• 414.00 KB
  • 2021-06-11 发布

2012年四川省高考数学试卷(文科)

  • 25页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2012年四川省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=(  )‎ A.{b} B.{b,c,d} C.{a,c,d} D.{a,b,c,d}‎ ‎2.(5分)(1+x)7的展开式中x2的系数是(  )‎ A.21 B.28 C.35 D.42‎ ‎3.(5分)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(  )‎ A.101 B.808 C.1212 D.2012‎ ‎4.(5分)函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED则sin∠CED=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)下列命题正确的是(  )‎ A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎7.(5分)设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(  )‎ A.且 B. C. D.‎ ‎8.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+4y的最大值是(  )‎ A.12 B.26 C.28 D.33‎ ‎9.(5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(  )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎10.(5分)如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足∠BOP=60°,则A、P两点间的球面距离为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有(  )‎ A.28条 B.32条 C.36条 D.48条 ‎12.(5分)设函数f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=(  )‎ A.0 B.7 C.14 D.21‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.)‎ ‎13.(4分)函数的定义域是  .(用区间表示)‎ ‎14.(4分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是  .‎ ‎15.(4分)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是  .‎ ‎16.(4分)设a,b为正实数,现有下列命题:‎ ‎①若a2﹣b2=1,则a﹣b<1;‎ ‎②若,则a﹣b<1;‎ ‎③若,则|a﹣b|<1;‎ ‎④若|a3﹣b3|=1,则|a﹣b|<1.‎ 其中的真命题有  .(写出所有真命题的编号)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.‎ ‎(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;‎ ‎(Ⅱ)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=cos2﹣sincos﹣.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;‎ ‎(Ⅱ)若f(α)=,求sin2α的值.‎ ‎19.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.‎ ‎(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣AP﹣C的大小.‎ ‎20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?‎ ‎21.(12分)如图,动点M与两定点A(﹣1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线MA、MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线y=x+m(m>0)与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.‎ ‎22.(14分)已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.‎ ‎(Ⅰ)用a和n表示f(n);‎ ‎(Ⅱ)求对所有n都有成立的a的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2012年四川省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2012•四川)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=(  )‎ A.{b} B.{b,c,d} C.{a,c,d} D.{a,b,c,d}‎ ‎【分析】由题意,集合A={a,b},B={b,c,d},由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项.‎ ‎【解答】解:由题意A={a,b},B={b,c,d},‎ ‎∴A∪B={a,b,c,d}‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•四川)(1+x)7的展开式中x2的系数是(  )‎ A.21 B.28 C.35 D.42‎ ‎【分析】由题设,二项式(1+x)7,根据二项式定理知,x2项是展开式的第三项,由此得展开式中x2的系数是,计算出答案即可得出正确选项 ‎【解答】解:由题意,二项式(1+x)7的展开式中x2的系数是=21‎ 故选A ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(  )‎ A.101 B.808 C.1212 D.2012‎ ‎【分析】根据甲社区有驾驶员96人,在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率,然后求出样本容量,从而求出总人数.‎ ‎【解答】解:∵甲社区有驾驶员96人,在甲社区中抽取驾驶员的人数为12‎ ‎∴每个个体被抽到的概率为=‎ 样本容量为12+21+25+43=101‎ ‎∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•四川)函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】通过图象经过定点(1,0),排除不符合条件的选项,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:由于当x=1时,y=0,即函数y=ax﹣a 的图象过点(1,0),故排除A、B、D.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED则sin∠CED=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】法一:用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦,再由同角三角关系求正弦;‎ 法二:在三角形CED中用正弦定理直接求正弦.