【数学】2020届一轮复习（文）通用版5-2平面向量的数量积及平面向量的应用作业 8页

‎§5.2　平面向量的数量积及平面向量的应用 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 平面向量 的数量积 ‎①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示;③了解平面向量的数量积与向量投影的关系;④掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用 ‎2018课标全国Ⅱ,4,5分 平面向量的数量积 模长 ‎★★★‎ ‎2015课标Ⅱ,4,5分 平面向量的数量积 坐标运算 平面向量 数量积 的应用 ‎①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题 ‎2017课标全国Ⅰ,13,5分 两向量垂直的充要条件 坐标运算 ‎★★☆‎ ‎2017课标全国Ⅲ,13,5分 两向量垂直的充要条件 坐标运算 ‎2016课标全国Ⅲ,3,5分 平面向量的夹角 平面向量的数量积、坐标运算 分析解读　　从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2019届湖南长沙雅礼中学9月月考,4)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 答案　B　‎ ‎2.已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值为　　　　. ‎ 答案　-25‎ ‎3.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=‎2‎‎3‎BC,DF=‎1‎‎6‎DC,则AE·AF的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎29‎‎18‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2017云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若动点P满足CA‎2‎-CB‎2‎+2AB·CP=0,则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 答案　A　‎ ‎2.(2019届广东普宁一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,则以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为　　　　. ‎ 答案　4‎‎3‎ ‎3.(2019届湖北黄冈9月调研,15)已知平面向量m,n的夹角为π‎6‎,且|m|=‎3‎,|n|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D为BC的中点,则|AD|=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎4.(2019届广东深圳外国语中学10月模拟,17)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).‎ ‎(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;‎ ‎(2)求|b+c|的最大值.‎ 解析　(1)∵a与b-2c垂直,‎ ‎∴a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin α·sin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,‎ ‎∴tan(α+β)=2.‎ ‎(2)由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|=‎(sinβ+cosβ‎)‎‎2‎+(4cosβ-4sinβ‎)‎‎2‎=‎17-15sin2β≤4‎2‎,‎ 当且仅当sin 2β=-1,即β=kπ-π‎4‎(k∈Z)时,等号成立,‎ 所以|b+c|的最大值为4‎2‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　平面向量模长的求解方法 ‎1.(2017河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|=4,=π‎3‎,则|3a-2b|=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.52 B.2‎13‎ C.‎15‎ D.2‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于(　　)‎ A.1 B.3 C.4 D.5‎ 答案　D　‎ ‎3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=(　　)‎ A.1 B.‎5‎ C.2 D.2‎‎5‎ 答案　D　‎ 方法2　平面向量夹角的求解方法 ‎1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量BA=‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,BC=‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,则∠ABC=(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017江西七校联考,13)已知向量a=(1,‎3‎),b=(3,m),且b在a的方向上的投影为-3,则向量a与b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎2‎‎3‎π ‎3.(2017吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120°的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为θ,则cos θ=　　　　. ‎ 答案　-‎‎7‎‎14‎ 方法3　用向量法解决平面几何问题 ‎1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,则△ABC的形状是(　　)‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 答案　B　‎ ‎2.