2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（文）试题 9页

武昌区2020届高三年级元月调研考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合 ，，则 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 ‎ A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎4．已知，，，则，，的大小关系为 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，则 ‎ ‎ A． B. C．2 D．4 ‎ ‎6．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A． B. C． D． ‎ ‎7．已知数列中，，，设，则数列的前项和为 ‎ ‎ A． B. C． D． ‎ ‎8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，则球O的表面积为 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎9．已知双曲线的左焦点为，点为其右支上任意一点，点的坐标为，‎ 则周长的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：‎ ‎①直线为函数的一条对称轴；‎ ‎②点为函数的一个对称中心；‎ ‎③函数的图象向右平移个单位后得到 函数的图象.‎ 其中，正确说法的个数是 ‎ A．0 B‎.1 ‎‎ C．2 D．3 ‎ ‎11．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点 A． B. C． D． ‎ ‎12．已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是 A． B. C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．函数的最大值为______. ‎ ‎14．若直线：被圆:截得的线段最短，则实数的值为______. ‎ ‎15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍，则所有可能的取值为______. ‎ ‎16．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将 沿直线 翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列三个命题：‎ A B E C D M A1‎ ‎①线段的长是定值；‎ ‎②存在某个位置，使；‎ ‎③存在某个位置，使平面.‎ 其中正确的命题有______. ‎ ‎(填写所有正确命题的编号）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本题12分）‎ 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎18．（本题12分）‎ A1‎ C B A B1‎ D C1‎ E F 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（本题12分）‎ 为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示：‎ 男 女 ‎8 6 5 5 6 8 9‎ ‎9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8‎ ‎9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5‎ ‎2 1 1 0 0 9 0‎ ‎（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；‎ ‎（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数，并填写下面列联表：‎ 超过的人数 不超过的人数 男职工 女职工 ‎（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？‎ ‎ 附：.‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．（本题12分）‎ 已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎21．（本题12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，且至少存在两个零点，求的取值范围． ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎ （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）‎ ‎ （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，，且，求证：．‎ 武昌区2020届高三年级元月调研考试 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B D D C A C D C C B 二、填空题： ‎ ‎13. 14. 15. ，3，17 16. ①③‎ 三、解答题： ‎ 解：（1）由正弦定理，知，‎ 即，，，‎ 所以. ………………………………………（4分）‎ ‎（2）由余弦定理，知，即，‎ 所以，当且仅当时取等号.‎ 所以，所以. …………………………………（12分）‎ ‎18．（本题12分）‎ 解：（1）因为，，所以.‎ 因为平面，平面，‎ A1‎ C B A B1‎ D C1‎ E F 所以.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 易证，因为，‎ 所以平面. ……………（6分）‎ ‎（2）取的中点，连结交于.‎ 由（1）知平面，而，‎ 所以平面.‎ 连结，则为直线与平面所成的角.‎ 在，求得.‎ 又因为，所以. ……………（12分）‎ ‎19．（本题12分）‎ 解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：‎ ‎①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的 中位数为73.5分；‎ ‎②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；‎ ‎③男职工的成绩中，有的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有的成绩至多79分；‎ ‎④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.‎ 因此，男职工的成绩更好. ……………………（4分）‎ ‎（注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分）‎ ‎（2）（ⅰ）由茎叶图可知：，列表如下：‎ 超过 不超过 男职工 ‎15‎ ‎5‎ 女职工 ‎5‎ ‎15‎ ‎ ……………（8分）‎ ‎（ⅱ）由表中数据，计算，所以，有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………（12分）‎ ‎20．（本题12分）‎ 解：（1）由及，得，.‎ 所以，椭圆的方程为. ……………（4分）‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理，得 ‎.由，得.‎ 设，，则，.‎ 因为，所以，于是，直线的方程为.‎ 即，，‎ 将，，，代入， ‎ 得，所以，直线过定点. ……………（12分）‎ 另解：在中，令，得 ‎.‎ 所以，直线过定点. ……………（12分）‎ ‎21．（本题12分）‎ 解：（1）的定义域为，且.‎ 令，得或.‎ 当时，，在单调递减，在单调递增；‎ 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；‎ 当时，在单调递减；‎ 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. （5分）‎ ‎（2）由（1）知，或.‎ 因为，所以不合题意.‎ 因为时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.‎ 所以即 解得.‎ 此时.‎ 记，则.‎ 因为，所以，所以在区间单调递减，‎ 所以，解得.‎ 所以，的取值范围为． ……………（12分）‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ 解：（1）方程可化为.‎ 方程可化为. ……………（5分）‎ ‎（2）将代入，得.‎ 设方程的两根分别为，，则. ……10分）‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分） ‎ 解：（1）方法一：因为，‎ 因为存在实数，使成立，‎ 所以，解得. ……………（5分）‎ 方法二：当时，符合题意.‎ 当时，因为所以.‎ 因为存在实数，使成立，所以.‎ 当时，同理可得.‎ 综上，实数的取值范围为. ……………（5分）‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 当且仅当或时取等号. ……………（10分）‎