【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 17页

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图，在圆的内接四边形中，，，，，则 ．‎ ‎ 2、如图，直线过圆心，交圆于，直线交圆于（不与重合），直线与圆相切于，交于，且与垂直，垂足为，连接．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎3、如图，在中，，以为直径的圆交于点，过点作圆的切线交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的大小．‎ ‎4、如图，过圆外一点作一条直线与圆交两点，且，作直线与圆相切于点，连接交与点，已知圆的半径为2，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎5、如图所示，已知为的边上一点，经过点，交于另一点，经过点，交于另一点与交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若的半径为5，圆心到直线的距离为3，切于点，求线段的长．‎ ‎6、如图，圆是的外接圆，是的中点，交于．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，点到的距离等于点到的距离的一半，求圆的半径．‎ ‎7、如图，已知为圆的直径，，是圆上的两个点，是劣弧的中点，⊥于，交于，交于．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎8、如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交于点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎9、如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，四点共圆，且，求．‎ ‎10、已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎11、如图，过圆内接四边形的顶点引切线为圆的直径．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）已知为线段上一点，满足，，求证：．‎ ‎12、已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点 ‎（1)求证:BD平分∠ABC;‎ ‎（2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.‎ ‎13、如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点.‎ ‎（1）证明：A、P、O、M四点共圆；‎ ‎（2）求∠OAM＋∠APM的大小 ‎14、如图，点为圆上一点，为圆的切线，为圆的直径，．‎ ‎（1）若交圆于点，，求的长；‎ ‎（2）若连接并延长交圆于两点，于，求的长．‎ ‎15、如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点 在的延长线上．‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎16、如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求的长.‎ ‎17、如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长．‎ ‎18、如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC？‎ ‎·‎ P E O D C B A F ‎（1）求证：？P=？EDF；‎ ‎（2）求证：CE·EB=EF·EP．‎ ‎19、如图所示，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F.已知BC=5，DB=10.‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎20、如图,过圆外—点作圆的切线,切点为,割线、割线分别交圆于与、与.已知的垂直平分线与圆相切.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若,求的长.‎ 参考答案 ‎1、答案：‎ 连接，因为，所以为圆的直径，所以，‎ 因为，所以，因为，所以，所以，所以．‎ 考点：与圆有关的比例线段．‎ ‎2、答案：试题分析：（1）是圆直径 ‎；（2）连结切圆于 ‎．‎ 试题（1）‎ 连结是圆直径，∴，∴，‎ 切圆于，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）连结切圆于，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 考点：几何证明． ‎ ‎3、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）由题意可知，均为圆的切线，所以，连接，利用角度关系，得出，即可证明结论；（2）不妨设，则，利用三角形的射影定理，进而得出，根据三角函数的定义，即可求解．‎ 试题（1）证明：由题意可知，均为圆的切线，‎ 所以，连接，易知，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，所以，‎ 所以 ‎（2）解：不妨设，则，‎ 在中，由射影定理可知，，，‎ 所以，∴，所以，‎ 所以，由（1）可知，，∴‎ 考点：与圆有关的比例线段；三角形的射影定理． 4、答案：（1）（2）详见解析 试题分析：（1）由切割线定理得，因此只需求出，由垂径定理可得，而，因此可得（2）由三角形相似可得线段比例关系：过作于，则，从而有，因此 试题（1）延长交圆于点，连结，则，又，所以，又，可知 ‎，‎ 所以根据切线定理，即．‎ ‎（2）过作于，则，‎ 从而有，因此．‎ 考点：切割线定理，三角形相似 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 5、答案：（1）详见解析（2）‎ 试题分析：（1）要证，只需证四点共圆，而由四点共圆可得角等量关系：，所以，即得四点共圆（2）由垂径定理可得，因此，再根据切割线定理得 试题（1）连接，∵四边形分别内接于，‎ ‎∴‎ 又，∴，‎ 即四点共圆，∴‎ ‎（2）∵的半径为5，圆心到直线的距离为3，‎ ‎∴由垂径定理知，又 ‎∴，∵切于点，‎ ‎∴，∴‎ 考点：四点共圆，切割线定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 6、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知，又，故，得；（Ⅱ）连结，由，且，解得.