福建省福州第一中学2020届高三6月高考模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 23页

- 1 - 福州一中 2020 届高三（下）高考模拟考试 理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合    | |1 2A x x a B x x    ， ，且 ( )A B  RRð ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. 1a  B. 1a  C. 2a  D. 2a  【答案】C 【解析】  | 1, 2RC B x x x  或 .    ( ) | | 1, 2 2RA C B x x a x x x R a        或 .故选 C 2.复数 3 iz ii   （i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数为（ ） A. 2 i B. 2 i C. 4 i D. 4 i 【答案】B 【解析】 试题分析：由题 3 2iz i ii     ，则复数 z 的共轭复数为 2 i ，选 B 考点：复数的运算，共轭复数 3. 1 2 1 (3 sin )x x dx   等于（ ） A. 0 B. 2sin1 C. 2cos1 D. 2 【答案】D 【解析】 ，故答案为 D. 考点：定积分的计算. 4.已知函数  f x 的定义域为[0，2]，则    2 1 f xg x x   的定义域为（） - 2 - A.    0,1 1,2 B.    0,1 1,4 C.  0,1 D.  1,4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据  f x 的定义域，计算  2f x 定义域，再考虑分母不为 0，计算得到答案. 【详解】函数  f x 的定义域是[0，2]，要使函数    2 1 f xg x x   有意义,需使  2f x 有意义 且 1 0x   .所以 1 0 0 2 2 x x      解得 0 1x  故答案为 C 【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题. 5.数列 na 的前 n 项和为 2 *2 3 ( )nS n n n N   ，若 5p q  ，则 p qa a  （ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. -5 【答案】A 【解析】 试题分析：当 2n  时， 2 2 1 1 12 3 2 1 3 3 4 5, 1n n na S S n n n n n a S            （ ） 适 合上式， 所以 4 5na n  ，所以 4p qa a p q  （ ），因为 5p q  ，所以 20p qa a  ，选 A 考点：等差数列的性质 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） - 3 - A. 8 3  B. 10 3  C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体是一个底面半径为 1、高为 4 的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个 部分，故其体积为 2 211 4 1 2 32V           . 本题选择 D 选项. 7.在区间[ 1,1] 上随机取一个数 k ，使直线 ( 3)y k x  与圆 2 2 1x y  相交的概率为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 2 4 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线与圆相交，可求出 k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心 (0,0) ，半径 1r  ，直线与圆相交，所以 2 | 3 | 1 1 kd k    ，解得 2 2 4 4k   所以相交的概率 2 22 2 4P   ,故选 C. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 8.向量 , ,a b c  满足 0a b c     ，a b  ，( )a b c   ， | | | | | | | | | || | a b cM c ab         ，则 M=（ ） A. 3 B. 3 2 C. 22 2  D. 3 21 2  【答案】D 【解析】 【分析】 将 c a b     代入 ( ) 0a b c    可得| | | |a b  ，将 c a b     两边平方，结合 0a b  可得 - 4 - | | 2 | | 2 | |c a b    ，进而可得 M 的值. 【详解】因为 0a b c     ，所以 c a b     ， 因为 ( )a b c   ，所以 ( ) ( ) 0a b a b       ，所以 2 2a b  ，所以| | | |a b  ， 因为 a b  ，所以 0a b  ， 由 c a b     得 2 2( )c a b    ，所以 2 2 2 2 2 2 22 2 2c a b a b a b a b               ， 所以| | 2 | | 2 | |c a b    ， 所以 | | | | | | | | | | | | a b cM b c a          2 3 21 2 12 2      . 故选：D. 【点睛】本题考查了向量垂直问题，考查了平面向量的数量积，考查了向量的模，属于基础 题. 9.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 3 2 ， ,E F 分别为 ,BC CD 的中点，P 是线段 1A B 上的动点， 1C P 与平面 1D EF 的交点Q 的轨迹长为（ ） A. 3 B. 13 C. 4 D. 