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，，再根据回归方程过样本中心，可求出参数的值.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 则，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据回归方程过样本中心求原始数据，注意不能将代入回归方程求的值 ，属于中档题.‎ ‎6.已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，即得出答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ - 21 -‎ 所以，则 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和的公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎7.下列结论中，正确的是（ ）‎ A. 命题“”的否定是“”‎ B. 若命题“”为真命题,则命题“”为真命题 C. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ D. “”是“命题‘’为真命题”的充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 写出全称命题的否定即可判断A 不正确.B. 若命题“”为真命题,则命题至少有一个为真命题，可判断B不正确.C. 写出命题“若，则”的否命题，可判断C不正确.D. 先求出命题“”为真命题时，参数的范围，从而可以判断D正确.‎ ‎【详解】命题“，”的否定是“，”，则A错误；‎ 若命题“”为真命题，则、一真一假或全真，‎ 则命题“”可能为真命题，也可能为假命题，则B错误；‎ 命题“若，则”的否命题是“若，则”，则C错误；‎ 由“，”，得“”，故“”是“命题‘，’为真命题”的充分不必要条件，D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定、否命题的书写，根据充分条件求参数的范围，属于中档题.‎ - 21 -‎ ‎8.为测出湖面上小船的速度（假设小船保持匀速），现采用如下方法:在岸边设置相距30米的两个观察点，当小船在处时，测得，，经过5秒后，小船直线航行到处，测得，，则该小船的航行速度是（ ）‎ A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中,求出边，在中求出，在中，，然后再求船的速度.‎ ‎【详解】在中，因为，，所以，所以.‎ 则.‎ 在中，因为，，所以，‎ 则，得.‎ 在中，因为，，所以，‎ 则，‎ 故该小船的航行速度是米/秒.‎ 故选：A.‎ 点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.‎ - 21 -‎ ‎9.已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则点到直线的距离,然后根据三角函数求出最值.‎ ‎【详解】设，则点到直线的距离 ‎.‎ 因为，所以，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于中档题.‎ ‎10.在锐角中,角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理结合可得，再根据条件是锐角三角形，可得，由正弦定理可得，根据角的范围求出答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，则.即.‎ - 21 -‎ 因为是锐角三角形，所以解得 由正弦定理可得 ‎，‎ 因为，所以，则，即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】利用正弦定理进行边角的互化和利用和角和倍角公式进行化简求范围，属于中档题 .‎ ‎11.知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先讨论当点在椭圆上时，角的最大时，点的位置，要使得椭圆上存在点满足，则只需最大时的值大于等于，如图设椭圆的一个短轴的端点为，即只需，然后可以列出不等式解出参数的范围.‎ ‎【详解】先讨论当点在椭圆上时，角的最大时，点的位置.‎ - 21 -‎ 当且仅当时取得等号,即当点在椭圆的短轴的端点上时，最小.‎ 此时最大.‎ 要使得椭圆上存在点满足，则只需最大时的值大于等于.‎ 如图设椭圆的一个短轴的端点为，即只需.‎ 当椭圆的焦点在轴上时，‎ 由题意可得，‎ 当椭圆的焦点在轴上时，.‎ 或，‎ 解得或 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查点在椭圆上时，角的最大时，点的位置以及根据这一结论解决椭圆中的参数问题，属于中档题.‎ ‎12.已知是函数的导数，，且，则不等式的解集是（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则,可得在上单调递增，不等式化为，由函数单调性可得答案.‎ ‎【详解】设，则.‎ 因为，所以，所以在上单调递增.‎ 因为，所以，‎ 不等式，即，所以，即.‎ 即，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查构造函数，利用导数得出单调性，利用函数单调性解不等式，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知点在双曲线上，则双曲线的离心率是_____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入双曲线方程求出，再计算出，得出离心率.‎ ‎【详解】由题意可得，解得，所以，‎ 故双曲线的离心率是 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查利用点在双曲线上求参数和离心率，属于基础题.‎ - 21 -‎ ‎14.已知，，且，则的最大值等于__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用基本不等式的变形，化简整理即可得所求最大值．‎ ‎【详解】 且 ‎ 则 ‎ 当且仅当 ，取得等号 则 的最大值为8‎ 故答案为8‎ ‎【点睛】本题主要考查的是基本不等式的合理运用及其变形．‎ ‎15.已知函数.若，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算出，，，……猜想出.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为（，），‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，….‎ - 21 -‎ 依次类推可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，归纳推理的步骤：1、通过观察个别情况发现某些相同性质；2、从已知的相同性质中推导出一个明确表达式得一般性质.属于中档题.‎ ‎16.已知数列的前项和与前项积分别为且，则使的的最小值为_____________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，得到，求出，再由解出的范围.‎ ‎【详解】因为，所以当时，，所以.‎ 当时，，所以，‎ 所以，即，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，则，‎ 故.‎ 因为，所以，所以，解得.‎ 因为，所以的最小值为5.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由和的递推关系求通项公式，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.今年消毒液和口罩成了抢手年货，老百姓几乎人人都需要,但对于这种口罩，大多数人不是很了解.现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人，在接受调查的40人中，对于这种口罩了解的占，其中45岁以上（含45岁）的人数占.‎ ‎（1）将答题卡上的列联表补充完整；‎ - 21 -‎ ‎（2）判断是否有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意先计算出对于这种口罩了解的人有20人，其中45岁以上（含45岁）的人数有5人，完成表格；‎ ‎（2）由题意先求出，然后再作判断.