2007年天津市高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年天津市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. i是虚数单位‎,‎2‎i‎3‎‎1-i=(‎ ‎‎)‎ A.‎1+i B.‎-1+i C.‎1-i D.‎‎-1-i ‎2. 设变量x，y满足约束条件x-y≥-1‎x+y≥1‎‎3x-y≤3‎，则目标函数z=4x+y的最大值为（ ）‎ A.‎4‎ B.‎11‎ C.‎12‎ D.‎‎14‎ ‎3. “θ=‎‎2π‎3‎”是“tanθ=2cos(π‎2‎+θ)‎”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的一条渐近线方程是y=‎3‎x，它的一个焦点在抛物线y‎2‎＝‎24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A.x‎2‎‎36‎‎-y‎2‎‎108‎=1‎ B.x‎2‎‎9‎‎-y‎2‎‎27‎=1‎ C.x‎2‎‎108‎‎-y‎2‎‎36‎=1‎ D.‎x‎2‎‎27‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎ ‎5. 函数y=log‎2‎(x+4‎+2)(x>0)‎的反函数是（ ）‎ A.y=‎4‎x-‎2‎x+1‎(x>2)‎ B.‎y=‎4‎x-‎2‎x+1‎(x>1)‎ C.y=‎4‎x-‎2‎x+2‎(x>2)‎ D.‎y=‎4‎x-‎2‎x+2‎(x>1)‎ ‎6. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）‎ A.若a，b与α所成的角相等，则α // b B.若a // α，b // β，α // β，则a // b C.若a⊂α，b⊂β，α // b，则α // β D.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b ‎7. 在R上定义的函数f(x)‎是偶函数，且f(x)=f(2-x)‎．若f(x)‎在区间‎[1, 2]‎上是减函数，则f(x)‎ ‎（ ）‎ A.在区间‎[-2, -1]‎上是增函数，在区间‎[3, 4]‎上是增函数 B.在区间‎[-2, -1]‎上是增函数，在区间‎[3, 4]‎上是减函数 C.在区间‎[-2, -1]‎上是减函数，在区间‎[3, 4]‎上是增函数 D.在区间‎[-2, -1]‎上是减函数，在区间‎[3, 4]‎上是减函数 ‎8. 设等差数列‎{an}‎的公差d不为‎0‎，a‎1‎‎=9d．若ak是a‎1‎与a‎2k的等比中项，则k=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎4‎ C.‎6‎ D.‎‎8‎ ‎9. 已知a、b、c均为正数，且满足‎3‎a‎=log‎1‎‎3‎a，‎(‎1‎‎3‎‎)‎b=log‎1‎‎3‎b，‎(‎1‎‎3‎‎)‎c=log‎3‎c，则（ ）‎ A.a0‎．‎ ‎（I）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（II）求数列‎{an}‎的前n项和Sn；‎ ‎（III）证明存在k∈‎N‎*‎，使得an+1‎an‎≤‎ak+1‎ak对任意n∈‎N‎*‎均成立．‎ ‎22. 设椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，A是椭圆上的一点，AF‎2‎⊥‎F‎1‎F‎2‎，原点O到直线AF‎1‎的距离为‎1‎‎3‎‎|OF‎1‎|‎．‎ ‎（1）证明：a=‎2‎b；‎ ‎（2）设Q‎1‎，Q‎2‎为椭圆上的两个动点，OQ‎1‎⊥OQ‎2‎，过原点O作直线Q‎1‎Q‎2‎的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年天津市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.D ‎7.B ‎8.B ‎9.A ‎10.A 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分26分）‎ ‎11.‎‎2‎ ‎12.‎‎14π ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎x+3y=0‎ ‎15.‎‎-‎‎8‎‎3‎ ‎16.‎‎390‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17.解：（1）f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=‎2‎sin(2x-π‎4‎)‎．‎ 因此，函数f(x)‎的最小正周期为π．