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 作图分析，由 P 是线段 1A B 上的动点，当 P 合于 1A 或 B 时，找到 1 1C A ， 1C B 与平面 1D EF 的 交点分别为 ,M N ，即Q 的轨迹为 MN ，再求出 MN 的长度得到答案. 【详解】如图所示，连接 1,EF A B ，连接 1 1 1 1,AC B D 交于点 M ，连接 1 1,B E BC 交于点 N ， 由 1 1/ /EF B D ，即 1 1, , ,E F B D 共面，由 P 是线段 1A B 上的动点，当 P 合于 1A 或 B 时， - 5 - 1 1C A ， 1C B 与平面 1D EF 的交点分别为 ,M N ，即Q 的轨迹为 MN ， 由棱长为 3 2 ，则 1 1 1 1 32C M A C  ， 则 1 6BC  ，又 1 1 1 1 2 BE BN B C NC   ，则 1 1 2 43NC BC  , 由 1 1 1 1A B BC AC  ，则 1 1 60A C B   ， 则 2 2 1 1 1 1 1 1 12 cos 9 16 2 3 4 132MN MC NC MC NC AC B              . 故选：B 【点睛】本题以正方体为载体，考查了点线面的位置关系、余弦定理，解决本题的关键在于 找到点Q 的轨迹，还考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题. 10.已知曲线 x xy e  在 1x x 处的切线为 1l ，曲线 lny x 在 2x x 处的切线为 2l ，且 1 2l l ， 则 2 1x x 的取值范围是（ ） A. 10, e      B.  , 1  C. ( ),0-¥ D. 1, e     【答案】B 【解析】 【分析】 先求出两条切线各自的斜率，再根据它们垂直得到 1 2,x x 的关系，将 2 1x x 表示为 1x 的函数后 利用导数可求 2 1x x 的取值范围. 【详解】令   x xf x e  ，   lng x x ， 则   1 x xf x e   ，   1g x x   ，所以 1 1 1 1 x xk e  ， 2 2 1k x  ， 因为 1 2l l ，故 1 1 2 1 1 1x x e x     ，所以 1 1 2 1 x xx e  ， 因为 2 0x  ，故 1 1x  . 又 1 1 2 1 1 1 x xx x xe    ，令   1 , 1x xh x x xe    ， - 6 - 则   2 21 x x x x x eh x e e      ， 当  1,x  时， 2 xy x e   为减函数，故 12 2 1 0xx e e      ， 所以   0h x  在  1, 上恒成立， 故  h x 在  1, 上为减函数，所以    1 1h x h   ， 又当 1x  时， 1 1 1 11x x xx x xe e e e            ， 所以  h x 的取值范围为  , 1  ， 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的值域的求法，注意函数图象在某点处的切线的 斜率就是函数在该点横坐标处的导数，另外，求函数的值域时不仅要依据函数的单调性，而 且还要考虑函数的图象有无水平的渐近线. 11.某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有 5 处阀门（ A E ）发生有害气体泄漏. 每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为 0.01 立方米.阀门的修复工作可在不 停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵 从一定的顺序关系，具体情况如下表： 泄露阀门 A B C D E 修复时间 （小时） 11 8 5 9 6 需先修复 好的阀门  C   B 在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（ ） A. 1.14 立方米 B. 1.07 立方米 C. 1.04 立方米 D. 0.39 立方 米 【答案】C 【解析】 - 7 - 【分析】 先确定有要求三个阀门 , ,B C E 的先后顺序必须是 , ,C B E ，要使泄露的有害气体总量最小， 修复时间长的因尽量靠后，确定修复顺序为 , , , ,C B E D A ，然后计算每个阀门泄露有害气体 的时间，计算出泄露的有害气体总量最小值. 【详解】由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定 ,A D 顺序无要求，其中三个阀门的 先后顺序必须是 , ,C B E ，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后， 故修复顺序为 , , , ,C B E D A， 则 , , , ,C B E D A各阀门泄露有害气体的时间分别为 5,13,19,28,39 小时， 泄露有害气体的时间共 5 13 19 28 39 104     小时， 故泄露的有害气体总量最小为104 0.01 1.04  立方米， 故选：C 【点睛】本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题. 12.设  0,1,2, ,2020ia i   是常数，对于 x R  ，都有          2020 0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x            ，则 0 1 2 3 4 5 2019 20202! 3! 4! 2018! 2019!a a a a a a a a          （ ） A. 2019 B. 2020 C. 2019！ D. 2020！ 【答案】A 【解析】 【分析】 先令 1x  ，求得 0a 的值，再将给定的恒等式两边求关于 x 的导数，然后令 1x  ，从而可得 所求的值. 【 详 解 】 因 为          2020 0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x            ， 则令 1x  可得 0 1a  . 