【数学】2020届一轮复习人教B版 参数方程 作业 7页

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．当参数θ变动时，由动点P(3cosθ，3sinθ)确定了曲线F.点(1,5)、(－3，－1)、(5,0)、(－2,2)中，在曲线外的个数为 (　C　)‎ A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解析】　由题意知 ‎∴x2＋y2＝9，将(1,5)，(－3，－1)，(5,0)，(－2,2)代入x2＋y2知1＋25>9,9＋1>9,25＋0>9,4＋4<9，‎ ‎∴在曲线外的个数为3个．‎ ‎2．直线(t为参数)的倾斜角为 (　D　)‎ A．20° B．70°‎ C．110° D．160°‎ ‎【解析】　令t′＝－t，直线的参数方程可化为(t′为参数)．故直线的倾斜角为160°.‎ ‎3．若直线，(t为参数)与圆，(θ为参数)相切，则b＝ (　A　)‎ A．－4或6 B．－6或4‎ C．－1或9 D．－9或1‎ ‎【解析】　把直线，(t为参数)与圆，(θ为参数)的参数方程分别化为普通方程得：‎ 直线：4x＋3y－3＝0，圆：x2＋(y－b)2＝9，‎ ‎∵此直线与该圆相切，∴＝3，解得b＝－4，或6.‎ 故选A．‎ ‎4．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)，所表示的图形分别是 (　A　)‎ A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 ‎【解析】　由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，所以x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝，它表示以(，0)为圆心，以为半径的圆．由x＝－1－t得t＝－1－x，‎ 所以y＝2＋3t＝2＋3(－1－x)＝－3x－1，表示直线．‎ ‎5．参数方程(t为参数)所表示的曲线是 (　D　)‎ ‎【解析】　将参数方程进行消参，则有t＝，把t＝代入y＝中，得当x>0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x<0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.对照选项，可知D正确．‎ ‎6．下列点在曲线上的是 (　C　)‎ A．(2,1) B．(－3，－2)‎ C．(，－) D．(1,1)‎ ‎【解析】　由题意得，，消去参数θ得y2＋x＝1，‎ A、把点(2,1)代入y2＋x＝1不成立，A不正确；‎ B、把点(－3，－2)代入y2＋x＝1不成立，B不正确；‎ C、把点(，－)代入y2＋x＝1成立，C正确；‎ D、把点(1,1)代入y2＋x＝1不成立，D不正确；‎ 故选C．‎ ‎7．当0≤θ≤π时，参数方程表示的曲线是 (　B　)‎ A．圆周 B．半圆周 C．四分之一圆周 D．以上都不对 ‎【解析】　⇒(x－2)2＋y2＝1又∵0≤θ≤π，‎ ‎∴1≤x≤3，－1≤y≤0，∴曲线表示的为半圆周．‎ ‎8．圆(θ为参数)的圆心到直线(t为参数)的距离是 (　A　)‎ A．1 B． C． D．3‎ ‎【解析】　由圆的参数方程易见得圆心为(1，－2)，‎ 将直线的参数方程化为一般方程可得3x＋4y＋10＝0，因此代入点到直线的距离公式可知所求距离 d＝＝1，因此选A．‎ ‎9．曲线与的位置关系是 (　B　)‎ A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 ‎【解析】　表示以(－3,4)为圆心，2为半径的圆；表示的是以原点为圆心，3为半径的圆．‎ 圆心距d＝＝5,5＝2＋3，∴两圆外切．‎ ‎10．过抛物线y＝ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于 (　C　)‎ A．2a B． C．4a D． ‎【解析】　y＝ax2的焦点为，‎ 设PQ的方程为 (t为参数)，‎ 代入y＝ax2代简，得(acos2θ)t2－sinθ·t－＝0‎ 设点P、Q对应的参数分别为t1、t2，且不妨取t1＝－p，t2＝q，则有 ‎∵p＋q＝|t1－t2|＝ ‎＝＝，‎ pq＝－t1t2＝，‎ ‎∴＋＝＝4a，应选C．‎ ‎11．直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l的参数方程为(t为参数)，则圆C截直线l所得的弦长为 (　C　)‎ A．1 B． C．2 D．2 ‎【解析】　已知圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，‎ 则转化成直角坐标方程为：x2＋y2＝2y 转化成标准方程为：x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为：(0,1)‎ 直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 转化成直角坐标方程为：x－y＋1＝0‎ 圆C的圆心满足直线的方程．‎ 则：圆C截直线l所得的弦长2.‎ 故选C．‎ ‎12．已知直线l1的参数方程为 (t为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为ρsin＝，则l1与l2两直线的方向向量所夹的锐角为 (　D　)‎ A． B． C．正切值为的锐角 D．正切值为的锐角 ‎【解析】　l1的斜率为，l2化为直角坐标方程为y－x＝2，斜率为1.‎ ‎∴l1的方向向量为，l2的方向向量为(1,1)，‎ ‎∴cosα＝＝，‎ ‎∴tanα＝.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)‎ ‎13．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)，则圆心C到直线l的距离为　　. ‎【解析】　由直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程y＝x＋1.‎ 由圆C的参数方程为(θ为参数)，消去参数θ得圆C的普通方程(x－2)2＋y2＝1.‎ 于是圆心C(2,0)到直线l的距离＝＝.‎ 故答案为.‎ ‎14．参数方程 (θ为参数，θ∈R)，化成普通方程是　x－y＝0(≤x≤1)　. ‎【解析】　x＝sin4θ＋cos4θ⇒x＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ ‎⇒x＝1－2sin2θcos2θ，‎ ‎∴x＝y但2sin2θcos2θ＝sin22θ，‎ ‎∵0≤sin22θ≤，∴－≤－sin22θ≤0，‎ ‎∴≤1－2sin2cos2θ≤1.即≤x≤1.‎ ‎15．点(1,2)在圆的__内部__.(填内部、外部、圆上与θ的值有关). ‎【解析】　将圆的参数方程化为普通方程为(x＋1)2＋y2＝64，圆心为(－1,0)，半径等于8.‎ 又∵点(1,2)到圆心(－1,0)的距离为＝2<8，‎ ‎∴点(1,2)在圆的内部．‎ ‎16．已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为　(，1)　. ‎【解析】　本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化．‎ 由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得故曲线C1，C2的交点坐标为(，1)．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(本小题满分12分)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．‎ ‎(1)求直线l和曲线C的普通方程； ‎(2)求点F1、F2到直线l的距离之和．‎ ‎【解析】　(1)直线l的普通方程为y＝x－2；‎ 曲线C的普通方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，‎ ‎∴点F1到直线l的距离d1＝＝，‎ 点F2到直线l的距离d2＝＝，‎ ‎∴d1＋d2＝2.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数). ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 所以圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，且点A在直线l上， ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【解析】　(1)点A(，)在直线l上，得cos(θ－)＝a，∴a＝，‎ 故直线l的方程可化为：ρsinθ＋ρcosθ＝2，‎ 得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0；‎ ‎(2)消去参数α，得圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1‎ 圆心C到直线l的距离d＝＜1，‎ 所以直线l和⊙C相交．‎ ‎20．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数). ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎【解析】　(1)解：曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，(－，)．‎ ‎(2)解：直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎21．(本小题满分12分)(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ. ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎【解析】　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，则|PC|＝＝，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．‎ ‎22．(本小题满分14分)(2016·全国卷Ⅱ理，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. ‎(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎【解析】　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