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- 2021-06-11 发布
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2012年四川省高考数学试卷(文科)
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( )
A.{b} B.{b,c,d} C.{a,c,d} D.{a,b,c,d}
2.(5分)(1+x)7的展开式中x2的系数是( )
A.21 B.28 C.35 D.42
3.(5分)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808 C.1212 D.2012
4.(5分)函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.(5分)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED则sin∠CED=( )
A. B. C. D.
6.(5分)下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
7.(5分)设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A.且 B. C. D.
8.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+4y的最大值是( )
A.12 B.26 C.28 D.33
9.(5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A. B. C.4 D.
10.(5分)如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足∠BOP=60°,则A、P两点间的球面距离为( )
A. B. C. D.
11.(5分)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.28条 B.32条 C.36条 D.48条
12.(5分)设函数f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=( )
A.0 B.7 C.14 D.21
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.)
13.(4分)函数的定义域是 .(用区间表示)
14.(4分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .
15.(4分)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .
16.(4分)设a,b为正实数,现有下列命题:
①若a2﹣b2=1,则a﹣b<1;
②若,则a﹣b<1;
③若,则|a﹣b|<1;
④若|a3﹣b3|=1,则|a﹣b|<1.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;
(Ⅱ)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
18.(12分)已知函数f(x)=cos2﹣sincos﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若f(α)=,求sin2α的值.
19.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
(Ⅱ)求二面角B﹣AP﹣C的大小.
20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?
21.(12分)如图,动点M与两定点A(﹣1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线MA、MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=x+m(m>0)与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.
22.(14分)已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
(Ⅰ)用a和n表示f(n);
(Ⅱ)求对所有n都有成立的a的最小值;
(Ⅲ)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由.
2012年四川省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2012•四川)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( )
A.{b} B.{b,c,d} C.{a,c,d} D.{a,b,c,d}
【分析】由题意,集合A={a,b},B={b,c,d},由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项.
【解答】解:由题意A={a,b},B={b,c,d},
∴A∪B={a,b,c,d}
故选D.
2.(5分)(2012•四川)(1+x)7的展开式中x2的系数是( )
A.21 B.28 C.35 D.42
【分析】由题设,二项式(1+x)7,根据二项式定理知,x2项是展开式的第三项,由此得展开式中x2的系数是,计算出答案即可得出正确选项
【解答】解:由题意,二项式(1+x)7的展开式中x2的系数是=21
故选A
3.(5分)(2012•四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808 C.1212 D.2012
【分析】根据甲社区有驾驶员96人,在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率,然后求出样本容量,从而求出总人数.
【解答】解:∵甲社区有驾驶员96人,在甲社区中抽取驾驶员的人数为12
∴每个个体被抽到的概率为=
样本容量为12+21+25+43=101
∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808
故选B.
4.(5分)(2012•四川)函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【分析】通过图象经过定点(1,0),排除不符合条件的选项,从而得出结论.
【解答】解:由于当x=1时,y=0,即函数y=ax﹣a 的图象过点(1,0),故排除A、B、D.
故选C.
5.(5分)(2012•四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED则sin∠CED=( )
A. B. C. D.
【分析】法一:用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦,再由同角三角关系求正弦;
法二:在三角形CED中用正弦定理直接求正弦.
【解答】解:法一:利用余弦定理
在△CED中,根据图形可求得ED=,CE=,
由余弦定理得cos∠CED=,
∴sin∠CED==.
故选B.
法二:在△CED中,根据图形可求得ED=,CE=,∠CDE=135°,
由正弦定理得,即.
故选B.
6.(5分)(2012•四川)下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A;利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B;利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确;利用面面垂直的性质可排除D.
【解答】解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;
C、设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故C正确;
D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除D.
故选C.
7.(5分)(2012•四川)设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A.且 B. C. D.
【分析】利用向量共线的充要条件,求已知等式的充要条件,进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件
【解答】解:⇔⇔与共线且同向⇔且λ>0,A选项和C选项中和可能反向,B选项不符合λ>0.
故选D.
8.(5分)(2012•四川)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+4y的最大值是( )
A.12 B.26 C.28 D.33
【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值.
