江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学（文）试题 14页

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 高三数学试卷（文）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 一、填空题（每小题5分，共70分）‎ ‎1、已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2、已知，，，命题“若，则≥”的否命题是____▲_____．‎ ‎3、若的值为 ▲ .‎ ‎4、函数单调递减区间是 ▲ ．‎ ‎5、已知函数的定义域和值域都是，则a的值是 ▲ ．‎ ‎6、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值 为 ▲ ．‎ ‎7、已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值www.zxxk.com范围是 ▲ ．‎ ‎8、已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围 ▲ ． ‎ ‎9、设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间 ▲ ． ‎ ‎10、设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．‎ ‎11、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎12、设x∈，则函数y＝的最小值为___▲_____．‎ ‎13、设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为 ▲ ．‎ ‎14、已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝ ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15、设向量＝(4cosα，sinα)，＝(sinβ，4cosβ)，＝(cosβ，－4sinβ)．‎ ‎(1)若与垂直，求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求的最大值；‎ ‎(3)若tanαtanβ＝16，求证：∥.‎ C A B D P E ‎（第16题图）‎ ‎16、(本题满分14分)‎ 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，‎ E为PB的中点， ‎ ‎（1）求证：PD//平面AEC；‎ ‎（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．‎ ‎17、已知以点为圆心的圆与轴交于点、，与轴交于点、（其中为原点）．‎ ‎⑴求证：的面积为定值；‎ ‎⑵设直线与圆交于点、，若，求圆的方程．‎ ‎18、 某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝‎2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．‎ ‎(1) 试将y表示为x的函数；‎ ‎(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？‎ ‎19． （本小题16分）‎ 已知函数（）的图象为曲线．‎ ‎（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；‎ ‎（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，满足：．‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且．‎ ‎ ①记，求证：数列为等差数列；[来源:学_科_网]‎ ‎②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 ‎ 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________‎ ‎ 装订线内请勿答题 ‎ 高三数学答卷（文）‎ 全卷满分160分，考试时间120分钟 一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分．‎ ‎1. 2. 　　　　　　　　　3. 4. ‎ ‎ ‎ ‎5. 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. 13. 14. ‎ 二、解答题：本大题共5小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ C A B D P E ‎（第16题图）‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期中考试 高三数学试卷（文）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ‎ ‎ 一、填空题（每小题5分，共70分）‎ ‎1、已知集合，，则 {4} .‎ ‎2、已知，，，命题“若，则≥的否命题是___________．‎ 若，则＜；‎ ‎3、若的值为 .‎ ‎4、函数单调递减区间是 ▲ 。（0，2）‎ ‎5、已知函数的定义域和值域都是，则a的值是 ▲ ．2‎ ‎6、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值 为 ▲ ．‎ ‎7、已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值www.zxxk.com范围是 ．‎ ‎8、已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围 ．‎ ‎9、设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间 ．‎ ‎ 10、设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．‎ ‎11、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎12、设x∈，则函数y＝的最小值为________． ‎13、设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为 ▲ 。‎ ‎14、已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝ ▲ 。A． B． C．45 D．55‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15、设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．‎ ‎(1)若a与b－‎2c垂直，求tan(α＋β)的值；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2)求|b＋c|的最大值；‎ ‎(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.‎ 解、(1)因为a与b－‎2c垂直，所以a·(b－‎2c)＝a·b－‎2a·c＝0.‎ 所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.……………………‎‎4’‎ ‎(2)由条件得，b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)．‎ 所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.‎ 又17－15sin2β的最大值为32，‎ 所以|b＋c|的最大值为4.………………………‎‎10’‎ C A B D P E ‎（第16题图）‎ ‎(3)证明：由tanαtanβ＝16得，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.………………………………………………………14’‎ ‎16、(本题满分14分)‎ 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，‎ E为PB的中点，如图所示．‎ ‎（1）求证：PD//平面AEC；‎ ‎（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．‎ 证明:(1)设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以…………4分 ‎ 而，所以面…………………………………………………7分 ‎ (2)连接PO，因为，所以，又四边形是菱形，所以…………10分 而面，面，，所以面………13分 又面，所以面面……………………………………14分 ‎17、 已知以点为圆心的圆与轴交于点、，与轴交于点、（其中为原点）．‎ ‎⑴求证：的面积为定值；‎ ‎⑵设直线与圆交于点、，若，求圆的方程．‎ ‎⑴证明：∵圆过原点，∴．‎ 设圆的方程是， ……………………‎‎2’‎ 令，得；令，得．‎ ‎∴ ．即的面积为定值．…………………‎‎7’‎ ‎⑵解：∵，，∴垂直平分线段．‎ ‎∵ ，∴，∴直线的方程是． ‎ ‎∴ ，解得或． …………………………………………………………‎‎10’‎ 当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离 ‎，圆与直线相交于两点； ………………………………‎‎12’‎ 当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线不相交，∴不符合题意舍去．…………‎‎14’‎ 故圆的方程为． …………………………………………………‎‎15’‎ ‎[来源:学#科#网]‎ ‎18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝‎2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．‎ ‎(1) 试将y表示为x的函数；‎ ‎(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？‎ 解：(1) 因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧EF、AE、BF的长分别为π－4x,2x,2x.(3分)‎ 连结OD，则由OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋，‎ 所以DE＝DF＝＝＝(sinx＋cosx)．(6分)‎ 所以y＝2k[2(sinx＋cosx)＋π－4x]＋k(2＋4x)‎ ‎＝2k[2(sinx＋cosx)－2x＋＋π](9分)‎ ‎(2) 因为由y′＝4k[(cosx－sinx)－1]＝0，(11分)‎ 解得cos(x＋)＝，即x＝.(13分)‎ 又当x∈(0，)时，y′＞0，所以此时y在(0，)上单调递增；‎ 当x∈(，)时，y′＜0，所以此时y在(，)上单调递减．‎ 故当x＝时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．(16分)‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数（）的图象为曲线．‎ ‎（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；‎ ‎（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．‎ 解：（1），则，‎ 即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------4分 ‎（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分 解得或，由或 得：；-------------------------------9分 ‎（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，‎ ‎，‎ ‎ 则切线方程是：，‎ ‎ 化简得：，--------------------------11分 ‎ 而过B的切线方程是， ‎ ‎ 由于两切线是同一直线，‎ ‎ 则有：，得，----------------------13分 ‎ 又由，‎ ‎ 即 ‎ ，即 ‎ 即，‎ ‎ 得，但当时，由得，这与矛盾。‎ ‎ 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，满足：．‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且．‎ ‎ ①记，求证：数列为等差数列；‎ ‎②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．‎ ‎20．解：（1）当时，有 ‎．‎ 又也满足上式，所以数列的通项公式是．……………4分 ‎（2）①因为对任意的，有，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，数列为等差数列． …………………… 8分 ‎②设（其中为常数且，‎ 所以，，‎ 即数列均为以7为公差的等差数列． …………………… 10分[来源:Zxxk.Com]‎ 设．‎ ‎（其中为中一个常数）‎ 当时，对任意的，有； …………………… 12分 当时，．‎ ‎（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；‎ ‎（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．‎ 综上所述，集合．‎ 当时，数列中必有某数重复出现无数次；‎ 当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…… 16分