【数学】2021届一轮复习人教A版直线平面垂直的判定与性质作业 5页

第5节 直线、平面垂直的判定与性质 ‎1．(2019·南阳、信阳等六市一模)设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β 解析：D　[若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，选项A不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，又∵c⊂α，∴α⊥β，选项B不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，选项C不正确；若m⊥α，m∥n，n⊥β，∴α∥β，选项D正确．故选D.]‎ ‎2．(2019·兰州市诊断)设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是(　　)‎ A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α 解析：D　[A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β，故选D.]‎ ‎3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上　　　 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC的内部 解析：A　[连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.]‎ ‎4．(2019·衡水市调研)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)‎ A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：D　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；‎ 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE.‎ 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，‎ 从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]‎ ‎5．已知三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B‎1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)‎ A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝.]‎ ‎6．设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．‎ 解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．‎ 答案：①③④⇒②或②③④⇒①‎ ‎7.(2019·洛阳市模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 解析：由定理可知，BD⊥PC.所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案：DM⊥PC(答案不唯一)‎ ‎8．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.‎ 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.‎ ‎∴PB⊥EF.故①②③正确．‎ 答案：①②③‎ ‎9.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ 解：(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.‎ 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.‎ 设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.‎ 故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3.由题设得x3＝，故x＝2.‎ 从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.‎ 可得四棱锥P－ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.‎ ‎10．(2019·开封市一模)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．‎ ‎(1)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；‎ ‎(2)求三棱锥C－ABD的高．‎ 解：(1)取CD的中点F，连接EF，BF，‎ 在△ACD中，因为E，F分别为AC，DC的中点，‎ 所以EF为△ACD的中位线，‎ 所以AD∥EF，‎ EF⊂平面EFB，AD⊄平面EFB 所以AD∥平面EFB.‎ ‎(2)设点C到平面ABD的距离为h，‎ 因为平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，‎ 所以BC⊥平面ADC，‎ 所以BC⊥AD，而AD⊥DC，‎ 所以AD⊥平面BCD，即AD⊥BD.‎ 所以S△ADB＝2，‎ 所以三棱锥B－ACD的高BC＝2，S△ACD＝2，‎ 所以×2h＝×2×2，‎ 所以可解得h＝，∴三棱锥C－ABD的高为.‎