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得对于这种口罩了解的人数为40×50%=20，‎ 则45岁以上的人对这种口罩了解的人数为.‎ 故列联表如下：‎ 了解 不了解 总计 ‎45岁以下 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎45岁以上（含45岁）‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（2）由题意可得，‎ 因为，所以有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查完善列联表，考查独立性检验，属于基础题.‎ ‎18.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标系方程；‎ ‎（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的参数方程消去参数，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的极坐标方程；由曲线的方程化为，由此能求出的极坐标方程．‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，令，则，从而，又，由此转化为三角函数能求出的最大值．‎ ‎【详解】（1）由题可知直线的普通方程为，‎ 直线的极坐标方程为.‎ 曲线的普通方程为，‎ 因为，‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，令，‎ 则，所以.‎ - 21 -‎ 又，‎ 所以，‎ 因为，则的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与曲线的极坐标方程的求法，考查线段和的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19.在中，角所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）28.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由结合正弦定理可得，进一步可得，得到答案；‎ ‎（2）由正弦定理结合条件有，可求出，再结合余弦定理可求出边或，经检验时不满足条件，得出答案.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 即，则.‎ 所以或（舍去），所以；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 由正弦定理有,即 所以 - 21 -‎ 由余弦定理得，‎ 所以，即，‎ 所以，解得或.‎ 当时，的周长为；‎ 当时，因为，所以，‎ 所以，所以，此时与矛盾，‎ 故不符合题意.‎ 综上，的周长为28.‎ ‎【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.‎ ‎20.某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019年9月至2020年1月每月8号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎2019年9月8日 ‎2019年10月8日 ‎2019年11月8日 ‎2019年12月8日 ‎2020年1月8日 昼夜温差 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎16‎ 就诊人数 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎35‎ 该医务室确定的研究方案是先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.假设选取的是2019年9月8日与2020年1月8日的2组数据.‎ ‎（1）求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程 （结果精确到0.01）‎ ‎（2）若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）该医务室所得线性回归方程是理想的.‎ - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出，然后由公式求出，再由回归直线过样本中心得出. (2)将和代入回归直线方程求出估计数据，然后与检验数据进行比较，看误差是否超过3人,从而得出答案.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，，‎ 则，‎ ‎，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 因为，且，‎ 所以该医务室所得线性回归方程是理想的.‎ ‎【点睛】本题考查求回归直线方程和利用数据检验回归方程是否理想，属于基础题.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）讨论在上的零点个数.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，在上没有零点，当时，在上只有一个零点，当时，在上有两个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的导函数，分类讨论参数，得出的单调性；‎ - 21 -‎ ‎（2）转化问题，原函数有零点即函数有解，求导得出的单调性和极值，分类讨论得出在上的零点个数.‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 当时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ 当时，‎ 令，得，令，得.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 综上所述，当时，在上单调递减，‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）令，得，‎ 设，则.‎ 令，得，‎ 令，得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，则.‎ 当时，在上无解，所以在上没有零点；‎ 当时，在上有且仅一个解，所以在上有一个零点；‎ 当时，在上有两个解，所以在上有两个零点.‎ 综上，当时，在上没有零点；‎ - 21 -‎ 当时，上只有一个零点；‎ 当时，在上有两个零点.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数单调性，利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问题，考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是中档题.‎ ‎22.已知抛物线的焦点为是抛物线上的任意一点.当轴时，的面积为4（为坐标原点）.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若，连接并延长交抛物线于，点关于轴对称，点为直线与轴的交点，且为直角三角形，求点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由条件有，，则由的面积为4，可得出答案. (2) ，，则,设直线的方程为,与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用三点共线结合韦达定理得出，为直角三角形，所以直线的斜率，所以，得.因为，所以，则点到直线的距离，，然后求其范围即可.‎ ‎【详解】（1）因为为抛物线的焦点，所以，所以.‎ 因为轴，所以，所以.‎ 因为的面积为4，所以，且，所以，‎ 故抛物线的方程为；‎ - 21 -‎ ‎（2）设直线的方程为，，，则.‎ 联立，整理得.‎ 因为，所以，.‎ 设，则，.‎ 因为三点共线，所以，‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，，所以.‎ 因为点关于轴对称，所以，‎ 因为为直角三角形，所以，‎ 所以直线的斜率，所以.‎ 由，得.‎ 因为，所以，因为，所以，‎ 则点到直线的距离.‎ 设，则，且，‎ 故 因为在上单调递减，所以.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查求参数的范围问题，属于难题.‎ - 21 -‎ - 21 -‎