又对          2020 0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x            两边 - 8 - 求导可得：        2019 1 2 20202020 1 2 1 2 2020x a a x x a x x x                 ， 令       1 2nf x x x x n      ， 则            1 2 + 2nf x x x x n x x n              ， 所以          11 1 2 1 1 1 !n nf n n         ， 所以      1 2 20192019 1 2 3 20202020 1 1 1 1 2! 1 2019!a a a a              故 1 2 3 20202020 2! 2019!a a a a     ， 所以 0 1 2 3 4 5 2019 20202! 3! 4! 2018! 2019! 2020 1 2019a a a a a a a a            . 故选：A. 【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适 的赋值，本题属于较难题. 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13.cos15 cos45 cos75 cos45 =     _________. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 题设中的三角函数值可转化为 cos15 cos45 sin15 sin 45    ，逆用两角和的余弦可求给定 的三角函数式的值. 【详解】 cos15 cos45 cos75 cos45 =     1cos15 cos45 sin15 sin 45 cos60 2         . 故答案为： 1 2 . 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差 异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互 化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角 去表示未知的角. 14.寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 , , , ,A B C D E - 9 - 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车 票相符座位的坐法有__________种. 【答案】45 【解析】 【分析】 先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果. 【详解】先选出坐对位置的人，即从 5 人中选 1 人，有 5 种可能； 剩下四人进行错排，设四人座位为1 2 3 4，，，，则四人都不坐在自己位置上有 2143 2341 2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321， ， 这 9 种可能； 所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5 9 45  种 故答案为：45 【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬 度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北 回归线之间，即 23 26 ,23 26       .如果在北京地区（纬度数约为北纬 40 ）的一幢高为 0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应 小于_________.（只需列出式子） 【答案】 0 tan26 34 h  【解析】 【分析】 根据题意列出不等式，再根据不等式恒成立，转化为对应函数最值问题，结合范围确定最值， 即得结果.. 【详解】设两楼的距离为 d ， - 10 - 因为 90 (40 ) 50 26 34 ,73 26  o o o o o= - - = + Î 则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足 0tan h d  ³ 对 26 34 ,73 26 o oÎ 恒成立,因此 0 min(tan ) h d  ³ 0tan 26 34 h d o ¢ ³ 0 tan 26 34 hd o ³ ¢ ，从而两楼的距离不应小于 0 tan26 34 h  故答案为： 0 tan26 34 h  【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解 能力，属中档题. 16.已知椭圆 2 2 : 14 3 x yC   的焦点是 1 2,F F ， ,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且 1 // 2F A F B   . M 为 1F B 与 2F A 的交点，则 M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 【答案】 (1). 椭圆 (2). 4 5 【解析】 【分析】 设  1 1,A x y ，  2 2,C x y 则  2 2,B x y  ，设 1 : 1AFl x my  表示出 1BFl ， 2AFl 联立直线 1 : 1AFl x my  与椭圆方程，消元列出韦达定理，代入消去 m 即可得解； 【详解】解：设  1 1,A x y ，  2 2,C x y 则  2 2,B x y  ， 1AF 的斜率不为 0，可设 1 : 1AFl x my  则 1 2 2 : 1 1BF yyl x x   ①， 2 1 1 : 1 1AF yyl x x   ② 所以   1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 2 2 2 4 y y y y y yy y x x x x my my m y y m y y               联立 2 2 1 14 3 x my x y     得 2 24 2 3 03m y my       ，得 1 2 2 2 4 3 my y m    ， 1 2 2 3 4 3 y y m   所以 2 2 2 3 161 3 3 y x m    - 11 - 由①②得  1 2 1 2 21 1 2 y yx x my y y y     ，所以 3 5 xm y  所以 2 22 3 1 3 163 5 3 y x x y       整理得 2 2 2 2 1 5 3 4 4 x x            ，所以 M 的轨迹所在的曲线是椭圆， 1 4 5 5 4 e   故答案为：椭圆； 4 5 . 