‎ ‎（2）因为f(x)=‎2‎sin(2x-π‎4‎)‎在区间‎[π‎8‎，‎3π‎8‎]‎上为增函数，在区间‎[‎3π‎8‎，‎3π‎4‎]‎上为减函数，‎ 又f(π‎8‎)=0，f(‎3π‎8‎)=‎2‎，f(‎3π‎4‎)=‎2‎sin(‎3π‎2‎-π‎4‎)=-‎2‎cosπ‎4‎=-1‎，‎ 故函数f(x)‎在区间‎[π‎8‎，‎3π‎8‎]‎上的最大值为‎2‎，最小值为‎-1‎．‎ ‎18.解：（1）设“从甲盒内取出的‎2‎个球均为黑球”为事件A，‎ ‎“从乙盒内取出的‎2‎个球均为黑球”为事件B．‎ ‎∵ 事件A，B相互独立，‎ 且P(A)=C‎3‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎2‎，P(B)=C‎4‎‎2‎C‎6‎‎2‎=‎‎2‎‎5‎．‎ ‎∴ 取出的‎4‎个球均为黑球的概率为P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)=‎1‎‎2‎×‎2‎‎5‎=‎‎1‎‎5‎．‎ ‎（2）设“从甲盒内取出的‎2‎个球均为黑球；从乙盒内取出的‎2‎个球中，‎1‎个是红球，‎1‎个是黑球”为事件C，‎ ‎“从甲盒内取出的‎2‎个球中，‎1‎个是红球，‎1‎个是黑球；从乙盒内取出的‎2‎个球均为黑球”为事件D．‎ ‎∵ 事件C，D互斥，‎ 且P(C)=C‎3‎‎2‎C‎4‎‎2‎.C‎2‎‎1‎‎．‎C‎4‎‎1‎C‎6‎‎2‎=‎4‎‎15‎，P(D)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎.C‎4‎‎2‎C‎6‎‎2‎=‎‎1‎‎5‎．‎ ‎∴ 取出的‎4‎个球中恰有‎1‎个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=‎4‎‎15‎+‎1‎‎5‎=‎‎7‎‎15‎．‎ ‎（3）ξ可能的取值为‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎．‎ 由（1），（2）得P(ξ=0)=‎1‎‎5‎，P(ξ=1)=‎‎7‎‎15‎，‎ 又P(ξ=3)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎.‎1‎C‎6‎‎2‎=‎‎1‎‎30‎，‎ 从而P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=‎‎3‎‎10‎．‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎‎1‎‎5‎ ‎ ‎‎7‎‎15‎ ‎ ‎‎3‎‎10‎ ‎ ‎‎1‎‎30‎ ξ的数学期望Eξ=0×‎1‎‎5‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎3‎‎10‎+3×‎1‎‎30‎=‎‎7‎‎6‎．‎ ‎19.解：（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，‎ ‎ 7 / 7‎ 因PA⊥‎底面ABCD，CD⊂‎平面ABCD，故PA⊥CD．‎ ‎∵ AC⊥CD，PA∩AC=A，‎ ‎∴ CD⊥‎平面PAC．‎ 而AE⊂‎平面PAC，‎ ‎∴ AE⊥CD．‎ ‎（2）证明：由PA=AB=BC，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，可得AC=PA．‎ ‎∵ E是PC的中点，∴ AE⊥PC．‎ 由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥‎平面PCD．‎ 而PD⊂‎平面PCD，∴ AE⊥PD．‎ ‎∵ PA⊥‎底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，AB⊥AD，∴ AB⊥PD．‎ 又AB∩AE=A，综上得PD⊥‎平面ABE．‎ ‎（3）过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM．‎ 由（2）知，AE⊥‎平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．‎ 因此‎∠AME是二面角A-PD-C的平面角．‎ 由已知，得‎∠CAD=‎‎30‎‎∘‎．设AC=a，可得PA=a,AD=‎2‎‎3‎‎3‎a，PD=‎21‎‎3‎a，AE=‎2‎‎2‎a．‎ 在Rt△ADP中，∵ AM⊥PD，∴ AM．PD=PA．AD．则AM=PA．ADPD=a.‎2‎‎3‎‎3‎a‎21‎‎3‎a=‎2‎‎7‎‎7‎a．‎ 在Rt△AEM中，sinAME=AEAM=‎‎14‎‎4‎．‎ 所以二面角A-PD-C的大小是acrsin‎14‎‎4‎．‎ ‎20.解：（1）解：当a=1‎时，f(x)=‎2xx‎2‎‎+1‎，f(2)=‎‎4‎‎5‎．‎ 又f'(x)=‎2(x‎2‎+1)-2x.2x‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎2-2‎x‎2‎‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎，f'(2)=-‎‎6‎‎25‎．