- 64.43 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2007年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1. i是虚数单位,2i31-i=( )
A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i
2. 设变量x,y满足约束条件x-y≥-1x+y≥13x-y≤3,则目标函数z=4x+y的最大值为( )
A.4 B.11 C.12 D.14
3. “θ=2π3”是“tanθ=2cos(π2+θ)”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.x236-y2108=1 B.x29-y227=1 C.x2108-y236=1 D.x227-y29=1
5. 函数y=log2(x+4+2)(x>0)的反函数是( )
A.y=4x-2x+1(x>2) B.y=4x-2x+1(x>1)
C.y=4x-2x+2(x>2) D.y=4x-2x+2(x>1)
6. 设a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )
A.若a,b与α所成的角相等,则α // b
B.若a // α,b // β,α // β,则a // b
C.若a⊂α,b⊂β,α // b,则α // β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,是a⊥b
7. 在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1, 2]上是减函数,则f(x)
( )
A.在区间[-2, -1]上是增函数,在区间[3, 4]上是增函数
B.在区间[-2, -1]上是增函数,在区间[3, 4]上是减函数
C.在区间[-2, -1]上是减函数,在区间[3, 4]上是增函数
D.在区间[-2, -1]上是减函数,在区间[3, 4]上是减函数
8. 设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9. 已知a、b、c均为正数,且满足3a=log13a,(13)b=log13b,(13)c=log3c,则( )
A.a0.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列{an}的前n项和Sn;
(III)证明存在k∈N*,使得an+1an≤ak+1ak对任意n∈N*均成立.
22. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆上的一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为13|OF1|.
(1)证明:a=2b;
(2)设Q1,Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.
7 / 7
参考答案与试题解析
2007年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.C
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.B
8.B
9.A
10.A
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分26分)
11.2
12.14π
13.3
14.x+3y=0
15.-83
16.390
三、解答题(共6小题,满分76分)
17.解:(1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4).
因此,函数f(x)的最小正周期为π.
(2)因为f(x)=2sin(2x-π4)在区间[π8,3π8]上为增函数,在区间[3π8,3π4]上为减函数,
又f(π8)=0,f(3π8)=2,f(3π4)=2sin(3π2-π4)=-2cosπ4=-1,
故函数f(x)在区间[π8,3π8]上的最大值为2,最小值为-1.
18.解:(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,
“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.
∵ 事件A,B相互独立,
且P(A)=C32C42=12,P(B)=C42C62=25.
∴ 取出的4个球均为黑球的概率为P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)=12×25=15.
(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,
“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.
∵ 事件C,D互斥,
且P(C)=C32C42.C21.C41C62=415,P(D)=C31C42.C42C62=15.
∴ 取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=415+15=715.
(3)ξ可能的取值为0,1,2,3.
由(1),(2)得P(ξ=0)=15,P(ξ=1)=715,
又P(ξ=3)=C31C42.1C62=130,
从而P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=310.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
15
715
310
130
ξ的数学期望Eξ=0×15+1×715+2×310+3×130=76.
19.解:(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,
7 / 7
因PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故PA⊥CD.
∵ AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴ CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC,
∴ AE⊥CD.
(2)证明:由PA=AB=BC,∠ABC=60∘,可得AC=PA.
∵ E是PC的中点,∴ AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴ AE⊥PD.
∵ PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD内射影是AD,AB⊥AD,∴ AB⊥PD.
又AB∩AE=A,综上得PD⊥平面ABE.
(3)过点A作AM⊥PD,垂足为M,连接EM.
由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则EM⊥PD.
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.
由已知,得∠CAD=30∘.设AC=a,可得PA=a,AD=233a,PD=213a,AE=22a.
在Rt△ADP中,∵ AM⊥PD,∴ AM.PD=PA.AD.则AM=PA.ADPD=a.233a213a=277a.
在Rt△AEM中,sinAME=AEAM=144.
所以二面角A-PD-C的大小是acrsin144.
20.解:(1)解:当a=1时,f(x)=2xx2+1,f(2)=45.
又f'(x)=2(x2+1)-2x.2x(x2+1)2=2-2x2(x2+1)2,f'(2)=-625.
所以,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y-45=-625(x-2),即6x+25y-32=0.
(2)解:f'(x)=2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)(x2+1)2=-2(x-a)(ax+1)(x2+1)2.
由于a≠0,以下分两种情况讨论.
①当a>0时,令f'(x)=0,得到x1=-1a,x2=a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1a)
-1a
(-1a,a)
a
(a, +∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)在区间(-∞,-1a),(a, +∞)内为减函数,在区间(-1a,a)内为增函数.
