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- 2021-06-11 发布
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【课时训练】第34节 基本不等式及其应用
一、选择题
1．(2018厦门一中检测)设0；由基本不等式知>.综上所述，a<<0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，【答案】B错误；∵≤，∴ab≤，∴＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，D错误；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值.故选C.
4．(2018贵阳模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故选B.
5．(2018重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B．
C．9 D．16
【答案】B
【解析】＋＝·＝≥(5＋2 )＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故选B.
6．(2018四川泸州二模)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】D
【解析】＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．
∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.
∴＋≥＝1.
7．(2018河北唐山一模)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．log23
【答案】B
【解析】由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，
∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．
又a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥2，即ab≤8，当且仅当2a＝b
，即a＝2，b＝4时取等号，
所以＋＝log2(ab)≤log28＝3.故max＝3.
8．(2018北京东城区联考)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )
A．4 B．4
C．9 D．16
【答案】D
【解析】由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.
∵x，y均为正实数，
∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，
即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
9．(2018东莞模拟)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4 B．16
C．9 D．3
【答案】B
【解析】因为a>0，b＞0，所以－－≤0恒成立等价于m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.
10．(2018咸宁模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为( )
A．24 B．25
C．26 D．27
【答案】B
【解析】因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.故选B.
11．(2018河南五校联考)设a＞0，b＞1，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
【答案】A
【解析】∵a＋b＝2，∴a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时取等号．
12．(2018南昌调研)不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＜min，由于＋≥2＝8(当且仅当a＝4b
时等号成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故选C.
二、填空题
13．(2018青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
【答案】1
【解析】因为log2x＋log2y＝log2xy＝log2＝log2(2xy)－log22＝log2(2xy)－1≤log22－1＝2－1＝1，
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.
14．(2018河北唐山一模)设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
【答案】 9
【解析】＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时等号成立．所以·的最小值为9.
三、解答题
15．(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋b＋c≥1.
(1)【解】因为f(x)＝k－|x－4|，所以f(x＋4)≥0等价于|x|≤k.
由|x|≤k有解得k≥0，且其解集为{x|－k≤x≤k}．
又f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k＝1.
(2)【证明】由(1)知＋＋＝1，
又a，b，c是正实数，由均值不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝2b＝3c时取等号，所以a＋b＋c≥1.
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