(2019届江西临川一中9月月考,17)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=‎2‎‎2‎‎,-‎‎2‎‎2‎,n=(sin x,cos x),x∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎(1)若m⊥n,求tan x的值;‎ ‎(2)若m与n的夹角为π‎3‎,求x的值.‎ 解析　(1)因为m=‎2‎‎2‎‎,-‎‎2‎‎2‎,n=(sin x,cos x),m⊥n,所以m·n=0,即‎2‎‎2‎sin x-‎2‎‎2‎cos x=0,所以sin x=cos x,‎ 所以tan x=1.‎ ‎(2)由已知得|m|=|n|=1,所以m·n=|m|·|n|cos π‎3‎=‎1‎‎2‎,即‎2‎‎2‎sin x-‎2‎‎2‎cos x=‎1‎‎2‎,所以sinx-‎π‎4‎=‎1‎‎2‎.因为04是向量a与b的夹角为锐角的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎4.(2019届四川大学附中10月月考,11)△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c,若b=5,c=6,BC边上的中线AD=3,则AB·AC=(　　)‎ A.15 B.-15 C.‎25‎‎2‎ D.-‎‎25‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎5.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为(　　)‎ A.‎22‎‎15‎ B.‎10‎‎3‎ C.6 D.‎‎12‎‎7‎ 答案　A　‎ ‎6.(2018安徽师大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA‎2‎,点P是△ABC所在平面内一点,则当PA‎2‎+PB‎2‎+PC‎2‎取得最小值时,AP·BC=(　　)‎ A.‎27‎‎2‎ B.-‎27‎‎2‎ C.9 D.-9‎ 答案　D　‎ ‎7.(2018河北石家庄调研,10)在平行四边形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=(　　)‎ A.20 B.15 C.36 D.6‎ 答案　C　‎ ‎8.(2019届四川顶级名校第二次联考,11)向量a,b,c满足:a=(4,0),b=(4,4),(a-c)·(b-c)=0,则b·c的最大值是(　　)‎ A.24 B.24-8‎‎2‎ C.24+8‎2‎ D.8‎‎2‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎9.(2019届山东临沂摸底考试,14)O是△ABC所在平面内的一点,若|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC的形状为　　　　. ‎ 答案　直角三角形 ‎10.(2018豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=‎1‎‎2‎DC=2,点E,F分别为线段AD,BC的三等分点,O为DC的中点,则FE·OF=　　　　. ‎ 答案　-‎‎14‎‎3‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,满足AB⊥AC,M是BC的中点.‎ ‎(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;‎ ‎(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=‎2‎,求OA·OB+OC·OA的最小值.‎ 解析　(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为θ,因为AB⊥AC,所以AB·AC=0,所以 cos θ=‎(AB+2AC)·(2AB+AC)‎‎|AB+2AC|·|2AB+AC|‎=‎2AB‎2‎+2‎AC‎2‎‎|AB+2AC|·|2AB+AC|‎,设|AB|=|AC|=a(a>0),则cos θ=‎2a‎2‎+2‎a‎2‎‎5‎a·‎5‎a=‎4‎‎5‎.(5分)‎ ‎(2)∵|AB|=|AC|=‎2‎,∴|AM|=1,‎ 设|OA|=x(0≤x≤1),则|OM|=1-x.(8分)‎ 因为OB+OC=2OM,‎ 所以OA·OB+OC·OA=OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cos π=2x2-2x=2x-‎‎1‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎.‎ 因为0≤x≤1,所以当且仅当x=‎1‎‎2‎时,OA·OB+OC·OA取最小值-‎1‎‎2‎.(12分)‎ ‎12.(2019届宁夏顶级名校9月联考,17)设向量a=(‎3‎sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎(1)若|a|=|b|,求x的值;‎ ‎(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.‎ 解析　(1)由a=(‎3‎sin x,sin x),b=(cos x,sin x),得|a|2=(‎3‎sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1.‎ 又因为|a|=|b|,所以4sin2x=1.‎ 又x∈‎0,‎π‎2‎,所以sin x=‎1‎‎2‎,则x=π‎6‎.‎ ‎(2)函数f(x)=a·b=(‎3‎sin x,sin x)·(cos x,sin x)‎ ‎=‎3‎sin xcos x+sin2x ‎=‎3‎‎2‎×2sin xcos x+‎‎1-cos2x‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎sin 2x-‎1‎‎2‎cos 2x+‎‎1‎‎2‎ ‎=cos π‎6‎sin 2x-sin π‎6‎cos 2x+‎‎1‎‎2‎ ‎=sin‎2x-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.‎ 因为x∈‎0,‎π‎2‎,所以-π‎6‎≤2x-π‎6‎≤‎5π‎6‎,‎ 故-‎1‎‎2‎≤sin‎2x-‎π‎6‎≤1,‎ 所以0≤sin‎2x-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎≤‎3‎‎2‎,‎ 故f(x)的最大值为‎3‎‎2‎.‎