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列 na ， nb 满足 1 1 2a  ，  1 1n n na a a   ， 1 1n n b a   ， nb 的前 n 项和为 nS ， 前 n 项积为 nT . （1）证明： 2n nS T 是定值； （2）试比较 nS 与 nT 的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）当 1n  时， n nS T ；当 2n  时， n nS T . 【解析】 【分析】 - 12 - （1）将已知递推关系式化为 1 1 1 1 1n n n n b a a a     ，由此可求得 ,n nS T ，代入 2n nS T 整理 可得结论； （2）由（1）可得 1 3 4 1 2 3n n n S T a         ，根据数列 na 单调递增和 3 3 4a  可确定结果. 【详解】（1）证明：由  1 1n n na a a   得：  1 1 1 1 1=+1 1n n n n na a a a a    ， 则 1 1 1 1 1n n n n b a a a     ， 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12n n n n n n S b b b a a a a a a a a a                 ， 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 2 n n n n n n aa a aT b b b a a a a a          ， 2 2n nS T   . （2）由（1）知： 1 1 1 1 1 1 3 3 4 12 22 2 2 3n n n n n n S T a a a a                ， 1 1 2a  ， 2 1 0n n na a a    ，  na 单调递增. 又 1 1 2a  ，  2 1 1 31 4a a a   ，  3 2 2 21 31 16 4a a a    ，当 2n  时， 1 3 4na   ， 当 1n  时， n nS T ；当 2n  时， n nS T . 【点睛】本题考查数列综合应用问题，涉及到数列中的定值问题、根据数列单调性比较大小 的问题；解决定值问题的关键是能够结合裂项的方法，前后相消求得前 n 项和和前 n 项积. 18.已知圆    22 2: 1 0C x y r r    ，设 A 为圆C 与 y 轴负半轴的交点，过点 A 作圆C 的 弦 AM ，并使弦 AM 的中点恰好落在 x 轴上. （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）延长 MO 交直线 1y   于点 P ，延长 MC 交曲线 E 于点 N ，曲线 E 在点 N 处的切线 与 y 轴交于点Q .求证： //MN QP . 【答案】（1） ( )2: 4 0E x y x= ¹ ；（2）证明见解析. - 13 - 【解析】 【分析】 （1）由 A 为圆C 与 y 轴负半轴的交点，可得  0,1A r ，再由弦 AM 的中点恰好落在 x 轴上， 可得点 M 的纵坐标满足 1 02 y r   ，再由点 M 在圆上即得解； （2）设    1 1 2 2: 1, , , ,MN y kx M x y N x y  ，分别表示直线 MO ，点 N 处切线方程，得 到 ,P Q 的坐标，结合韦达定理，证明 MN PQk k ，即得解 【详解】（1）设  ,M x y ，依题意 A 为圆C 与 y 轴负半轴的交点， 令 0, 1x y r    0,1A r  又弦 AM 的中点恰好落在 x 轴上，设 ( , )M x y 故 AM 的中点坐标为 1( , )2 2 x y r  故 1 02 y r    22 2 1 0 1 y r x y r       ， 消 r 得 2 4x y ， 所以 ( )2: 4 0E x y x= ¹ . （2）设    1 1 2 2: 1, , , ,MN y kx M x y N x y  ，将 1y kx  代入 2 4x y 得 2 4 4 0x kx   ， 1 2 1 24 , 4x x k x x    ， - 14 - 1 1 : yMO y xx   ，令 1y   得 1 1 P xx y   ，所以 1 1 , 1xP y      ， 因为 2 xy  ，所以点 N 处的切线为  2 2 22 xy y x x   ，即 2 22 xy x y   ， 令 0x  得 2y y  ，所以  20,Q y . 所以 PQ 的斜率 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 11 4 4 44 4 16 160 x y x x x x xk kx y x            所以 / /MN QP . 【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力， 属于较难题 19.如图，组合体由半个圆锥 S O 和一个三棱锥 S ACD 构成，其中O 是圆锥 S O 底面 圆心， B 是圆弧 AC 上一点，满足 BOC 是锐角， 2  AC CD DA . （1）在平面 SAB 内过点 B 作 //BP 平面 SCD 交 SA于点 P ，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）在（1）中，若 P 是 SA中点，且 3SO  ，求直线 BP 与平面 SAD 所成角的正弦值. 