‎ 所以，曲线y=f(x)‎在点（‎2, f(2)‎）处的切线方程为y-‎4‎‎5‎=-‎6‎‎25‎(x-2)‎，即‎6x+25y-32=0‎．‎ ‎（2）解：f'(x)=‎2a(x‎2‎+1)-2x(2ax-a‎2‎+1)‎‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎‎-2(x-a)(ax+1)‎‎(x‎2‎+1‎‎)‎‎2‎．‎ 由于a≠0‎，以下分两种情况讨论．‎ ‎①当a>0‎时，令f‎'‎‎(x)=0‎，得到x‎1‎‎=-‎1‎a，x‎2‎=a．当x变化时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎的变化情况如下表：‎ x ‎ ‎‎(-∞,-‎1‎a)‎ ‎ ‎‎-‎‎1‎a ‎ ‎‎(-‎1‎a，a)‎ a ‎ ‎‎(a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以f(x)‎在区间‎(-∞,-‎1‎a)‎，‎(a, +∞)‎内为减函数，在区间‎(-‎1‎a，a)‎内为增函数．‎ 函数f(x)‎在x‎1‎‎=-‎‎1‎a处取得极小值f(-‎1‎a)‎，且f(-‎1‎a)=-‎a‎2‎．‎ 函数f(x)‎在x‎2‎‎=a处取得极大值f(a)‎，且f(a)=1‎．‎ ‎②当a<0‎时，令f‎'‎‎(x)=0‎，得到x‎1‎‎=a，x‎2‎=-‎‎1‎a．当x变化时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎的变化情况如下表：‎ x ‎ ‎‎(-∞, a)‎ a ‎ ‎‎(a,-‎1‎a)‎ ‎ ‎‎-‎‎1‎a ‎ ‎‎(-‎1‎a，+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以f(x)‎在区间‎(-∞, a),(-‎1‎a，+∞)‎内为增函数，在区间‎(a,-‎1‎a)‎内为减函数．‎ ‎ 7 / 7‎ 函数f(x)‎在x‎1‎‎=a处取得极大值f(a)‎，且f(a)=1‎．‎ 函数f(x)‎在x‎2‎‎=-‎‎1‎a处取得极小值f(-‎1‎a)‎，且f(-‎1‎a)=-‎a‎2‎．‎ ‎21.解：‎(I)‎解法一：a‎2‎‎=2λ+λ‎2‎+(2-λ)×2=λ‎2‎+‎‎2‎‎2‎，a‎3‎‎=λ(λ‎2‎+‎2‎‎2‎)+λ‎3‎+(2-λ)×‎2‎‎2‎=2λ‎3‎+‎‎2‎‎3‎，‎ a‎4‎‎=λ(2λ‎3‎+‎2‎‎3‎)+λ‎4‎+(2-λ)×‎2‎‎3‎=3λ‎4‎+‎‎2‎‎4‎‎．‎ 由此可猜想出数列‎{an}‎的通项公式为an‎=(n-1)λn+‎‎2‎n．‎ 以下用数学归纳法证明．‎ ‎（1）当n=1‎时，a‎1‎‎=2‎，等式成立．‎ ‎（2）假设当n=k时等式成立，即ak‎=(k-1)λk+‎‎2‎k，‎ 那么，ak+1‎‎=λak+λk+1‎+(2-λ)‎2‎k=λ(k-1)λk+λ‎2‎k+λk+1‎+‎2‎k+1‎-λ‎2‎k=[(k+1)-1]λk+1‎+‎‎2‎k+1‎．‎ 这就是说，当n=k+1‎时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an‎=(n-1)λn+‎‎2‎n对任何n∈‎N‎*‎都成立．‎ 解法二：由an+1‎‎=λan+λn+1‎+(2-λ)‎2‎n(n∈N*)‎，λ>0‎，可得an+1‎λn+1‎‎-(‎2‎λ‎)‎n+1‎=anλn-(‎2‎λ‎)‎n+1‎，‎ 所以‎{anλn-(‎2‎λ‎)‎n}‎为等差数列，其公差为‎1‎，首项为‎0‎．故anλn‎-(‎2‎λ‎)‎n=n-1‎，‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=(n-1)λn+‎‎2‎n．‎ ‎（II）解：设Tn‎=λ‎2‎+2λ‎3‎+3λ‎4‎+...+(n-2)λn-1‎+(n-1)‎λn①‎ λTn=λ‎3‎+2λ‎4‎+3λ‎5‎+...+(n-2)λn+(n-1)‎λn+1‎‎．②‎ 当λ≠1‎时，①式减去②式，得‎(1-λ)Tn=λ‎2‎+λ‎3‎+...+λn-(n-1)λn+1‎=λ‎2‎‎-‎λn+1‎‎1-λ-(n-1)‎λn+1‎，Tn‎=λ‎2‎‎-‎λn+1‎‎(1-λ‎)‎‎2‎-‎(n-1)‎λn+1‎‎1-λ=‎‎(n-1)λn+2‎-nλn+1‎+‎λ‎2‎‎(1-λ‎)‎‎2‎．‎ 这时数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=‎(n-1)λn+2‎-nλn+1‎+‎λ‎2‎‎(1-λ‎)‎‎2‎+‎2‎n+1‎-2‎．‎ 当λ=1‎时，Tn‎=‎n(n-1)‎‎2‎．这时数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=n(n-1)‎‎2‎+‎2‎n+1‎-2‎．