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- 2021-06-11 发布
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河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试
数学(文)试题
说明:
一、本试卷共4页,包括三道大题,24道小题,共150分,其中1.~(21)小题为必做题,(22)~(24)小题为选做题.
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.
三、做选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案,
四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回,
参考公式:
样本数据的标准差;
为样本平均数;
柱体体积公式:、h为高;
锥体体积公式:为高;
球的表面积、体积公式:其中R为球的半径。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.已知=2+i,则复数z的共轭复数为
A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i
2.己知集合A={l,2,3),集合B=(2,3,4),则A=
A.{l} B.f0,1} C.{1,2,3} D.(2,3,4)
3.己知命题p:“a>b”是“2a>2b”的充要条件;q:∈R,lx+l l≤x,则
A.pq为真命题 B.pq为真命题
C.pq为真命题 D.pq为假命题
4.已知是第三象限的角,且tan=2,则sin(+)=
A. B. C. D.
5.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为
A. B.2 C.4 D.6
6.把函数y=sin(2x-)的图象向左平移个单位后,所得函数图象的一条对称轴为
A.x=0 B.x= C.x= D.x=—
7.执行如图所示的算法,若输出的结果y≥2,则输入的x满足
A.x≥4 B.x≤-l
C.-1≤x≤4 D.x≤一l或x≥4
8.已知某几何体的三视图如图所示,则其体积为
A.2 B.l C. D.
9.曲线y=在点(0,一1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为
A.1 B.- C. D.
10.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示,方程f(g(x))=0、g(f(x))=0 的实根个数分别为a、b,则a+b=
A.3 B.7 C.10 D.14
11.直线l与双曲线C:交于A、B两点,M是线段AB的中
点,若l与OM (O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为
A.2 B. C.3 D.
12.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为
A.l0cm B.10 cm
C.10cm D.30cm
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.函数y=的定义域为 。
14.向圆(x一2)2+(y—=4内随机掷一点,则该点落在x轴下方的概率为 。
15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,若|AF| =2|B|=6,则p= 。
16.在△ABC中,(则角A的最大值为 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)
已知数列满足:.
(I)求数列的通项公式;
(II)设,求
18.(本小题满分12分)
某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下:
(I)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小:
(II)从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析,求抽到恰好有1场得分不足10分的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB= 2AD
=2CD =2.E是PB的中点.
(I)求证:平面EAC⊥平面PBC;
( II)若PC=,求三棱锥C-ABE高的大小.
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy中,长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动,.记点P的轨迹为曲线E.
(I)求曲线E的方程;
( II)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A、B两点,当点M在曲线E上时,求四边形OAMB的面积.
21.(本小题满分12分)
已知.
(I)求函数f(x)的最小值;
( II)当x> 2a,证明:
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在△ABC中,BC边上的点D满足BD=2DC,以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A,过点B作BE⊥CA于点E,BE交圆D于点F.
(I)求∠ABC的度数:
( II)求证:BD=4EF.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为z轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同,己知圆C1的极坐标方程为p=4(cos+sin,P是C1上一动点,点Q在射线OP上且满足OQ=OP,点Q的轨迹为C2。
(I)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程;
( II)已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤<),l与曲线C2有且只有一个公共点,求的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设f(x)=|x|+2|x-a|(a>0).
(I)当a=l时,解不等式f(x)≤4;
( II)若f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围
唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试
文科数学参考答案
一、 选择题:
A卷:AABCB CDDCC BB
B卷:CADAB BACBC DB
二、填空题:
(13)(lg2,+∞) (14)- (15)4 (16)
三、解答题:
(17)解:
(Ⅰ)=(32-1)=3, …1分
当n≥2时,
=(++…+)-(++…+)
=(32n-1)-(32n-2-1)=32n-1, …5分
当n=1,=32n-1也成立,
所以an=. …6分
(Ⅱ)bn=log3=-(2n-1), …7分
∵==(-),
∴++…+=[(1-)+(-)+…+(-)] …10分
=(1-)=. …12分
(18)解:
(Ⅰ)甲=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15,
乙=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,
s=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,
s=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.
甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小). …4分
(Ⅱ)题设所述的6个场次乙得分为:
7,8,10,15,17,19. …7分
从中随机抽取2场,这2场比赛的得分如下:
(7,8),(7,10),(7,15),(7,17),(7,19),
(8,10),(8,15),(8,17),(8,19),
(10,15),(10,17),(10,19),
(15,17),(15,19),
(17,19),
共15种可能, …9分
其中恰好有1场得分在10分以下的情形是:
(7,10),(7,15),(7,17),(7,19),
(8,10),(8,15),(8,17),(8,19),
共8种可能,
所求概率P=. …12分
(19)解:
(Ⅰ)∵PC⊥平面ABCD,ACÌ平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC=,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵ACÌ平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC. …5分
D
A
C
E
P
B
(Ⅱ)由PC=,知△PBC为等腰直角三角形,则S△BCE=S△PBC=,
由(Ⅰ),AC为三棱锥A—BCE高. …7分
Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB,PA=PB=AB=2,则S△ABE=S△PAB=,
设三棱锥C—ABE的高为h,则
S△ABE·h=S△BCE·AC,×h=××,h=,
故三棱锥C—ABE的高等于. …12分
(20)解:
(Ⅰ)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).
由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),
∴得 …2分
由||=+1,得m2+n2=(+1)2,
∴(+1)2x2+y2=(+1)2,
整理,得曲线E的方程为x2+=1. …5分
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).
设直线l的方程为y=kx+1,代入曲线E方程,得
(k2+2)x2+2kx-1=0,
则x1+x2=-,x1x2=-, …7分
y1+y2=k(x1+x2)+2=,
由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,
即+=1,解得k2=2. …9分
这时|AB|=|x1-x2|==,
原点到直线l的距离d==,
平行四边形OAMB的面积S=|AB|·d=. …12分
(21)解:
(Ⅰ)f¢(x)=x-=. …1分
当x∈(0,a)时,f¢(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f¢(x)>0,f(x)单调递增.
当x=a时,f(x)取得极小值也是最小值f(a)=a2-a2lna. …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ),f(x)在(2a,+∞)单调递增,
则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0. …7分
设g(x)=f(x)-f(2a)-a(x-2a),
则当x>2a时,
g¢(x)=f¢(x)-a=x--a=>0, …9分
所以g(x)在[2a,+∞)上单调递增,
当x>2a时,g(x)>g(2a)=0,即f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0,
故>a. …12分
(22)解:
(Ⅰ)连结OA、AD.
∵AC是圆O的切线,OA=OB,
∴OA⊥AC,∠OAB=∠OBA=∠DAC, …2分
又AD是Rt△OAC斜边上的中线,
C
A
B
E
D
O
F
∴AD=OD=DC=OA,
∴△AOD是等边三角形,∴∠AOD=60°,
故∠ABC=∠AOD=30°. …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
在Rt△AEB中,∠EAB=∠ADB=60°,
∴EA=AB=×BD=BD,
EB=AB=×BD=BD, …7分
由切割线定理,得EA2=EF×EB,
∴BD2=EF×BD,
∴BD=4EF. …10分
(23)解:
(Ⅰ)设点P、Q的极坐标分别为(ρ0,θ)、(ρ,θ),则
ρ=ρ0=·4(cosθ+sinθ)=2(cosθ+sinθ),
点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ), …3分
两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),
C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. …5分
(Ⅱ)将l的代入曲线C2的直角坐标方程,得
(tcosφ+1)2+(tsinφ-1)2=2,即t2+2(cosφ-sinφ)t=0, …7分
t1=0,t2=sinφ-cosφ,
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,得sinφ-cosφ=0,
因为0≤φ<p,所以φ=. …10分
(24)解:
(Ⅰ)f(x)=|x|+2|x-1|= …2分
当x<0时,由2-3x≤4,得-≤x<0;
当0≤x≤1时,1≤2-x≤2;
当x>1时,由3x-2≤4,得1<x≤2.
综上,不等式f(x)≤4的解集为[-,2]. …5分
(Ⅱ)f(x)=|x|+2|x-a|= …7分
可见,f(x)在(-∞,a]单调递减,在(a,+∞)单调递增.
当x=a时,f(x)取最小值a.
所以,a取值范围为[4,+∞). …10分