2019届二轮复习模板　数列问题学案（全国通用） 3页

模板3　数列问题 ‎(满分15分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和.‎ 满分解答 得分说明 解题模板 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，‎ ‎∴a1＝2， (3分)‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列， (6分)‎ 因此{an}的通项公式an＝2＋3(n－1)＝3n－1. (7分)‎ ‎①牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断＝.‎ ‎②注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得bn＋1与bn的关系.‎ 第一步：将n＝1代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求出a1的值；‎ 第二步：利用等差数列的通项公式求出an；‎ 第三步：将第(1)问中求得的an代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求得bn＋1与bn的关系；‎ 第四步：判断数列{bn}为等比数列；‎ 第五步：代入等比数列的前n项和公式求Sn.‎ 第六步：反思检验，规范解题步骤.‎ ‎(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，‎ 得bn＋1＝＝≠0，则＝， (11分)‎ 因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列， ‎ ‎(12分)‎ 设数列{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－. (15分)‎ ‎③写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，才能得出a1，并指出数列{an}的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求bn＋1＝的步骤并要指明{bn}的性质；求Sn时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分.‎ ‎【训练3】 (2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ 解　(1)由题意得则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，同时a2＝3a1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，‎ 故bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 则T1＝2，T2＝3，‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，此时T2符合，T1不符合，‎ ‎∴Tn＝