【答案】（1）答案见解析；（2） 2 6 5 . 【解析】 【分析】 （1）①延长 AB 交 DC 的延长线于点Q ；②连接 SQ ；③过点 B 作 //BP QS 交 SA于点 P ，可 得点 P. （2）若 P 是 SA中点，则 B 是 AQ 中点，又因为CB AQ ，所以 CA CQ ，所以 90QAD   ， - 15 - 从而 30BAC   .依题意， , ,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为 x ， y ， z 轴 建立空间直角坐标系,运用空间向量线面角的求解方法可得解. 【详解】（1）①延长 AB 交 DC 的延长线于点Q ；②连接 SQ ；③过点 B 作 //BP QS 交 SA于 点 P . （2）若 P 是 SA中点，则 B 是 AQ 中点，又因为CB AQ ，所以 CA CQ ，所以 90QAD   ， 从而 30BAC   . 依题意， , ,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ， OD ，OS 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标 系， 则       1 3 1 31,0,0 , 0, 3,0 , 0,0, 3 , ,0, , , ,02 2 2 2A D S P B              ， 从而     3 31, 3,0 , 1,0, 3 , 1, ,2 2AD AS BP            ， 设平面 SAD 的法向量为  , ,n x y z ， 则 0, 0, AS n AD n         即 3 0, 3 0, x z x y      取 3x  ，得  3, 1, 1  n . 则 2 3 2 3 2 6cos , 53 3 101 3 1 1 54 4 2 n BPn BP n BP                   ， 所以直线 BP 与平面 SAD 所成角的正弦值为 2 6 5 . 【点睛】本题考查空间的线面平行关系，线面角的求解方法，属于中档题. 20.已知 6 名某疾病病毒密切接触者中有 1 名感染病毒，其余 5 名健康，需要通过化验血液来 - 16 - 确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康. （1）若从这 6 名密切接触者中随机抽取 3 名，求抽到感染者的概率； （2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组， 对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对 该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者. （i）采取逐一化验，求所需检验次数 的数学期望； （ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理 的平均分组方案. 【答案】（1） 1 2 ；（2）（i）10 3 ；（ii）按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可. 【解析】 【分析】 （1）总数为 3 6C ，抽到感染者，则从余下 5 名某疾病病毒密切接触者中，再抽 2 人，有 2 5C ， 从而求得抽到感染者的概率； （2）分别求出方案（i）和方案（ii）的分布列和均值，注意方案（ii）采取平均分组混合 化验，又平均分成 3 组和平均分成 2 组两种情况，再通过对比得出结论. 【详解】解：（1）从这 6 名密切接触者中随机抽取 3 名，共有 3 6C 种， 抽到感染者，则从余下 5 名某疾病病毒密切接触者中，再抽 2 人，有 2 5C 故抽到感染者的概率 2 5 3 6 1= = 2 CP C （2）（i） 的可能取值是 1，2，3，4，5，且分布列如下：  1 2 3 4 5 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3   10= 3E  - 17 - （ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为 ， 的可能取值是 2，3，   1 3 1 1=2 = = 3P C  ，   1 2 1 3 2=3 = = 3 CP C  分布列如下：  2 3 P 1 3 2 3   8= 3E  再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为 ， 的可能取值是 2，3，   1 5 2 6 1=2 = = 3 CP C  ，   2 5 2 6 2=3 = = 3 CP C  分布列如下：  2 3 P 1 3 2 3   8= 3E  所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可. 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差, 属于中档题. 21.已知函数   lnf x e x ax  ，   2 2 xg x x  . （1）讨论函数  f x 的单调性； - 18 - （2）若存在直线  y h x ，使得对任意的  0,x  ，    h x f x ，对任意的 xR ，    g x h x ，求 a 的取值范围. 【答案】（1）当 0a  时，  f x 在  0 +， 上单调递增；当 0a  时，  f x 在 0 e a     ， 上单调 递增，在 +e a     ， 上单调递减；（2）  1,a  . 【解析】 【分析】 (1)对函数  f x 求导，分 0a  ， 0a  两种情况讨论即可； (2)先由    g x h x 可转化为二次不等式的恒成立问题，然后构造函数 ( ) ( ) ( )F x f x h x  ， 转化为对任意的  0,x  ， ( ) 0F x  恒成立问题，即可求解. 【详解】（1）函数  f x 的定义域为  0,  .   