【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第一章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件作业 6页

‎1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；‎ 否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；‎ 逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．‎ 综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．‎ ‎2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)‎ A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．‎ ‎3．(2019·南昌第一次模拟)已知a>0，b∈R，那么“a＋b>0”是“a>|b|成立”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当a＝1，b＝2时，满足a＋b>0，但是a>|b|不成立，即充分性不成立，当a>|b|时，一定有a＋b>0成立，所以“a＋b>0”是“a>|b|成立”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，则＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．‎ ‎5．有下列命题：‎ ‎①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；‎ ‎②“矩形的对角线相等”的否命题；‎ ‎③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；‎ ‎④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③④ D．①④‎ 解析：选C．①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真；‎ ‎②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；‎ ‎③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1”．‎ 因为当m＝0时，解集不是R，‎ 所以应有即m＞1.所以③是真命题；‎ ‎④原命题为真，逆否命题也为真．‎ ‎6．(2019·石家庄模拟)“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．由log2(2x－3)＜1⇒0＜2x－3＜2⇒＜x＜，4x＞8⇒2x＞3⇒x＞，所以“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎8．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A．a≥4 B．a＞4‎ C．a≥1 D．a＞1‎ 解析：选B．要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件．‎ ‎9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C．‎ ‎10．(2019·惠州第三次调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x ‎)的图象关于原点对称”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C．‎ ‎11．(2019·贵阳检测)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A．‎ ‎12．(2019·郑州第一次质量预测)已知命题p：＞，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则p成立是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．命题p等价于0＜a＜4.命题q，对∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，必有或，则0≤a＜4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件，故选A．‎ ‎13．下列命题中为真命题的是________．‎ ‎①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；‎ ‎②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；‎ ‎③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；‎ ‎④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．‎ 解析：对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．‎ 答案：②‎ ‎14．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．‎ 解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．‎ 答案：1‎ ‎15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.‎ 答案：[－3，0]‎ ‎16．(2019·长沙模拟)给出下列命题：‎ ‎①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；‎ ‎②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；‎ ‎③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；‎ ‎④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)‎ 解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.‎ 答案：①②‎ ‎1．(2017·高考天津卷)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．因为＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，‎ sin θ＜⇔θ∈，k∈Z，，k∈Z，‎ 所以“＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件．‎ ‎2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)‎ A．p：x＝1，q：x2＝x B．p：|a|>|b|，q：a2>b2‎ C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d 解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.‎ ‎3．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞)　　　　　　 B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ 解析：选B．由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B．‎ ‎4．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.‎ 答案：m＞2‎ ‎5．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解：y＝x2－x＋1＝＋，‎ 因为x∈，所以≤y≤2，‎ 所以A＝.‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，‎ 所以B＝{x|x≥1－m2}．‎ 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ 所以A⊆B，所以1－m2≤，‎ 解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是∪.‎ ‎6．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．‎ 解：因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.‎ 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，‎ 所以 解得m∈.‎ 因为两方程的根都是整数，‎ 故其根的和与积也为整数，‎ 所以 所以m为4的约数．‎ 又因为m∈，‎ 所以m＝－1或1.‎ 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；‎ 而当m＝1时，两方程的根均为整数，‎ 所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.‎