‎ ‎【解答】解:法一:利用余弦定理 在△CED中,根据图形可求得ED=,CE=,‎ 由余弦定理得cos∠CED=,‎ ‎∴sin∠CED==.‎ 故选B.‎ 法二:在△CED中,根据图形可求得ED=,CE=,∠CDE=135°,‎ 由正弦定理得,即.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•四川)下列命题正确的是(  )‎ A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A;利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B;利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确;利用面面垂直的性质可排除D.‎ ‎【解答】解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;‎ B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;‎ C、设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故C正确;‎ D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除D.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•四川)设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(  )‎ A.且 B. C. D.‎ ‎【分析】利用向量共线的充要条件,求已知等式的充要条件,进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 ‎【解答】解:⇔⇔与共线且同向⇔且λ>0,A选项和C选项中和可能反向,B选项不符合λ>0.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•四川)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+4y的最大值是(  )‎ A.12 B.26 C.28 D.33‎ ‎【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值.‎ ‎【解答】解:作出约束条件,所示的平面区域,‎ 作直线3x+4y=0,然后把直线L向可行域平移,结合图形可知,平移到点C时z最大 由可得C(4,4),此时z=28‎ 故选C ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•四川)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(  )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【分析】关键点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,利用抛物线的定义,可求抛物线方程,进而可得点M的坐标,由此可求|OM|.‎ ‎【解答】解:由题意,抛物线关于x轴对称,开口向右,设方程为y2=2px(p>0)‎ ‎∵点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,‎ ‎∴2+=3‎ ‎∴p=2‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x ‎∵M(2,y0)‎ ‎∴‎ ‎∴|OM|=‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2012•四川)如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足∠BOP=60°,则A、P两点间的球面距离为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由法一:利用三面角公式,转化求解圆心角,然后求解球面距离.‎ 另解:题意求出AP的距离,然后求出∠AOP,即可求解A、P两点间的球面距离.‎ ‎【解答】解:法一:作AM⊥OB于M,MN⊥OP于N,连AN,‎ 记角∠AOM、∠MON、∠AON分别为x、y、z,‎ 则 cosx=,cosy=,cosz==cosx cosy 由题意 x=45° y=60°,∴cosz==,‎ 故 A与P球面距离为:R arccos.‎ 故选:A.‎ 另解:半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,所以CD⊥平面AOB,‎ 因为∠BOP=60°,所以△OPB为正三角形,P到BO的距离为PE=,E为BO的中点,AE==,‎ AP==,‎ AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP,,‎ cos∠AOP=,∠AOP=arccos,‎ A、P两点间的球面距离为,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2012•四川)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有(  )‎ A.28条 B.32条 C.36条 D.48条 ‎【分析】方程变形得,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,然后进行排列.‎ ‎【解答】解:方程变形得,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,‎ 先排a,b,有种,c有种,所以表示抛物线的曲线共有,又因为当b=±2时,b2都等于4,所以重复的抛物线有种,所以不同的抛物线有﹣=32条.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2012•四川)设函数f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=(  )‎ A.0 B.7 C.14 D.21‎ ‎【分析】根据f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,可得f(x)﹣2=(x﹣3)3+x﹣3,构造函数g(x)=f(x)﹣2,从而g(x)关于(3,0)对称,利用f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,可得g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0,从而g(a4‎ ‎)为g(x)与x轴的交点,由此可求a1+a2+…+a7的值.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=(x﹣3)3+x﹣1,∴f(x)﹣2=(x﹣3)3+x﹣3,‎ 令g(x)=f(x)﹣2‎ ‎∴g(x)关于(3,0)对称 ‎∵f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14‎ ‎∴f(a1)﹣2+f(a2)﹣2+…+f(a7)﹣2=0‎ ‎∴g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0‎ ‎∴g(a4)为g(x)与x轴的交点 因为g(x)关于(3,0)对称,所以a4=3‎ ‎∴a1+a2+…+a7=7a4=21,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.)‎ ‎13.(4分)(2012•四川)函数的定义域是 (﹣∞,) .