e e axf x ax x     （i）若 0a  ，则   0f x  ； （ii）若 0a  ，则由   0f x  得 ex a  ，由   0f x  得 ex a  ； 综上：当 0a  时，  f x 在  0 +， 上单调递增； 当 0a  时，  f x 在 0 e a     ， 上单调递增，在 +e a     ， 上单调递减. （2）设存在直线 y kx b  满足题意. （i）由 2 2 x x kx b   ，即   2 1 02 x k x b    对任意的 xR 都成立，得  2= 1 2 0k b    ，所以  21 02 kb    ， （ii）令    lnF x e x a k x b    ， - 19 -      e a k xeF x a kx x       ， ①若 0a k  ，则   0F x  ，  F x 单调递增，   ( ) 0F e e a k e b     ，不合题意； ②若 0a k  ，则  F x 在 0 e a k     ， 上单调递增，在 +e a k     ， 上单调递减， 所以    max = ln = lne eF x F e e b e a k ba k a k           ， 所以  ln 0e a k b    ，即  lne a k b   ， 由（i）得    21ln 2 ke a k   ， 即  21 2 k ea k e     ， 令    21 2 k ek k e     ，    21 2 11 k e kk e e        ，      2 221 1 2 21 1+ 0 k k e ekk e ee e           ，所以  k 单调递增， 又因为  1 0e   ，所以  x 在  1e - ， 是单调递减，  1 +e  ， 是单调递减， 所以    min 1 1x e    ，所以  1,a  . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第 一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 31 ,2 ,2 tx ty      （ t 为参数），以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    . （1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）已知  1,0F ，曲线 1C 与 2C 的交点为 ,A B ，求 AF BF 的值. - 20 - 【答案】（1） 2 2 1 2 3 3: , : 13 3 4 3 x yC y x C    ；（2）当 A 在 x 轴上方， 12 3= 13AF BF ； 当 A 在 x 轴下方， 12 3= 13AF BF  . 【解析】 【分析】 （1）将曲线 1C 的参数方程消去参数 t ，可得解 1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化 公式，可得解 2C 的直角坐标方程； （2）将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用参数 t 的几何意义，分 A 在 x 轴上方，下方两 种情况讨论即可 【详解】（1）曲线 1C 的参数方程为 31 ,2 ,2 tx ty      （ t 为参数），其中 2t y= ，代入 31 2 tx   ， 可得 1 3 3: ,3 3C y x  曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    ，即 2 23 ( sin ) 12    可得 2 2 23 3 12x y y   ，可得 2 2 2 : 14 3 x yC   . （2）设 ,A B 对应的直线参数为 1 2,t t ， 将 31 ,2 ,2 tx ty      代入 2 2 14 3 x y  得 213 12 3 36 0t t   ，故 1 2 12 3+ 13t t  ， 当 A 在 x 轴上方，  1 2 1 2 12 3=2 2 13AF BF a t a t t t        当 A 在 x 轴下方， 12 3= 13AF BF  - 21 - 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能 力，属于中档题 [选修 4—5：不等式选讲] 23.已知 ( ) | 1| | 2 |.f x x a x    （1）若 2a  ，求  f x 的最小值； （2）若 ( ) 1f x   ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）  min 1f x  ；（2）  1,a   . 【解析】 【分析】 （1）分别在 1x  、1 2x  和 2x  三种情况下求得函数最小值，进而得到在 R 上的最小值； （2）将不等式变为 2 1 1a x x     ，分别在 2x  、 2x  、1 2x  和 1x  的情况下， 通过分离变量的方法求得结果. 【详解】（1）当 1x  时，    1 2 2 5 3f x x x x      ，此时    min 1 5 3 2f x f    ； 当1 2x  时，    1 2 2 3f x x x x      ，此时    min 2 3 2 1f x f    ； 当 2x  时，    1 2 2 3 5f x x x x      ，此时    min 2 6 5 1f x f    ； 综上所述：  f x 的最小值为1. （2）令 1 2 1x a x     ，则 2 1 1a x x     ， 当 2x  时， 0 2  恒成立，则 a R ； 当 2x  时， 1 1 2 xa x     ， 若 2x  ，则 212 2 xa x x          ，又 21 12x   ， 1a   ； 若1 2x  ，则 212 2 2 x xa x x x        ，又 21 12x    ， 1a   ； 若 1x  ，则 2 12 xa x     ； 综上所述：实数 a 的取值范围为 1,  . - 22 - 【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解、绝对值不等式中的恒成立问题的求解；解决 此类问题通常采用分类讨论的方式，去除绝对值符号之后再进行求解. - 23 -