【解答】解:作出约束条件,所示的平面区域,
作直线3x+4y=0,然后把直线L向可行域平移,结合图形可知,平移到点C时z最大
由可得C(4,4),此时z=28
故选C
9.(5分)(2012•四川)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A. B. C.4 D.
【分析】关键点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,利用抛物线的定义,可求抛物线方程,进而可得点M的坐标,由此可求|OM|.
【解答】解:由题意,抛物线关于x轴对称,开口向右,设方程为y2=2px(p>0)
∵点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M(2,y0)
∴
∴|OM|=
故选B.
10.(5分)(2012•四川)如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足∠BOP=60°,则A、P两点间的球面距离为( )
A. B. C. D.
【分析】由法一:利用三面角公式,转化求解圆心角,然后求解球面距离.
另解:题意求出AP的距离,然后求出∠AOP,即可求解A、P两点间的球面距离.
【解答】解:法一:作AM⊥OB于M,MN⊥OP于N,连AN,
记角∠AOM、∠MON、∠AON分别为x、y、z,
则 cosx=,cosy=,cosz==cosx cosy
由题意 x=45° y=60°,∴cosz==,
故 A与P球面距离为:R arccos.
故选:A.
另解:半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,所以CD⊥平面AOB,
因为∠BOP=60°,所以△OPB为正三角形,P到BO的距离为PE=,E为BO的中点,AE==,
AP==,
AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP,,
cos∠AOP=,∠AOP=arccos,
A、P两点间的球面距离为,
故选A.
11.(5分)(2012•四川)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.28条 B.32条 C.36条 D.48条
【分析】方程变形得,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,然后进行排列.
【解答】解:方程变形得,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,
先排a,b,有种,c有种,所以表示抛物线的曲线共有,又因为当b=±2时,b2都等于4,所以重复的抛物线有种,所以不同的抛物线有﹣=32条.
故选B.
12.(5分)(2012•四川)设函数f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=( )
A.0 B.7 C.14 D.21
【分析】根据f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,可得f(x)﹣2=(x﹣3)3+x﹣3,构造函数g(x)=f(x)﹣2,从而g(x)关于(3,0)对称,利用f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,可得g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0,从而g(a4
)为g(x)与x轴的交点,由此可求a1+a2+…+a7的值.
【解答】解:∵f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,∴f(x)﹣2=(x﹣3)3+x﹣3,
令g(x)=f(x)﹣2
∴g(x)关于(3,0)对称
∵f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14
∴f(a1)﹣2+f(a2)﹣2+…+f(a7)﹣2=0
∴g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0
∴g(a4)为g(x)与x轴的交点
因为g(x)关于(3,0)对称,所以a4=3
∴a1+a2+…+a7=7a4=21,
故选D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.)
13.(4分)(2012•四川)函数的定义域是 (﹣∞,) .(用区间表示)
【分析】结合函数的表达式可得不等式1﹣2x>0的解集即为所求.
【解答】解:∵1﹣2x>0
∴x<
∴函数的定义域为(﹣∞,)
故答案为(﹣∞,)
14.(4分)(2012•四川)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 90° .
【分析】以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角.
【解答】解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2,
则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),A1(2,0,2),=(0,2,1),=(﹣2,1,﹣2)
•=0,所以⊥,即A1M⊥DN,异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°,
故答案为:90°.
15.(4分)(2012•四川)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .
【分析】先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式,进而求出何时周长最大,即可求出椭圆的离心率.
【解答】解:设椭圆的右焦点E.如图:
由椭圆的定义得:△FAB的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣AE﹣BE;
∵AE+BE≥AB;
∴AB﹣AE﹣BE≤0,当AB过点E时取等号;
∴△FAB的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a;
∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3;
∴e===.
故答案:.
16.(4分)(2012•四川)设a,b为正实数,现有下列命题:
①若a2﹣b2=1,则a﹣b<1;
②若,则a﹣b<1;
③若,则|a﹣b|<1;
④若|a3﹣b3|=1,则|a﹣b|<1.
