2020高考数学二轮复习练习：第一部分 小题专题练 小题专题练（三） 数 列含解析 5页

小题专题练(三)　数　列 一、选择题 ‎1．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝(　　)‎ A．2 B. C．3 D．4‎ ‎2．(2018·长春模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)‎ A．4 B．10‎ C．16 D．32‎ ‎3．(2019·邯郸模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的公比为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ ‎5．(2019·上饶六校联考)设数列{an}满足a1＝3，且对任意正整数n，总有(an＋1－1)(1－an)＝2an成立，则数列{an}的前2 018项的和为(　　)‎ A．588 B．589‎ C．2 018 D．2 019‎ ‎6．(2019·咸阳模拟)中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长的和是37.5尺，芒种的晷影长为4.5尺，则冬至的晷影长为(　　)‎ A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺 ‎7．等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn，若a＝an＋2＋an，则S2n＋1＝(　　)‎ A．4n＋2 B．4n C．2n＋1 D．2n ‎8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝2Sn＋n＋4，且a2－1，a3，a7恰好构成等比数列的前三项，则a1＝(　　)‎ A. B．1‎ C．2 D．4‎ ‎9．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，an＋1·an－1＝2an(n≥2，n∈N*)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎10．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)‎ A．－30 B．－60‎ C．90 D．120‎ ‎11．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)‎ A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 ‎12．(多选)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和Sn，则(　　)‎ A．an＝ B．an＝n C．Sn＝ D．Sn＝ ‎13．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7·a8＞1，＜0.则下列结论正确的是(　　)‎ A．0＜q＜1‎ B．a7·a9＞1‎ C．Sn的最大值为S9‎ D．Tn的最大值为T7‎ 二、填空题 ‎14．(2019·唐山模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2－an，则S5＝________．‎ ‎15．(2019·沈阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，则m＝________．‎ ‎16．(2019·宣城模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，SnSn＋1＝－an＋1(n∈N*)，则a10‎ ‎＝________．‎ ‎17．(2019·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，则an＝________，数列{bn}的前2n项和为________．‎ ‎ ‎ 小题专题练(三)　数　列 ‎1．解析：选C.因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，S5＝90，所以S5＝5a1＋d＝60＋10d＝90，解得d＝3，故选C. ‎ ‎2．解析：选C.设公比为q(q＞0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.‎ ‎3．解析：选B.设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q.因为2S1，S3，S2成等差数列，所以2S3＝2S1＋S2，即为2(a1＋a1q＋a1q2)＝2a1＋a1＋a1q，化简得2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，故选B.‎ ‎4．解析：选A.法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋λ－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.当n＝2时，a2＝22＝4，所以＝＝2，解得λ＝－2.故选A.‎ 法二：由题意，得a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，因为数列{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，所以8×(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.‎ ‎5．解析：选B.因为(an＋1－1)(1－an)＝2an，所以an＋1＝.又因为a1＝3，所以a2＝－2，a3＝－，a4＝，a5＝3＝a1，所以数列{an}是以4为周期的数列，所以a1＋a2＋…＋a2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝504×(3－2－＋)＋3－2＝589.故选B.‎ ‎6．解析：选A.从冬至起，晷影长依次记为a1，a2，a3，…，a12，根据题意，有a1＋a4＋a7＝37.5，所以根据等差数列的性质，有a4＝12.5，而a12＝4.5，设数列的公差为d，则有解得所以冬至的晷影长为15.5尺，故选A.‎ ‎7．解析：选A.因为{an}为等差数列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又因为a＝an＋2＋an，所以a＝2an＋1.因为数列{an}的各项均不为零，所以an＋1＝2，所以S2n＋1＝＝＝4n＋2.故选A.‎ ‎8．解析：选C.因为a＝2Sn＋n＋4，所以a＝2Sn－1＋n－1＋4(n≥2)，两式相减得a－a＝2an＋1，所以a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，故an＋1－an＝1，又因为a＝(a2－1)a7，所以(a2＋1)2＝(a2－1)(a2＋5)，解得a2＝3，又a＝2a1＋1＋4，得到a1＝2，选C.‎ ‎9．解析：选B.由an＋1·an－1＝2an(n≥2，n∈N*)，得a＝2an，解得an＝2或an＝0，因为等比数列{an}的各项均为正数，故an＝2，所以Tn＝2n，由T2m－1＝512，得22m－1＝512，所以m＝5，故选B.‎ ‎10．解析：选D.令k∈N*，由题意可得，当n＝4k－3时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.‎ ‎11．解析：选AD.对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选AD.‎ ‎12．解析：选AC.由题意得an＝＋＋…＋＝＝，‎ 所以bn＝＝＝4，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝4 ‎＝4＝.故选AC.‎ ‎13．解析：选AD.因为a1＞1，a7·a8＞1，＜0，所以a7＞1，a8＜1，‎ 所以0＜q＜1，故A正确；a7a9＝a＜1，故B错误；‎ 因为a1＞1，0＜q＜1，所以数列为递减数列，所以Sn无最大值，故C错误，‎ 又a7＞1，a8＜1，所以T7是Tn的最大值，故D正确．故选AD.‎ ‎14．解析：因为Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2－an，所以an＝Sn－Sn－1＝an－1－an(n≥2)，所以an＝an－1，所以数列{an}是以为公比的等比数列．因为S1＝2－a1＝a1，所以a1＝1，故an＝.所以S5＝2－a5＝2－＝.‎ 答案： ‎15．解析：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋d)．又因为a1＝1，S3＝a5，所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.则am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2 019，解得m＝1 010.‎ 答案：1 010‎ ‎16．解析：根据题意，数列{an}满足SnSn＋1＝－an＋1，即SnSn＋1＝Sn－Sn＋1，又由题意知Sn≠0；所以变形可得－＝1.因为a1＝1，则＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝n，所以Sn＝.所以a10＝S10－S9＝－＝－.‎ 答案：－ ‎17．解析：根据题意，数列{an}满足2Sn＝an＋1①，则当n≥2时，有2Sn－1＝an②，由①－②可得(an＋1－3an)＝0，因为1－≠0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．由2Sn＝an＋1，可求得a2＝3，a2＝3a1，则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，则b2n－1＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－3.所以数列{bn}的前2n项和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n.‎ 答案：3n－1　2n2－n