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  • 2021-06-11 发布

【数学】2020届数学文一轮复习第三章第5讲利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题作业

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‎1.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(0,1)   B.(-1,0)∪(1,+∞)‎ C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)‎ 解析:选A.设y=g(x)=(x≠0),则g′(x)=,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,所以 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)上为减函数,且g(1)=f(1)=-f(-1)=0.‎ 因为 f(x)为奇函数,所以 g(x)为偶函数,‎ 所以 g(x)的图象的示意图如图所示.‎ 当x>0,g(x)>0时,f(x)>0,0<x<1,‎ 当x<0,g(x)<0时,f(x)>0,x<-1,‎ 所以 使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选A.‎ ‎2.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(  )‎ A.a≤1 B.a≥1‎ C.a≤2 D.a≥2‎ 解析:选A.由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3]),因为f(x)min=5,g(x)min=4+a,所以5≥4+a,即a≤1,故选A.‎ ‎3.设函数f(x)=ax+ln x,g(x)=a2x2.‎ ‎(1)当a=-1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值;‎ ‎(2)是否存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由f(x)=-x+ln x,得f′(x)=-1+,‎ 令f′(x)=1,得x=,‎ 所以所求距离的最小值即为P到直线x-y+3=0的距离,‎ d==(4+ln 2).‎ ‎(2)假设存在正数a,令F(x)=f(x)-g(x)(x>0),‎ 则F(x)max≤0.‎ 由F′(x)=a+-2a2x=0,得x=,‎ 因为x>时,F′(x)<0,‎ 所以F(x)为减函数;‎ 当0<x<时,F′(x)>0,‎ 所以F(x)为增函数,‎ 所以F(x)max=F,‎ 所以ln ≤0,即a≥1.‎ 所以a的取值范围是[1,+∞).‎ ‎4.(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)=ax-ex(a∈R),g(x)=.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)∃x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex成立,求a的取值范围.‎ 解:(1)因为f′(x)=a-ex,x∈R.‎ 当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在R上单调递减;‎ 当a>0时,令f′(x)=0得x=ln a.‎ 由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a);‎ 由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(ln a,+∞).‎ ‎(2)因为∃x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex,则ax≤,即a≤.‎ 设h(x)=,则问题转化为a≤()max,‎ 由h′(x)=,令h′(x)=0,则x=.‎ 当x在区间(0,+∞)内变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(0,)‎ ‎(,+∞)‎ h′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ h(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知,当x=时,函数h(x)有极大值,即最大值为.所以a≤.‎ ‎5.(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(1-x2)ex.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.‎ 解:(1)f′(x)=(1-2x-x2)ex.‎ 令f′(x)=0得x=-1-,x=-1+.‎ 当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,‎ 在(-1-,-1+)上单调递增.‎ ‎(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.‎ 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h′(x)=-xex<0(x>0),‎ 因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,而h(0)=1,‎ 故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.‎ 当00(x>0),‎ 所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.‎ 当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),‎ 取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.‎ 当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.‎ 综上,a的取值范围是[1,+∞).‎ ‎6.(2019·兰州模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+xln x的图象在(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)设g(x)=x2-x,若k∈Z,且k(x-2)<f(x)-g(x)对任意的x>2恒成立,求k的最大值.‎ 解:(1)f′(x)=2ax+b+1+ln x,‎ 所以2a+b+1=3且a+b=1,解得a=1,b=0.‎ ‎(2)由(1)与题意知k<=对任意的x>2恒成立,‎ 设h(x)=(x>2),则h′(x)=,‎ 令m(x)=x-4-2ln x(x>2),则m′(x)=1-=>0,‎ 所以函数m(x)为(2,+∞)上的增函数.‎ 因为m(8)=4-2ln 8<4-2ln e2=4-4=0,m(10)=6-2ln 10>6-2ln e3=6-6=0,‎ 所以函数m(x)在(8,10)上有唯一零点x0,即有x0-4-2ln x0=0成立,‎ 故当2<x<x0时,m(x)<0,即h′(x)<0;当x0<x时,m(x)>0,即h′(x)>0,‎ 所以函数h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,‎ 所以h(x)min=h(x0)===,‎ 所以k<,因为x0∈(8,10),‎ 所以∈(4,5),又k∈Z,所以k的最大值为4.‎