其中的真命题有 ①④ .(写出所有真命题的编号)
【分析】①将a2﹣b2=1,分解变形为(a+1)(a﹣1)=b2,即可证明a﹣1<b,即a﹣b<1;②③可通过举反例的方法证明其错误性;④若a>
b,去掉绝对值,将a3﹣b3=1分解变形为(a﹣1)(a2+1+a)=b3,即可证明a﹣b<1,同理当a<b时也可证明b﹣a<1,从而命题④正确.
【解答】解:①若a2﹣b2=1,则a2﹣1=b2,即(a+1)(a﹣1)=b2,∵a+1>a﹣1,∴a﹣1<b<a+1,即a﹣b<1,①正确;
②若,可取a=7,b=,则a﹣b>1,∴②错误;
③若,则可取a=9,b=4,而|a﹣b|=5>1,∴③错误;
④由|a3﹣b3|=1,
若a>b>0,则a3﹣b3=1,即(a﹣1)(a2+a+1)=b3,∵a2+1+a>b2,∴a﹣1<b,即a﹣b<1
若0<a<b,则b3﹣a3=1,即(b﹣1)(b2+1+b)=a3,∵b2+1+b>a2,∴b﹣1<a,即b﹣a<1
∴|a﹣b|<1,∴④正确.
故答案为①④.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(12分)(2012•四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;
(Ⅱ)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
【分析】(Ⅰ)求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率,利用至少有一个系统不发生故障的概率为,可求p的值;
(Ⅱ)利用相互独立事件的概率公式,即可求得结论.
【解答】解:(Ⅰ)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,则
∴;
(Ⅱ)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D,那么
P(D)==.
18.(12分)(2012•四川)已知函数f(x)=cos2﹣sincos﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若f(α)=,求sin2α的值.
【分析】(Ⅰ)将化为f(x)=cos(x+)即可求得f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)由可求得cos(α+)=,由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值.
【解答】解:(Ⅰ)由已知,f(x)=﹣sincos﹣
=(1+cosx)﹣sinx﹣
=cos(x+).
∴函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[﹣,].
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(α)=cos(α+)=,
∴cos(α+)=,
∴sin2α=﹣cos(+2α)=﹣cos2(α+)
=1﹣2
=1﹣
=.
19.(12分)(2012•四川)如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
(Ⅱ)求二面角B﹣AP﹣C的大小.
【分析】解法一(Ⅰ)连接OC,由已知,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.设AB中点为D,连接PD,CD.不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4.在RT△OCP中求解.
(Ⅱ)以O为原点,建立空间直角坐标系,利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解.
解法二(Ⅰ)设AB中点为D,连接CD.以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用与平面ABC的一个法向量夹角求解.
(Ⅱ)分别求出平面APC,平面ABP的一个法向量,利用两法向量夹角求解.
【解答】解法一
(Ⅰ)连接OC,由已知,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.
设AB中点为D,连接PD,CD.因为AB=BC=CA,所以CD⊥AB,
因为∠APB=90°,∠PAB=60°,所以△PAD为等边三角形,
不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4.
所以CD=2,OC===
在RT△OCP中,tan∠OCP===.
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,以O为原点,建立空间直角坐标系.则=(1,0,),=(2,2,0).
设平面APC的一个法向量为=(x,y,z),则由得出即,取x=﹣,则y=1,z=1,所以=(﹣,1,1).设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β,易知β为锐角.而面ABP的一个法向量为=(0,1,0),则cosβ===.故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos.
解法二:(Ⅰ)设AB中点为D,连接CD.因为O在AB上,且O为P在平面ABC内的射影,
所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AB,且PO⊥CD.因为AB=BC=CA,所以CD⊥AB,设E为AC中点,则EO∥CD,从而OE⊥PO,OE⊥AB.
如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.不妨设PA=2,由已知可得,AB=4,OA=OD=1,OP=,
CD=2,所以O(0,0,0),A(﹣1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,),所以=(﹣1,﹣2,)=(0,0,
)为平面ABC的一个法向量.
设α为直线PC与平面ABC所成的角,则sinα===.故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=(1,0,),=(2,2,0).