函数f(x)在x1=-1a处取得极小值f(-1a),且f(-1a)=-a2.
函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
②当a<0时,令f'(x)=0,得到x1=a,x2=-1a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞, a)
a
(a,-1a)
-1a
(-1a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
所以f(x)在区间(-∞, a),(-1a,+∞)内为增函数,在区间(a,-1a)内为减函数.
7 / 7
函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
函数f(x)在x2=-1a处取得极小值f(-1a),且f(-1a)=-a2.
21.解:(I)解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ)×2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)×22=2λ3+23,
a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)×23=3λ4+24.
由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
以下用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,a1=2,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k,
那么,ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λk+1+2k+1.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立.
解法二:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ>0,可得an+1λn+1-(2λ)n+1=anλn-(2λ)n+1,
所以{anλn-(2λ)n}为等差数列,其公差为1,首项为0.故anλn-(2λ)n=n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
(II)解:设Tn=λ2+2λ3+3λ4+...+(n-2)λn-1+(n-1)λn①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+...+(n-2)λn+(n-1)λn+1.②
当λ≠1时,①式减去②式,得(1-λ)Tn=λ2+λ3+...+λn-(n-1)λn+1=λ2-λn+11-λ-(n-1)λn+1,Tn=λ2-λn+1(1-λ)2-(n-1)λn+11-λ=(n-1)λn+2-nλn+1+λ2(1-λ)2.
这时数列{an}的前n项和Sn=(n-1)λn+2-nλn+1+λ2(1-λ)2+2n+1-2.
当λ=1时,Tn=n(n-1)2.这时数列{an}的前n项和Sn=n(n-1)2+2n+1-2.
(III)证明:通过分析,推测数列{an+1an}的第一项a2a1最大.下面证明:an+1an0知an>0.要使③式成立,只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).因为(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+4)2n>4λ.(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n>2.
所以③式成立.因此,存在k=1,使得an+1an≤ak+1ak=a2a1对任意n∈N*均成立.
22.解:(1)由题设AF2⊥F1F2及F1(-c, 0),F2(c, 0),
不妨设点A(c, y),其中y>0.
由于点A在椭圆上,有c2a2+y2b2=1,即a2-b2a2+y2b2=1.
解得y=b2a,从而得到A(c,b2a).
直线AF1的方程为y=b22ac(x+c),整理得b2x-2acy+b2c=0.
由题设,原点O到直线AF1的距离为13|OF1|,即c3=b2cb4+4a2c2,
将c2=a2-b2代入上式并化简得a2=2b2,即a=2b.
(2)设点D的坐标为(x0, y0).当y0≠0时,由OD⊥Q1Q2知,直线Q1Q2的斜率为-x0y0,
所以直线Q1Q2的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,或y=kx+m,其中k=-x0y0,m=y0+x02y0.
点Q1(x1, y1),Q2(x2, y2)的坐标满足方程组y=kx+m①x2+2y2=2b2②
7 / 7
将①式代入②式,得x2+2(kx+m)2=2b2.
整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2b2=0.
于是x1+x2=-4km1+2k2,x1.x2=2m2-2b21+2k2.③
由①式得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2.2m2-2b21+2k2+km.-4km1+2k2+m2=m2-2b2k21+2k2.④
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0.将③式和④式代入得3m2-2b2-2b2k21+2k2=0,3m2=2b2(1+k2).
将k=-x0y0,m=y0+x02y0代入上式,整理得x02+y02=23b2.
当y0=0时,直线Q1Q2的方程为x=x0.点Q1(x1, y0),Q2(x2, y2)的坐标满足方程组x=x0x2+2y2=2b2
所以x1=x2=x0,y1,2=±2b2-x022.
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0,即x02-2b2-x022=0,解得x02=23b2
这时,点D的坐标仍满足x02+y02=23b2.
综上,点D的轨迹方程为x2+y2=23b2.
7 / 7
相关文档
- 高中数学必做100题—回归必修42021-06-113页
- 专题7-3+二元一次不等式(组)与线性规2021-06-1118页
- 新课标高中数学三基训练手册(六个专2021-06-1133页
- 高中数学选修2-1练习题(含答案)辅2021-06-1111页
- 2014届高考数学一轮复习题库:第十二2021-06-114页
- 2020年高中数学第二章点、直线、平2021-06-118页
- 2012高中数学 2_3_2第1课时课时同2021-06-115页
- 高中数学必修1教案:第一章(第15课时2021-06-114页
- 高中数学新人教版选修2-2课时作业:2021-06-1110页
- 人教大纲版高考数学题库考点28 导2021-06-114页