(用区间表示)‎ ‎【分析】结合函数的表达式可得不等式1﹣2x>0的解集即为所求.‎ ‎【解答】解:∵1﹣2x>0‎ ‎∴x<‎ ‎∴函数的定义域为(﹣∞,)‎ 故答案为(﹣∞,)‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2012•四川)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 90° .‎ ‎【分析】以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角.‎ ‎【解答】解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2,‎ 则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),A1(2,0,2),=(0,2,1),=(﹣2,1,﹣2)‎ ‎•=0,所以⊥,即A1M⊥DN,异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°,‎ 故答案为:90°.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2012•四川)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是  .‎ ‎【分析】先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式,进而求出何时周长最大,即可求出椭圆的离心率.‎ ‎【解答】解:设椭圆的右焦点E.如图:‎ 由椭圆的定义得:△FAB的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣AE﹣BE;‎ ‎∵AE+BE≥AB;‎ ‎∴AB﹣AE﹣BE≤0,当AB过点E时取等号;‎ ‎∴△FAB的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a;‎ ‎∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3;‎ ‎∴e===.‎ 故答案:.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2012•四川)设a,b为正实数,现有下列命题:‎ ‎①若a2﹣b2=1,则a﹣b<1;‎ ‎②若,则a﹣b<1;‎ ‎③若,则|a﹣b|<1;‎ ‎④若|a3﹣b3|=1,则|a﹣b|<1.‎ 其中的真命题有 ①④ .(写出所有真命题的编号)‎ ‎【分析】①将a2﹣b2=1,分解变形为(a+1)(a﹣1)=b2,即可证明a﹣1<b,即a﹣b<1;②③可通过举反例的方法证明其错误性;④若a>‎ b,去掉绝对值,将a3﹣b3=1分解变形为(a﹣1)(a2+1+a)=b3,即可证明a﹣b<1,同理当a<b时也可证明b﹣a<1,从而命题④正确.‎ ‎【解答】解:①若a2﹣b2=1,则a2﹣1=b2,即(a+1)(a﹣1)=b2,∵a+1>a﹣1,∴a﹣1<b<a+1,即a﹣b<1,①正确;‎ ‎②若,可取a=7,b=,则a﹣b>1,∴②错误;‎ ‎③若,则可取a=9,b=4,而|a﹣b|=5>1,∴③错误;‎ ‎④由|a3﹣b3|=1,‎ 若a>b>0,则a3﹣b3=1,即(a﹣1)(a2+a+1)=b3,∵a2+1+a>b2,∴a﹣1<b,即a﹣b<1‎ 若0<a<b,则b3﹣a3=1,即(b﹣1)(b2+1+b)=a3,∵b2+1+b>a2,∴b﹣1<a,即b﹣a<1‎ ‎∴|a﹣b|<1,∴④正确.‎ 故答案为①④.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)(2012•四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.‎ ‎(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;‎ ‎(Ⅱ)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率,利用至少有一个系统不发生故障的概率为,可求p的值;‎ ‎(Ⅱ)利用相互独立事件的概率公式,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,则 ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D,那么 P(D)==.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2012•四川)已知函数f(x)=cos2﹣sincos﹣.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;‎ ‎(Ⅱ)若f(α)=,求sin2α的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)将化为f(x)=cos(x+)即可求得f(x)的最小正周期和值域;‎ ‎(Ⅱ)由可求得cos(α+)=,由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由已知,f(x)=﹣sincos﹣‎ ‎=(1+cosx)﹣sinx﹣‎ ‎=cos(x+).‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[﹣,].‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(α)=cos(α+)=,‎ ‎∴cos(α+)=,‎ ‎∴sin2α=﹣cos(+2α)=﹣cos2(α+)‎ ‎=1﹣2‎ ‎=1﹣‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2012•四川)如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.‎ ‎(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣AP﹣C的大小.‎ ‎【分析】解法一(Ⅰ)连接OC,由已知,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.设AB中点为D,连接PD,CD.不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4.在RT△OCP中求解.‎ ‎(Ⅱ)以O为原点,建立空间直角坐标系,利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解.‎ 解法二(Ⅰ)设AB中点为D,连接CD.以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用与平面ABC的一个法向量夹角求解.‎ ‎(Ⅱ)分别求出平面APC,平面ABP的一个法向量,利用两法向量夹角求解.‎ ‎【解答】解法一 ‎(Ⅰ)连接OC,由已知,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角. ‎ 设AB中点为D,连接PD,CD.因为AB=BC=CA,所以CD⊥AB,‎ 因为∠APB=90°,∠PAB=60°,所以△PAD为等边三角形,‎ 不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4.‎ 所以CD=2,OC===‎ 在RT△OCP中,tan∠OCP===.‎ 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,以O为原点,建立空间直角坐标系.则=(1,0,),=(2,2,0).