【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 18页

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图所示，点是圆直径延长线上的一点，切圆于点，直线平分，分别交于点。‎ 求证：‎ ‎（1）为等腰三角形；‎ ‎（2）。‎ ‎2、如下图所示，点是圆直径延长线上的一点，切圆于点，直线平分，分别交于点。‎ 求证：（1）为等腰三角形；（2）。‎ ‎3、已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积。‎ ‎4、如图，是圆上两点，延长至点，满足，过作直线与圆相切于点，的平分线交于点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎5、如下图，在中,的平分线交于点，交的外接圆于点，延长交的外接圆于点，。‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的长。‎ ‎6、如下图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且。‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长。‎ ‎7、已知如图，四边形是圆的内接四边形，对角线交于点，直线是圆的切线，切 点为，。‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）在上取一点，若，求的大小。‎ ‎8、如图，直线为的切线，切点为，点、在圆上，，作交圆于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设的半径为2，，延长交于点，求外接圆的半径．‎ ‎9、如图，过圆外一点，作圆的切线、，、为切点，为弦上一点，过作直线分别交、于点、．‎ ‎（1）若，求线段的长；‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎10、如图，是的外接圆，平分交于，交的外接圆于 ‎（1）求证:‎ ‎（2）若求的长.‎ ‎11、如图,交圆于两点,切圆于为上一点且,连接并延长交圆于点,作弦,垂直,垂足为.‎ ‎（1）求证：为圆的直径；‎ ‎（2）若,求证：.‎ ‎12、已知是的外角的平分线,交的延长线于点,延长交 的外接圆于点,连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是外接圆的直径,,求的长.‎ ‎13、如图，已知是的对角的平分线，交的延长线于点，延长交的外接圆于点，连结．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎14、如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交线段于点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的长.‎ ‎15、如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交线段于点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的长.‎ ‎16、如图，与圆相切于点，为圆上两点，延长交圆于点，且交于点.‎ ‎（1）证明：∽；‎ ‎（2）若为圆的直径，，，求.‎ ‎17、如图，与圆相切于点，为圆上两点，延长交圆于点，且交于点.‎ ‎（1）证明：∽；‎ ‎（2）若为圆的直径，，，求.‎ ‎18、如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的长.‎ ‎19、如图，为圆的直径，在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆于，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎20、如图，为圆的直径，在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆 于，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值．‎ 参考答案 ‎1、答案：试题分析：（1）根据题意，证明，即可证明是等腰三角形；（2）利用对应角相等证明，即可证明。‎ 试题（1）∵切圆于点，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴为等腰三角形。‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴。‎ 考点：与圆有关的比例线段． 2、答案：试题分析：（1）根据题意，证明，即可证明是等腰三角形；（2）利用对应角相等证明，即可证明。‎ 试题（1）∵切圆于点，∴，又∵，∴，∴为等腰三角形，‎ ‎（2）∵，∴，∵，‎ ‎∴，则，∴。‎ 考点：与圆有关的比例线段。 3、答案：（1）见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由等腰三角形性质可得，由同弧上的圆周角相等可得，再由对顶角相等可得，等量代换查证结论成立；（2）设为外接圆圆心，连接交于，则，由圆的性质用圆的半径表示，可求出，从而求出圆的面积。‎ 试题（1）如图，由得 ‎∵与都是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴且 故。‎ ‎（2）设为外接圆圆心，连接交于，则，‎ 连接，由题意易得，，‎ 且，‎ ‎∴，设圆半径为，则，‎ 解得，故外接圆面积为。‎ 考点：圆的性质。 4、答案：（1）证明见解析；（2）。‎ 试题分析：（1）由题可知，再利用三角形外角和定理可得，进而得；（2）先证，再由切割线定理得，得，进而可得结果。‎ 试题（1）由题可知，又，故，故。‎ ‎（2）因为与分别为圆的切线和割线，所以，得。又因为直线与圆相切于点，则，则，则，故。‎ 考点：1.相似三角形的性质；2.切割线定理的应用。 5、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）。‎ 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件运用裂项相消法求解。‎ 试题 ‎（Ⅰ）在的外接圆中，，的外接圆中，,，为的平分线，，，，。‎ ‎（Ⅱ）设，，，，由（Ⅰ）同理可得 ‎，，，，，，‎ 则，(不合题意,舍去)，。‎ 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用。 6、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）。‎ 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用相似三角形推证；（Ⅱ）借助题设条件运用切割线定理求解。‎ 试题 ‎（Ⅰ）因为，所以，所以，又因为，所以，故，所以，所以，即，又，故；‎ ‎（Ⅱ）借助题设条件及可得，又，所以。由可知，所以，所以，运用切割线定理可得。‎ 考点：相似三角形及圆幂定理的运用。 7、答案：（1）；（2）。‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用相似三角形的性质求解；（2）借助题设条件运用圆幂定理求解。‎ 试题 ‎（1）∵是圆的切线，‎ ‎∴，‎ 由，‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∴∽，‎ ‎∴。‎ 又，，‎ ‎∴，∴。‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 考点：三角形相似的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用。 8、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）构造辅助线，交于点．由弦切角定理，圆上的同弧，等弧的性质，通过导角，可以得知，即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得是的中垂线，即可求得的长度．设的中点为，连结，求得，通过导角，可得，即可求得外接圆的半径．‎ 试题（Ⅰ）连结，交与点∵，∴是直径．‎ ‎∵，‎ 又，∴．∴．‎ 由弦切角定理得，∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，‎ ‎∴是的中垂线，∴．‎ 连结，则，所以为正三角形．‎ ‎，‎ ‎∴，∴的外接圆半径等于．‎ 考点：与圆有关的比例线段. ‎ ‎9、答案：（1）；（2）证明见解析.‎ 试题分析：（1）过点作交于点，可证，，等腰三角形可得，进而可得线段的长；（2）先证四点、、、共圆，四点、、、共圆，进而可得，从而.‎ 试题（1）如图1，过点作交于点，则，‎ 且，所以．‎ 因为、是圆的切线，所以，所以，从而，得．‎ 由，得．‎ ‎（2）如图2，连接、、、，则．‎ 因为，所以，故四点、、、共圆，四点、、、共圆，所以．‎ 又，所以，故．‎ 从而．‎ 考点：1、平行线的性质及圆的切线的性质；2、相识三角形、四点共圆及等腰三角形性质. 10、答案：(1)证明见解析；(2).‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用圆中的有关定理推证；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理求解.‎ 试题 ‎（1）如图,过作交于,连结.①‎ 又平分,又.②‎ ‎①②知.‎ ‎（2）.又,‎ ‎.‎ 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用． 11、答案：试题分析：(1)借助题设条件运用圆中的有关定理进行推证；（2）借助题设条件运用相似三角形的性质分析推证.‎ 试题 ‎（1）为切线,,为圆的直径.‎ ‎（2）连接为圆的直径,,在与中,,,为直角,‎ 为圆的直径,为圆的直径,.‎ 考点：圆幂定理等有关知识的综合运用． 12、答案：（1）详见解析（2）6‎ 试题分析：（1）在圆中证明线段线段，一般转化为证角相等，利用四点共圆可得，再根据对顶角相等及同弧所对角相等得，由于是的外角的平分线所以，因此（2）根据直径所对圆周角为直角，可得两个直角三角形 ‎，，结合条件，先求，再求 试题（1）证明：平分,因为四边形内接于圆,,又.‎ ‎（2）是圆的径,,‎ 在中,,又在中,.‎ 考点：四点共圆 13、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）欲证，可证．由、、、四点共圆可知，又同弧所对的圆周角相等，则，而，则，是外角的平分线，得，故；（2）由（1）知，求的长，即可以转化为求的长，联系已知条件：告诉与的长度，即可证．‎ 试题（1）证明：∵、、、四点共圆，∴‎ 又∵平分，∴‎ 又∵（同弧所对的圆周角相等），‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）解：∵‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴∴∴．‎ 考点：与圆有关的比例线段. 14、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）先证明，则，是的平分线，所以，而，所以，即；（2）根据割线定理得，所以，,在等腰梯形中，易求得.‎ 试题 ‎（1）证明：因为四边形为圆内接四边形，所以,‎ 又，所以∽，则,‎ 在圆内接四边形中，是的平分线，所以，,‎ 而，所以，即.‎ ‎（2）解：由（1）得，而，所以，，，‎ 根据割线定理得，所以，,‎ 在圆内接四边形中，由于，所以，,‎ 在等腰梯形中，易求得.‎ 考点：几何证明选讲. 15、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）先证明，则，是的平分线，所以，而，所以，即；（2）根据割线定理得，所以，,在等腰梯形中，易求得.‎ 试题 ‎（1）证明：因为四边形为圆内接四边形，所以,‎ 又，所以∽，则,‎ 在圆内接四边形中，是的平分线，所以，,‎ 而，所以，即.‎ ‎（2）解：由（1）得，而，所以，，，‎ 根据割线定理得，所以，,‎ 在圆内接四边形中，由于，所以，,‎ 在等腰梯形中，易求得.‎ 考点：几何证明选讲. 16、答案：试题分析：（1）证明三角形相似，一般从角相等出发：由同弧所对角相等得，，又，所以，即（2）由射影定理得，因此转化为求，在等腰直角中易得 试题（1）因为，所以，‎ 又，所以，‎ 又，所以∽.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由（1）得，所以，‎ 又因为为圆的直径，‎ 所以为等腰直角三角形，，‎ 因为与圆相切于点，所以，即.‎ 考点：三角形相似，射影定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 17、答案：试题分析：（1）证明三角形相似，一般从角相等出发：由同弧所对角相等得，，又，所以，即（2）由射影定理得，因此转化为求，在等腰直角中易得 试题（1）因为，所以，‎ 又，所以，‎ 又，所以∽.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由（1）得，所以，‎ 又因为为圆的直径，‎ 所以为等腰直角三角形，，‎ 因为与圆相切于点，所以，即.‎ 考点：三角形相似，射影定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 18、答案：(1)证明见解析；(2).‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用相似三角形求解；(2)借助题设条件运用等切割线定理建立方程求解.‎ 试题 ‎（1）连结,‎ 为圆的内接四边形，又 即，而.‎ 又是的平分线，从而 ‎（2）由条件得设.‎ 根据割线定理得即解得，即.‎ 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用． 19、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接，∵，∴，又，∴为等边三角形，∵，∴为中边上的中线，∴；（2）连接，证明，∴，即.‎ 试题 ‎（1）证明：‎ 连接，‎ ‎∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∵，‎ ‎∴为中边上的中线，‎ ‎∴；．‎ ‎（2）解：连接，‎ ‎∵，边等边三角形，‎ 可求得，‎ ‎∵为圆的直径，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ 即．．‎ 考点：几何证明选讲. 20、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接，∵，∴，又，∴为等边三角形，∵，∴为中边上的中线，∴；（2）连接，证明，∴，即.‎ 试题 ‎（1）证明：‎ 连接，‎ ‎∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∵，‎ ‎∴为中边上的中线，‎ ‎∴；‎ ‎（2）解：连接，‎ ‎∵，边等边三角形，‎ 可求得，‎ ‎∵为圆的直径，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ 即．‎ 考点：几何证明选讲. ‎