设平面APC的一个法向量为=(x,y,z),则由得出即,
取x=﹣,则y=1,z=1,所以=(﹣,1,1).设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β,易知β为锐角.
而面ABP的一个法向量为=(0,1,0),则cosβ===.
故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos.
20.(12分)(2012•四川)已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?
【分析】(I)由题意,n=1时,由已知可知a1(λa1﹣2)=0,分类讨论:由a1=0,及a1≠0,结合数列的和与项的递推公式可求
(II)由a1>0且λ=100时,令,则,结合数列的单调性可求和的最大项
【解答】解(I)当n=1时,
∴a1(λa1﹣2)=0
若取a1=0,则Sn=0,an=Sn﹣Sn﹣1=0
∴an=0(n≥1)
若a1≠0,则,当n≥2时,2an=,
两式相减可得,2an﹣2an﹣1=an
∴an=2an﹣1,从而可得数列{an}是等比数列
∴an=a1•2n﹣1==
综上可得,当a1=0时,an=0,当a1≠0时,
(II)当a1>0且λ=100时,令
由(I)可知
∴{bn}是单调递减的等差数列,公差为﹣lg2
∴b1>b2>…>b6=>0
当n≥7时,
∴数列的前6项和最大
21.(12分)(2012•四川)如图,动点M与两定点A(﹣1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线MA、MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=x+m(m>0)与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.
【分析】(Ⅰ)设出点M(x,y),表示出两线的斜率,利用其乘积为4,建立方程化简即可得到点M的轨迹方程;
(Ⅱ)直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0(x≠±1)联立,消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣3=0,结合题设(m>0)可知,m>0且m≠1设Q,R的坐标,求出xR,xQ,利用,即可确定的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),则kMA=,kMB=
∵直线MA、MB的斜率之积为4,
∴
∴4x2﹣y2﹣4=0
又x=±1时,必有一个斜率不存在,故x≠±1
综上点M的轨迹方程为4x2﹣y2﹣4=0(x≠±1)
(Ⅱ)直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0(x≠±1)联立,消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣4=0①
∴△=16m2+48>0
当1或﹣1是方程①的根时,m的值为1或﹣1,结合题设(m>0)可知,m>0且m≠1
设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),
∵|PQ|<|PR|,∴xR=,xQ=,
∴==
∵m>0且m≠1
∴,且≠4
∴,且
∴的取值范围是(1,)∪(,3)
22.(14分)(2012•四川)已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
(Ⅰ)用a和n表示f(n);
(Ⅱ)求对所有n都有成立的a的最小值;
(Ⅲ)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由.
【分析】(Ⅰ)根据抛物线与x轴正半轴相交于点A,可得A(),进一步可求抛物线在点A处的切线方程,从而可得f(n);
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(n)=an,则成立的充要条件是an≥2n+1,即知,an≥2n+1对所有n成立,当a=3,n≥1时,an=3n=(1+2)n≥1+=2n+1,当n=0时,an=2n+1,由此可得a的最小值;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(k)=ak,证明当0<x<1时,,即可证明:>.
【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线与x轴正半轴相交于点A,∴A()
对求导得y′=﹣2x
∴抛物线在点A处的切线方程为,∴
∵f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,∴f(n)=an;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(n)=an,则成立的充要条件是an≥2n+1
即知,an≥2n+1对所有n成立,特别的,取n=1得到a≥3
当a=3,n≥1时,an=3n=(1+2)n≥1+=2n+1
当n=0时,an=2n+1
∴a=3时,对所有n都有成立
∴a的最小值为3;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(k)=ak,下面证明:>
首先证明:当0<x<1时,
设函数g(x)=6x(x2﹣x)+1,0<x<1,则g′(x)=18x(x﹣)
当0<x<时,g′(x)<0;当时,g′(x)>0
故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g()=>0
∴当0<x<1时,g(x)>0,∴
由0<a<1知0<ak<1,因此,
从而=
>6(a+a2+…+an)==
参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;minqi5;caoqz;xize;邢新丽;刘长柏;qiss;蔡华侨;zwx097;庞会丽;wfy814;吕静(排名不分先后)
2017年2月3日
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