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- 2021-06-11 发布
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2020 届新疆乌鲁木齐市高三第一次诊断性测试
数学文试题
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
1. 设集合 }03|{ 2 xxxA , }41|{ xxB ,则 BA
.A )4,0( .B ),( 41 .C ),( 43 .D )3,1(
2. 若复数 z 满足 iiz 2)1( (其中i 为虚数单位),则 z
.A i1 .B i1 .C i1 .D i1
3. 已知 nm, 是两条不同的直线, ,, 是三个不同的平面,则下列命题正确的是
.A 若 //,// nm ,则 nm // .B 若 , ,则 //
.C 若 //,// nm ,且 nm , ,则 //
.D 若 nm , ,且 ,则 nm
4. 设 6.02a , 6.0log 3.0b , 6.0log3c ,则有
.A abc .B cba .C acb .D bac
5. 已知向量 )1,(),2,1( mba ,且 )( baa ,则 m
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4
6. 已知双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x ( 0,0 ba )的左、右焦点分别为 21, FF , B 为虚轴的一个端点,且
12021BFF ,则双曲线的离心率为
.A 2 .B 3 .C 2
3 .D 2
6
7. 执行如右图所示的程序框图,则输出的 n
.A 3 .B 4 .C 5 .D 6
8. 从 1,2,3,4,5 这五个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为
.A 5
1 .B 5
2 .C 5
3 .D 5
4
9. 等比数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ,且 321 ,2,4 aaa 成等差数列,若 11 a ,则 5S
.A 15 .B 16 .C 31 .D 32
10. 将函数 xxf 2sin)( 的图象向左平移
4
个单位长度后得到函数 )(xgy 的图象,则下列关于 )(xg 说
法正确的是
.A 最大值为 1,图象关于直线
2
x 对称 .B 在
4,0 上单调递减,为奇函数 .C 在
8,8
3 上单调递增,为偶函数 .D 周期是 ,图象关于点
0,8
3 对称
11. 已知抛物线 C: )0(22 ppxy 的焦点 F 到准线的距离为 2,点 P 在抛物线上,且
2
3|| PF ,延长 PF
交 C 于点 Q,则△OPQ 的面积为
.A 2
23 .B 4
23 .C 8
23 .D 16
23
12. 已知函数
x
xxf )(
0
0
x
x
,
, ,若对任意 ]2,[ mmx ,都有 )(2)( xfmxf ,则实数 m 的
取值范围是
.A ]2
2,( .B ]1,( .C ]2,( .D ]2,(
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分
13. 若实数 yx, 满足约束条件
0
01
022
y
yx
yx
,则 yxz 23 的最大值为_______
14. 已知
5
4
3cos
, 为锐角,则 sin _______
15. 已知数列 }{ na 满足:
2
2
1
n
n
n a
aa
1
1
aa
aa
n
n
,
,
( *Nn ),若 33 a ,则 1a ____
16. 如图,已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 2,E、F、G 分别为 AB、AD、 11CB 的中点,给出下列命
题:
①异面直线 EF 与 AG 所成的角的余弦值为
6
2 ;
②过点 E、F、G 作正方体的截面,所得的截面的面积是 34 ;
③ CA1 平面 EFG
④三棱锥 EFGC 的体积为 1
其中正确的命题是_____________(填写所有正确的序号)
三、解答题:第 17~21 题每题 12 分,解答应写出文字说明、证明过计算步骤
17. △ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别是 cba ,, ,且
ba
AbCcBA
sin3sinsinsin
(Ⅰ)求∠C 的值
(Ⅱ)若 2c ,求△ABC 面积的最大值;
18. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD//BC,∠BAD=90°,AD=2BC,M 为 PD 的中点
(Ⅰ)证明:CM//平面 PAB
(Ⅱ)若△PBD 是边长为 2 的等边三角形,求点 C 到平面 PBD 的距离
19. “团购”已经渗透到我们每个人的生活,这离不开快递行业的发展,下表是 2013-2017 年全国快递业
务量( x 亿件:精确到 0.1)及其增长速度( y %)的数据
(Ⅰ)试计算 2012 年的快递业务量;
(Ⅱ)分别将 2013 年,2014 年,…,2017 年记成年的序号 t:1,2,3,4,5;现已知 y 与 t 具有线性
相关关系,试建立 y 关于 t 的回归直线方程 axby ˆˆˆ ;
(Ⅲ)根据(Ⅱ)问中所建立的回归直线方程,估算 2019 年的快递业务量
附:回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为:
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
b
1
22
1ˆ , xbya ˆˆ
20. 已知椭圆 C: )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 过点
2
31, ,左焦点 F )0,1(
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ) 21, AA 分别为椭圆 C 的左、右顶点,过点 F 作直线l 与椭圆 C 交于 PQ 两点(P 点在 x 轴上方),
若△ FPA1 的面积与△ FQA2 的面积之比为 2:3,求直线l 的方程
21. 已知函数 )(ln12)(
2
Raxax
xxf
(Ⅰ)若 0a 时,讨论 )(xf 的单调性;
(Ⅱ)设 xxfxg 2)()( ,若 )(xg 有两个零点,求 a 的取值范围
选考题:共 10 分,二选一
22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: 0422 xyx ,直线l 的参数方程为
sin
cos
ty
tx (t 为参数),
其中
6,0 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系。
(Ⅰ)求曲线 1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程;
(Ⅱ)设 )0,4(M , 2C 的极坐标方程 sin34 ,A,B 分别为直线l 与曲线 21,CC 异于原点的公共
点,当 30AMB 时,求直线l 的斜率;
23. 函数 322)( xxxf
(Ⅰ)求不等式 52)( xxf 的解集;
(Ⅱ)若 )(xf 的最小值为 k ,且实数 cba ,, 满足 kcba )( ,求证: 82 222 cba