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- 2021-06-11 发布
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选修4-4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
一、填空题
1.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin θ=3,则点到直线l的距离为________.
解析 ∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),∴点到直线l的距离为2.
答案 2
2.在极坐标系中,ρ=4sin θ是圆的极坐标方程,则点A到圆心C的距离是________.
解析 将圆的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,圆心坐标为(0,2).又易知点A的直角坐标为(2,2),故点A到圆心的距离为=2.
答案 2
3.在极坐标系中,过圆ρ=6cos θ-2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________.
解析 由ρ=6cos θ-2sin θ⇒ρ2=6ρcos θ-2ρsin θ,所以圆的直角坐标方程为x2+y2-6x+2y=0,将其化为标准形式为(x-3)2+(y+)2=11,故圆心的坐标为(3,-),所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x=3,将其化为极坐标方程为ρcos θ=3.
答案 ρcos θ=3
4.在极坐标系中,点M到曲线ρcos
=2上的点的距离的最小值为________.
解析 依题意知,点M的直角坐标是(2,2),曲线的直角坐标方程是x+y-4=0,因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离,即为=2.
答案 2
5.在极坐标系中,圆ρ=4上的点到直线ρ(cos θ+sin θ)=8的距离的最大值是________.
解析 把ρ=4化为直角坐标方程为x2+y2=16,把ρ(cos θ+sin θ)=8化为直角坐标方程为x+y-8=0,∴圆心(0,0)到直线的距离为d==4.∴直线和圆相切,∴圆上的点到直线的最大距离是8.
答案 8
6.在极坐标系中,曲线C1:ρ=2cos θ,曲线C2:θ=,若曲线C1与C2交于A、B两点,则线段AB=________.
解析 曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为,因此AB=.
答案
7.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2+2ρcos θ=0,点P的极坐标为过点P作圆C的切线,则两条切线夹角的正切值是________.
解析 圆C的极坐标方程:ρ2+2ρcos θ=0化为普通方程:(x+1)2+y2=1,点P的直角坐标为(0,2),圆C的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为y=kx+2,则圆心到切线的距离为=1,∴k=,即tan α=.易知满足题意的另一条切线的方程为x=0.又∵两条切线的夹角为α的余角,∴两条切线夹角的正切值为.
答案
8.若直线3x+4y+m=0与曲线ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是________.
解析 注意到曲线ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0的直角坐标方程是x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直线3x+4y+m=0与该曲线没有公共点,只要圆心(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离大于圆的半径即可,即>1,|m-5|>5,解得,m<0或m>10.
答案 (-∞,0)∪(10,+∞)
二、解答题
9.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(2)试判定直线l和圆C的位置关系.
解 (1)由题意,直线l的普通方程是y+5=(x-1)tan ,此方程可化为=,令==a(a为参数),得直线l的参数方程为(a为参数).
如图,设圆上任意一点为Q(ρ,θ),则在△QOM中,
由余弦定理,得
QM2=QO2+OM2-2·QO·OMcos∠QOM,
∴42=ρ2+42-2×4ρcos.
化简得ρ=8sin θ,即为圆C的极坐标方程.
(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4),
直线l的普通方程是x-y-5-=0,
圆心M到直线l的距离d==>4,
所以直线l和圆C相离.
10.在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解 (1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,
圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.
解得ρ=2,θ=±,
故圆C1与圆C2交点的坐标为,.
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)法一 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别
为(1,),(1,-).
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(-≤t≤).
法二 将x=1代入
得ρcos θ=1,
从而ρ=.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
.