‎ 设平面APC的一个法向量为=(x,y,z),则由得出即,取x=﹣,则y=1,z=1,所以=(﹣,1,1).设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β,易知β为锐角.而面ABP的一个法向量为=(0,1,0),则cosβ===.故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos.‎ 解法二:(Ⅰ)设AB中点为D,连接CD.因为O在AB上,且O为P在平面ABC内的射影,‎ 所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AB,且PO⊥CD.因为AB=BC=CA,所以CD⊥AB,设E为AC中点,则EO∥CD,从而OE⊥PO,OE⊥AB.‎ 如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.不妨设PA=2,由已知可得,AB=4,OA=OD=1,OP=,‎ CD=2,所以O(0,0,0),A(﹣1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,),所以=(﹣1,﹣2,)=(0,0,‎ ‎)为平面ABC的一个法向量.‎ 设α为直线PC与平面ABC所成的角,则sinα===.故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=(1,0,),=(2,2,0).‎ 设平面APC的一个法向量为=(x,y,z),则由得出即,‎ 取x=﹣,则y=1,z=1,所以=(﹣,1,1).设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β,易知β为锐角.‎ 而面ABP的一个法向量为=(0,1,0),则cosβ===.‎ 故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2012•四川)已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?‎ ‎【分析】(I)由题意,n=1时,由已知可知a1(λa1﹣2)=0,分类讨论:由a1=0,及a1≠0,结合数列的和与项的递推公式可求 ‎(II)由a1>0且λ=100时,令,则,结合数列的单调性可求和的最大项 ‎【解答】解(I)当n=1时,‎ ‎∴a1(λa1﹣2)=0‎ 若取a1=0,则Sn=0,an=Sn﹣Sn﹣1=0‎ ‎∴an=0(n≥1)‎ 若a1≠0,则,当n≥2时,2an=,‎ 两式相减可得,2an﹣2an﹣1=an ‎∴an=2an﹣1,从而可得数列{an}是等比数列 ‎∴an=a1•2n﹣1==‎ 综上可得,当a1=0时,an=0,当a1≠0时,‎ ‎(II)当a1>0且λ=100时,令 由(I)可知 ‎∴{bn}是单调递减的等差数列,公差为﹣lg2‎ ‎∴b1>b2>…>b6=>0‎ 当n≥7时,‎ ‎∴数列的前6项和最大 ‎ ‎ ‎21.(12分)(2012•四川)如图,动点M与两定点A(﹣1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线MA、MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线y=x+m(m>0)与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出点M(x,y),表示出两线的斜率,利用其乘积为4,建立方程化简即可得到点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0(x≠±1)联立,消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣3=0,结合题设(m>0)可知,m>0且m≠1设Q,R的坐标,求出xR,xQ,利用,即可确定的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),则kMA=,kMB=‎ ‎∵直线MA、MB的斜率之积为4,‎ ‎∴‎ ‎∴4x2﹣y2﹣4=0‎ 又x=±1时,必有一个斜率不存在,故x≠±1‎ 综上点M的轨迹方程为4x2﹣y2﹣4=0(x≠±1)‎ ‎(Ⅱ)直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0(x≠±1)联立,消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣4=0①‎ ‎∴△=16m2+48>0‎ 当1或﹣1是方程①的根时,m的值为1或﹣1,结合题设(m>0)可知,m>0且m≠1‎ 设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),‎ ‎∵|PQ|<|PR|,∴xR=,xQ=,‎ ‎∴==‎ ‎∵m>0且m≠1‎ ‎∴,且≠4‎ ‎∴,且 ‎∴的取值范围是(1,)∪(,3)‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2012•四川)已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.‎ ‎(Ⅰ)用a和n表示f(n);‎ ‎(Ⅱ)求对所有n都有成立的a的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据抛物线与x轴正半轴相交于点A,可得A(),进一步可求抛物线在点A处的切线方程,从而可得f(n);‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(n)=an,则成立的充要条件是an≥2n+1,即知,an≥2n+1对所有n成立,当a=3,n≥1时,an=3n=(1+2)n≥1+=2n+1,当n=0时,an=2n+1,由此可得a的最小值;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(k)=ak,证明当0<x<1时,,即可证明:>.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线与x轴正半轴相交于点A,∴A()‎ 对求导得y′=﹣2x ‎∴抛物线在点A处的切线方程为,∴‎ ‎∵f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,∴f(n)=an;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(n)=an,则成立的充要条件是an≥2n+1‎ 即知,an≥2n+1对所有n成立,特别的,取n=1得到a≥3‎ 当a=3,n≥1时,an=3n=(1+2)n≥1+=2n+1‎ 当n=0时,an=2n+1‎ ‎∴a=3时,对所有n都有成立 ‎∴a的最小值为3;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(k)=ak,下面证明:>‎ 首先证明:当0<x<1时,‎ 设函数g(x)=6x(x2﹣x)+1,0<x<1,则g′(x)=18x(x﹣)‎ 当0<x<时,g′(x)<0;当时,g′(x)>0‎ 故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g()=>0‎ ‎∴当0<x<1时,g(x)>0,∴‎ 由0<a<1知0<ak<1,因此,‎ 从而=‎ ‎>6(a+a2+…+an)==‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;minqi5;caoqz;xize;邢新丽;刘长柏;qiss;蔡华侨;zwx097;庞会丽;wfy814;吕静(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日