2020届二轮复习等差等比数列学案（全国通用） 8页

培优点十 等差、等比数列 ‎1．等差数列的性质 例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列，‎ ‎∴，∴．‎ ‎2．等比数列的性质 例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，‎ 从而，‎ 即所求表达式的值为．故选C．‎ ‎3．等差、等比综合 例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，‎ 则有（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点．‎ 由等差数列性质出发，，，‎ 因为，而为等比数列，联想到与有关，‎ 所以利用均值不等式可得：；‎ ‎（故，均值不等式等号不成立）‎ 所以．即．故选B．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ）‎ A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤 ‎【答案】D ‎【解析】原问题等价于等差数列中，已知，，求的值．‎ 由等差数列的性质可知：，，‎ 则，即中间三尺共重9斤．故选D．‎ ‎2．设为等差数列的前项和，若，，则（ ）‎ A．66 B．‎68 ‎C．77 D．84‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的求和公式，，化简得，‎ 根据等差数列通项公式得，解方程组得，‎ ‎．故选C．‎ ‎3．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）‎ A．4 B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，当时，，故当时，，‎ ‎∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C．‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，，则（ ）‎ A．140 B．‎70 ‎C．154 D．77‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列的前项和为，，‎ ‎∴．故选D．‎ ‎5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（ ）‎ A． B． C．1或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知：，∴，即，‎ ‎∴或．故选C．‎ ‎6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）‎ A． B．‎0 ‎C．5 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】设的公比为，由，，成等差数列，可得，‎ 若，可得，解得，‎ 则，故选A．‎ ‎7．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A．12 B．‎10 ‎C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质结合题意可知：，‎ 且，‎ 据此结合对数的运算法则可得：‎ ‎．故选B．‎ ‎8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由两式的性质可知：，‎ 则．故选D．‎ ‎9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（ ）‎ A．3 B． C． D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的公差为d，‎ ‎∵，∴，∴．故选C．‎ ‎10．等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．27 B．‎36 ‎C．45 D．66‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∴，∴，故选D．‎ ‎11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．与均为的最大值 ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列，是其前项的积，所以，‎ 由此，，‎ 所以，所以B正确，‎ 由，各项为正数的等比数列，可知，所以A正确，‎ ‎，可知，‎ 由，所以单调递减，在，7时取最小值，‎ 所以在，7时取最大值，所以D正确．故选C．‎ ‎12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（ ）‎ A．7042 B．‎7058 ‎C．7063 D．7262‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设知，，，，，，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎，，……，‎ ‎∴是周期为6的周期数列，‎ ‎∵，‎ ‎∴，故选C．‎ 二、填空题 ‎13．已知等差数列，若，则________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴．故答案为4．‎ ‎14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】已知，则，‎ 又代入得；∴．‎ ‎15．设是等差数列的前项和，若，则_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，又，代入得．‎ ‎16．在等差数列中，，则的值是_______．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】根据等差数列性质，所以，‎ 根据等差数列性质，．‎ 三、解答题 ‎17．已知数列中，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求数列的前5项的和．‎ ‎【答案】（1）；（2）77．‎ ‎【解析】（1），，‎ 则数列是首项为2，公比为2的等比数列，；‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．‎ 已知，，，．‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若，求正整数的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）4．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得．‎ 因为，可得，故．所以．‎ 设等差数列的公差为．‎ 由，可得．‎ 由得，从而，，‎ 故，所以．‎ ‎（2）由（1），有．‎ 由，可得，‎ 整理得，解得（舍），或．‎ 所以的值为4．‎