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- 2021-06-11 发布
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2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(文)试题
一、单选题
1.若复数,则其虚部为( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简复数为a+bi的形式,即可得到复数的虚部.
【详解】
因为复数i.
所以复数的虚部1
故选:A.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力.
2.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解不等式得出集合B,根据交集的定义写出A∩B.
【详解】
,则
故选:C
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.
3.已知等比数列的各项均为正实数,其前项和为,若,,则( )
A.32 B.31 C.64 D.63
【答案】B
【解析】设首项为a1,公比为q,由,又a3=4,可得q=2,再利用求和公式即可得出.
【详解】
设首项为a1,公比为q>0,由,又a3=4,
∴q=2,
又因为,所以a1=1,所以S5=31,
故选:B.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4.已知是定义在上的奇函数,当时,(为常数),则的值为( )
A.4 B.-4 C.6 D.-6
【答案】D
【解析】函数为奇函数,则:,
即当时,函数的解析式为:,
,结合奇函数的性质可得:
.
本题选择D选项.
点睛:若函数f(x)是奇函数,则f(0)不一定存在;若函数f(x)的定义域包含0,则必有f(0)=0.
5.已知则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得,=,由的性质可得a<c,同理可得,
=,由可得c<b,可得答案.
【详解】
解:由题意得:,=,
在为单调递增函数,a<c,
同理可得:,=,
在R上为单调递增函数,c<b,
综上,
故选C.
【点睛】
本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小,需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.
6.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx,平方利用同角三角函数的基本关系,可得sin2x的值.
【详解】
∵sinx+2cos2sinx+cosx+1,∴sinx+cosx,平方可得1+2sinxcosx,
则sin2x=2sinxcosx,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查二倍角公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.
7.已知变量,满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域,再由z的几何意义求解得答案.
【详解】
由变量x,y满足作出可行域如图:
A(2,3),解得B(,),
z的几何意义为可行域内动点与定点D(3,﹣1)连线的斜率.
∵kDA4,kDB13.
∴z的取值范围是[﹣13,﹣4].
故选:B.
【点睛】
本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
8.已知扇形,,扇形半径为,是弧上一点,若,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将已知等式两边同时平方,利用数量积的运算法则计算,可得到cos,即可求得结果.
【详解】
由,两边同时平方得=,
则有3=4+1+2=5+22cos,
∴cos,,故选D.
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算,考查了夹角的求法,属于基础题.
9.一个几何体的三视图如图所示,其体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析:该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为:
.故选A.
【考点】三视图;几何体的体积.
10.已知函数,若,且,则取最大值时的值为( )
A., B., C., D.,
【答案】C
【解析】由,可知函数关于x对称,结合正弦函数的性质可求φ=n,然后结合,可求f(x)的表达式,进而可求
【详解】
∵f(x)=sin(2x+φ),满足,
函数关于x对称,
根据正弦函数的性质可知,当x时,函数取得最值,
∴φ,n∈z,
∴φ=n,∈z,f(x)=sin(2x),
∵,
则n为偶数时满足题意,f(x)=sin(2x),
∴f(x)取最大值时,2x,k∈z,
∴x=k,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的对称性,及函数取得最值条件的应用,属于函数性质的综合应用.
11.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°,故而AD为棱锥外接球的直径,根据勾股定理得出AD关于AB的函数,求出AD的最小值即可得出答案.
【详解】
∵AB=AC,DB=DC,AD为公共边,
∴△ABD≌△ACD,
又AB⊥BD,即∠ABD=90°,∴∠ACD=90°,
设AD的中点为O,则OA=OB=OD=OC,
∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心.
∵AB+BD=4,∴AD2=AB2+(4﹣AB)2=2AB2﹣8AB+16=2(AB﹣2)2+8,
∴当AB=2时,AD2取得最小值8,即AD的最小值为2,
∴棱锥外接球的最小半径为AD,
∴外接球的最小体积为V.
故选:C.
【点睛】
本题考查了棱锥的结构特征,棱锥与外接球的位置关系,确定球心位置是解题的关键,属于中档题.
12.定义在上的函数满足,则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造函数,利用已知条件求得,即函数为增函数,而,由此求得,进而求得不等式的解集.
【详解】
构造函数,依题意可知,即函数在上单调递增.所求不等式可化为,而,所以,解得,故不等式的解集为.
【点睛】
本小题主要考查利用导数解不等式,考查构造函数法,考查导数的运算以及指数不等式的解法,属于中档题.题目的关键突破口在于条件
的应用.通过观察分析所求不等式,转化为,可发现对于,它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.
二、填空题
13.函数在处的切线方程是____.(其中为自然对数的底数)
【答案】
【解析】求导,计算斜率,计算切点坐标,结合直线点斜式计算方法,即可。
【详解】
,故,切点为,故切线方程为,即.
【点睛】
本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法,关键结合导数计算斜率,计算切点的坐标,计算直线方程,难度中等。
14.已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为(0,b),渐近线方程为y=bx,运用点到直线的距离公式可得b,再由离心率公式,可得所求值.
【详解】
设双曲线虚轴的一个端点(0,b)到
它的一条渐近线y=bx(b>0)的距离为,
可得,
解得b,
则双曲线的离心率e2,
故答案为:2
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质,主要是离心率和渐近线方程,考查点到直线的距离公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
15.已知圆和直线,则圆上任意取一点A到直线的距离小于的概率为______.
【答案】
【解析】由题意,画出图形,求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小,利用几何概型的计算公式,即可求解.
【详解】
由题意,如图所示,
设与直线平行的直线方程为,
由O到直线的距离为,即,
且,得,则,
所以圆C上任取一点A到直线距离小于的概率为.