‎ ‎（III）证明：通过分析，推测数列‎{an+1‎an}‎的第一项a‎2‎a‎1‎最大．下面证明：an+1‎an‎0‎知an‎>0‎．要使③式成立，只要‎2an+1‎<(λ‎2‎+4)an(n≥2)‎．因为‎(λ‎2‎+4)an=(λ‎2‎+4)(n-1)λn+(λ‎2‎+4)‎2‎n>4λ．‎(n-1)λn+4×‎2‎n=4(n-1)λn+1‎+‎2‎n+2‎≥2nλn+1‎+‎2‎n+2‎=2‎an+1‎，n>2‎．‎ 所以③式成立．因此，存在k=1‎，使得an+1‎an‎≤ak+1‎ak=‎a‎2‎a‎1‎对任意n∈‎N‎*‎均成立．‎ ‎22.解：（1）由题设AF‎2‎⊥‎F‎1‎F‎2‎及F‎1‎‎(-c, 0)‎，F‎2‎‎(c, 0)‎，‎ 不妨设点A(c, y)‎，其中y>0‎．‎ 由于点A在椭圆上，有c‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎，即a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎．‎ 解得y=‎b‎2‎a，从而得到A(c,b‎2‎a)‎．‎ 直线AF‎1‎的方程为y=b‎2‎‎2ac(x+c)‎，整理得b‎2‎x-2acy+b‎2‎c=0‎．‎ 由题设，原点O到直线AF‎1‎的距离为‎1‎‎3‎‎|OF‎1‎|‎，即c‎3‎‎=‎b‎2‎cb‎4‎‎+4‎a‎2‎c‎2‎，‎ 将c‎2‎‎=a‎2‎-‎b‎2‎代入上式并化简得a‎2‎‎=2‎b‎2‎，即a=‎2‎b．‎ ‎（2）设点D的坐标为‎(x‎0‎, y‎0‎)‎．当y‎0‎‎≠0‎时，由OD⊥‎Q‎1‎Q‎2‎知，直线Q‎1‎Q‎2‎的斜率为‎-‎x‎0‎y‎0‎，‎ 所以直线Q‎1‎Q‎2‎的方程为y=-x‎0‎y‎0‎(x-x‎0‎)+‎y‎0‎，或y=kx+m，其中k=-x‎0‎y‎0‎，m=y‎0‎+‎x‎0‎‎2‎y‎0‎．‎ 点Q‎1‎‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，Q‎2‎‎(x‎2‎, y‎2‎)‎的坐标满足方程组y=kx+m‎①‎x‎2‎‎+2y‎2‎=2‎b‎2‎‎②‎ ‎ 7 / 7‎ 将①式代入②式，得x‎2‎‎+2(kx+m‎)‎‎2‎=2‎b‎2‎．‎ 整理得‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4kmx+2m‎2‎-2b‎2‎=0‎．‎ 于是x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4km‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎‎．x‎2‎=‎‎2m‎2‎-2‎b‎2‎‎1+2‎k‎2‎．③‎ 由①式得y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎=k‎2‎.‎2m‎2‎-2‎b‎2‎‎1+2‎k‎2‎+km.‎-4km‎1+2‎k‎2‎+m‎2‎=‎m‎2‎‎-2‎b‎2‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎．④‎ 由OQ‎1‎⊥OQ‎2‎知x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎．将③式和④式代入得‎3m‎2‎-2b‎2‎-2‎b‎2‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎‎=0‎，‎3m‎2‎=2b‎2‎(1+k‎2‎)‎．‎ 将k=-x‎0‎y‎0‎，m=y‎0‎+‎x‎0‎‎2‎y‎0‎代入上式，整理得x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=‎‎2‎‎3‎b‎2‎．‎ 当y‎0‎‎=0‎时，直线Q‎1‎Q‎2‎的方程为x=‎x‎0‎．点Q‎1‎‎(x‎1‎, y‎0‎)‎，Q‎2‎‎(x‎2‎, y‎2‎)‎的坐标满足方程组x=‎x‎0‎x‎2‎‎+2y‎2‎=2‎b‎2‎ 所以x‎1‎‎=x‎2‎=x‎0‎，y‎1,2‎=±‎‎2b‎2‎-‎x‎0‎‎2‎‎2‎．‎ 由OQ‎1‎⊥OQ‎2‎知x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎，即x‎0‎‎2‎‎-‎2b‎2‎-‎x‎0‎‎2‎‎2‎=0‎，解得x‎0‎‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎b‎2‎ 这时，点D的坐标仍满足x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=‎‎2‎‎3‎b‎2‎．‎ 综上，点D的轨迹方程为x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎2‎‎3‎b‎2‎．‎ ‎ 7 / 7‎