2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期期末数学（文）试题（解析版） 16页

‎2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．化简所得的结果是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量加法的三角形法则，，代入要求的式子化简．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用，属于基础题．‎ ‎2．函数的定义域为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数解析式，只需解析式有意义即可求出.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则需满足：‎ ‎，解得 所以定义域为，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了给出函数解析式的函数定义域问题，属于中档题.‎ ‎3．化简的结果是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】试题分析：.‎ ‎4．函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理。故先判断在定义域连续。再求得 ，。进而可得。可得函数的一个零点所在区间为。‎ 详解：因为在定义域连续。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 所以函数的一个零点所在区间为。‎ 故选B。‎ 点睛：求函数零点所在的区间，利用零点存在性定理。函数在区间上为连续函数，若，则函数在区间上至少存在一个零点。若函数在区间上为单调函数，若，则函数在区间上只有一个零点。‎ ‎5．下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现，，选项中的两个向量均共线，得到正确结果是．‎ ‎【详解】‎ 解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，‎ 中两个向量是，两个向量共线，不合要求 中两个向量不存在实数，使得，两个向量不共线，‎ 中两个向量是，两个向量共线，‎ 中两个向量是，两个向量共线，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理以及向量共线的判定，属于基础题.‎ ‎6．若是第二象限角，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意分析可能的象限，再利用三角函数在第一、三象限内的函数值的符号，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴．‎ 当为偶数时，是第一象限角；‎ 当为奇数时，是第三象限角．‎ 观察四个选项，可知一定成立，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了半角所在的象限问题，考查了三角函数值在各个象限的符号，考查判断能力，属于基础题．‎ ‎7．如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为 ‎ A． B．‎ ‎ ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】略 ‎8．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，根据函数图象的左加右减原则，需要将函数的图象向右平移个长度单位.‎ ‎【考点】本小题主要考查三角函数图象的平移.‎ 点评：三角函数图象的平移遵循“左加右减”的原则，注意左右平移的单位是针对x而言的.‎ ‎9．已知，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用同角三角函数间基本关系弦化切后将的值代入计算即可求出值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了运用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎10．下列四个等式：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④=4，‎ 其中正确的是( )‎ A．①④ B．①② C．②③ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角恒等变换一一计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：①‎ ‎；‎ ‎，故①正确；‎ ‎②；‎ ‎，故②错误；‎ ‎③，故③错误；‎ ‎④‎ 故④正确 综上，正确的有①④，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换，公式的熟练记忆是解答的关键，属于中档题.‎ ‎11．已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为( )‎ A． B．‎ C． {x|且} D．{x|且}‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知向量的夹角为锐角，得到数量积大于0，并且不共线，由此得到所求．‎ ‎【详解】‎ 解：因为向量，，又与的夹角为锐角，‎ 所以，得到，‎ 又与不共线，所以，则，‎ 所以实数的取值范围为且；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积公式的运用；由数量积公式得到关于的不等式；特别注意数量积大于0与夹角为锐角不等价，属于基础题．‎ ‎12．关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ‎ ‎②f(x)在区间（,）单调递减 ‎③f(x)在有4个零点 ‎ ‎④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是( )‎ A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：则函数是偶函数，故①正确，‎ 当，时，，，‎ 则为减函数，故②正确，‎ 当时，，‎ 由得得或， ‎ 由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在，有3个零点，故③错误，‎ 当，时，取得最大值2，故④正确，‎ 故正确是①②④，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若函数的最小正周期是，则的值为___________；‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据正切函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：的最小正周期是 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切函数的最小正周期的计算，属于基础题.‎ ‎14．已知向量，则向量在向量的方向上的投影为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可得所求为，代入已知数据，计算即可得到答案 ‎【详解】‎ ‎，‎ 由题意可得在方向上的投影为：‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查的是向量的投影问题和数量积的运算，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，主要分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于基础题。‎ ‎15．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则________.‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】由可知，，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，‎ 因此，.‎ ‎16．已知则的值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由余弦函数先求得的周期，再求得一个周期内的函数值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 即是以为周期的周期函数，‎ ‎，， ，‎ ‎，，，，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数的周期的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知,求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两角差的正切公式可得 ‎，代入已知数据计算可得．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正切公式，解答的关键是凑角，属于基础题．‎ ‎18．如图，已知平行四边形，是与的交点，设．‎ ‎（Ⅰ）用表示和；‎ ‎（Ⅱ）若，，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ）‎ ‎【解析】【详解】‎ 解：（Ⅰ）依题意可知，是的中点， ‎ ‎, ‎ ‎（Ⅱ）,，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减运算，向量的数量积，属于基础题.‎ ‎19．（Ⅰ）已知求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）将两边平方，利用二倍角的正弦公式求解；‎ ‎（Ⅱ）利用两角和与差的余弦公式求出，的值，再利用同角三角函数的基本关系计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系以及两角和差的余弦公式，属于中档题.‎ ‎20．如图是函数在长度为一个周期的闭区间上的部分图象，其中，点是图象与轴的交点，点是图象与轴的一个交点，点是图象的最高点．‎ ‎（Ⅰ）已知函数的定义域为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由图可知，，根据周期公式计算出，再由函数过点，代入求得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可求、、的坐标，即可表示出、‎ 的坐标，根据向量的数量积的坐标运算计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）依题意可知，， ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 由图象过点知：‎ ‎，‎ 即，‎ 又， ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）显然，‎ 令得，，‎ ‎，， ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，五点作图法画函数图象，属于基础题.‎ ‎21．已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的对称中心；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】（Ⅰ）当时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得.‎ ‎（Ⅱ）将函数化简为的形式，分类讨论可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ ‎ ‎ 由 得：‎ 的对称中心为 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 当时，‎ 则有 解得 当时，，不合题意 当时，‎ 则有解得 综上 或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎22．已知向量， 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值域 ‎（Ⅱ）设函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；‎ ‎（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得的解析式，要使在有解，即不等式在有解，令求出函数的最小值，即可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，‎ ‎ ‎ 的值域为 ‎（2）函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，‎ ‎，‎ 依题意，不等式在有解，‎ 设 ‎，‎ 令，‎ 则 函数的值域为.‎ ‎ ‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.‎