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题,解决此类问题的步骤:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”,再求出总的基本事件对应的“几何度量”,然后根据求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
16.在数列的前项和为,且,,则______.
【答案】1010
【解析】利用递推关系推导数列的周期为4,再求和
【详解】
由题
如此继续,则
故答案为:1010
【点睛】
本题考查数列求和,考查归纳的数学思想,是基础题
三、解答题
17.某调查机构为了解人们某个产品的使用情况是否与性别有关,在网上进行了问卷调查,在调查结果中随机抽取了50份进行统计,得到如下列联表:
男性
女性
合计
使用
15
5
20
不使用
10
20
30
合计
25
25
50
(1)请根据调查结果分①析:你有多大把握认为使用该产品与性别有关;
(2)在不使用该产品的人中,按性别用分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加某项活动,求这2人中恰有一位女性的概率.
附:
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有把握认为使用该产品与性别有关;(2)
【解析】(1)利用列联表求出K2,对照表格得出结论
(2)先由分层抽样求出男性应抽取2人,记为,,女性应抽取4人,记为,,,,先求出基本事件总数,再求出恰有一位女性的基本事件个数,由此得出答案
【详解】
(1),
由于,所以有把握认为使用该产品与性别有关.
(2)由列联表知,不使用该产品的人数为30,其中男性10人,女性20人,按性别用分层抽样抽取6人,则男性应抽取2人,记为,,女性应抽取4人,记为,,,,
从中随机抽取2人的所有情况有:,,,,,,,,,,,,,,共15种.
其中恰有一位女性的情况有:,,,,,,,共8种.
所以这2 人中恰有一位女性的概率为.
【点睛】
本题考查列联表的应用,考查概率的求法,考查学生的计算能力,属于中档题.
18.已知,,分别是的三个内角,,的对边,且.
(1)求角的值;
(2)若,边上的中线的长为,求.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可求角A的值:
(2)若AB=3,AC边上的中线BD的长为,求出AC,再求△ABC的面积.
【详解】
(1)由及正弦定理得:,
即,
即,
即,
因为,所以,则,又,所以.
(2)在中,,,,由余弦定理得
,所以,所以(负值舍去),
又为中点,所以.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
19.如图,在三棱柱中,已知侧面,,,,点在棱上.
(1)求证:平面;
(2)试确定点的位置,使三棱锥的体积为.
【答案】(1)见解析;(2)点为中点
【解析】(1)证明AB⊥BC1,在△CBC1中,由余弦定理求解C1B,然后证明BC⊥BC1,利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC.
(2)利用求解得解
【详解】
(1)证明:∵,,,∴由余弦定理知,
∴,即.∵侧面,侧面,∴.
又,∴平面.
(2)由题意知,又侧面,所以
,即.
易知,等腰直角三角形中,,所以,
所以当点为中点时三棱锥的体积为.
【点睛】
本题考查线面垂直、线线垂直,考查锥体体积的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面垂直的判定定理是关键.
20.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若在区间上没有零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调递减区间为;(2)
【解析】(1)求出f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即可求出f(x)的单调区间;
(2)函数g(x)在区间上没有零点,只需在上在上恒成立,分离参数,根据导数和函数的最值得关系即可求出.
【详解】
(1)由题意知函数的定义域为,,
令得,令得,
所以函数的单调增区间为,单调递减区间为.
(2)由题意知若,因为在区间上没有零点,所以在上恒成立,
由,得,令,则.
当时,,所以在上单调递减,所以时,,
所以,即,所以实数的取值范围.
【点睛】
本题是导数在函数中的综合运用,考查运用导数求单调区间,求极值,求最值,考查分类讨论的思想方法,注意有解问题分离参数是常用的方法.
21.已知,是椭圆:上的两点,线段的中点在直线上.
(1)当直线的斜率存在时,求实数的取值范围;
(2)设是椭圆的左焦点,若椭圆上存在一点,使,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)设中点,利用点差法得,由点在椭圆内部得,即可求解k的范围
(2)向量坐标化得,,弦长公式得由点在椭圆上,得,进而得AB方程,与椭圆联立得,则可求
【详解】
(1)设,,则,,
两式相减得:,
由线段的中点在直线上,可设此中点,因为直线的斜率存在,所以,
设其斜率为,由式得,即.
由于弦的中点必在椭圆内部,则,解得
.
又,所以斜率的取值范围为.
(2)由(1)知,,因为椭圆的左焦点为,
所以,,设,则,
,,,
同理可得,因为点在椭圆上,所以,
解得.当时,,直线的方程为,
代入得,由根与系数关系得.
则.
由对称性知,当时也成立,.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系,考查点差法的应用,熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键,是中档题
22.已知直线:与曲线:,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和曲线的极坐标方程;
(2)将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线,这两条直线与曲线分别交于异于极点的,两点,求的面积.
【答案】(1)直线:,曲线:;(2)
【解析】(1)利用 化极坐标方程;
(2)由题极坐标方程为:,进而得,
,利用面积公式求解即可
【详解】
(1)则直线的方程为:,∴极坐标方程为:;
曲线的方程:,即,∴极坐标方程为:.
(2)将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线,则极坐标方程为:,
设,,则,,
所以的面积.
【点睛】
本题考查极坐标与普通方程的应用,考查极坐标的几何意义,考查面积公式,准确应用几何意义是关键,是基础题
23.已知函数.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若对任意,不等式都成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)当时,,分类讨论,即可求解不等式的解集;
(Ⅱ)把不等式都成立,转化为恒成立,分类讨论即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意,当时,,
故或或,
解得:或,
故不等式的解集是;
(Ⅱ)若对任意,不等式都成立,
则恒成立,
当时,恒成立,故,解得:,
当时,,解得:,
综上,.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中熟记绝对值不等式的解法,以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.