‎ 试题（Ⅰ）∵是的中点，∴‎ 又∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎（Ⅱ）连结，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，设垂足为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 在中，，∴，‎ 在中，，即，‎ 得．‎ 考点：相似三角形、勾股定理． 7、答案：试题分析：（1）根据是劣弧的中点可得，在根据直角三角形相识得，进而可得；（2）由得可得结论.‎ 试题（1）∵是劣弧的中点，∴．‎ 在与中，，‎ ‎∴，又，所以，‎ 从而，在△中，．‎ ‎（2）在与中，，‎ 因此，，由此可得，即．‎ 考点：1、相似三角形的判定及性质；2、等腰三角形及圆的性质. 8、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）延长至，连接，使得，可证得，再由角平分线得，，进而∽，即可得结论；（2）先利用（1）的结论可得，再利用圆的割线定理得，进而可得的值．‎ 试题（1）证明：延长至，连接，使得．因为，所以，又，所以 又因为是的角平分线，故，则∽，所以，又，所以．‎ ‎（2）解：∵是的角平分线，，∴，所以，由圆的割线定理得，，∴，，∴．‎ 考点：1、相识三角形的应用；2、圆的割线定理． 9、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）先根据弦切角定理及圆周角定理证明,然后推出；（2）证明,然后说明．设,在等腰三角形中，,求解即可．‎ 试题（1）由与圆相切于点可得，∵，∴，又，∴，∴．‎ ‎（2）因为，，，四点共圆，所以，由（1）知，，所以．‎ 设，因为，所以，‎ 所以，‎ 在等腰三角形中，，则，‎ 所以．‎ 考点：1、弦切角定理及圆周角定理证明；2、圆内接四边形的性质定理． 10、答案：试题分析：（1）首先由圆周角定理得到，然后利用角平分线定理即可问题得证；（2）首先由条件结合（1）证得，从而可推出，然后利用弦切角定理即可问题得证．‎ 试题（1）由可知，，‎ 在中，则，因此；‎ ‎（2）由，可知，又由（1）可知，‎ 则，由题意，可得，‎ 则，又，即，‎ 又为圆的切线，则，‎ 因此，即 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 11、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）连接，则，又，∴；（Ⅱ）由射影定理得，得，所以.‎ 试题（Ⅰ）连接，∵是圆的切线，∴，‎ ‎∵是圆的直径，∴，∴；‎ ‎（Ⅱ）∵中，，‎ ‎∴，∴．‎ 考点：弦切角定理、射影定理． 12、答案：（1)详见解析（2)3‎ 试题分析：（1)证明BD平分∠ABC实质就是求角相等：由弦切角定理得？CDE=？DBC，由平行得？CDE=？DCA，由同弧对等角得？DBA=？DCA，三者结合得？DBA=？DBC（2)求线段长，一般利用相似三角形得比例关系：由？ABH∽？DBC,得，而由等角转化为等弦：由？DBA=？DBC得AD=DC，，解得AH=3‎ 试题证明:（1)∵AC∥DE,∴？CDE=？DCA,又∵？DBA=？DCA,∴？CDE=？DBA ‎∵直线DE为圆O的切线,∴？CDE=？DBC 故？DBA=？DBC,即BD平分∠ABC ‎（2)∵？CAB=？CDB,且？DBA=？DBC,∴？ABH∽？DBC,∴‎ 又？EDC=？DAC=？DCA,∴AD=DC ‎∴,∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3‎ 考点：弦切角定理，三角形相似 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎（1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2)当比例式（等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 13、答案：（1）详见解析（2）90°‎ 试题分析：（1）证明四点共圆，一般利用对角互补进行证明：根据相切及垂径定理得OP⊥AP及OM⊥BC，从而得∠OPA＋∠OMA＝180°.（2）根据四点共圆得同弦所对角相等：∠OAM＝∠OPM，因此 ‎∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 试题（1）证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆.‎ ‎（2）解由（1）得A、P、O、M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM，‎ 由（1）得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，‎ 所以∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ 考点：四点共圆 14、答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）由切线的性质可知∽，由相似三角形性质知,可得；（2）由切割线定理可得，求出,再由,求出的值．‎ 试题 ‎（1）因为是圆的切线，是圆的直径，所以，，所以∽,‎ 设，，又因为∽，所以，‎ 所以，解得．‎ ‎（2）由切割线定理，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 所以，∴．‎ 考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质． 15、答案：（1）；（2）详见解析.‎ 试题分析：（1）根据题意可证明，再利用其对应线段成比例即可求解；（2）首先证明，可得，再由条件可得，从而得证.‎ 试题（1）∵、、、四点共圆，∴，‎ 又∵，∴，∴，又∵，‎ ‎，∴；（2）∵，∴，又∵，‎ ‎∴，∴，又∵、、、四点共圆，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质. 16、答案：（1）详见解析；（2）3.‎ 试题分析：（1）首先由切线的性质可得，然后得出，再由相似三角形对应线段成比例即可得出所证的结论；（2）由可得，进而得出，再运用余弦定理即可得出所求的结果.‎ 试题（1）因为为圆的切线，所以.又因为,‎ 所以，所以,所以，所以，‎ 即.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 又，‎ 所以，由余弦定理，‎ 得.‎ 考点：1.相似三角形;2.圆 ‎【方法名师点评】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力.（1）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；（2）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题. 17、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）连结，由于是圆的直径，可得，利用与都是所对的圆周角，可得，进而得到即可证明；（2）利用切割线定理可得，可得，再利用，可得，即可求出的长．‎ 试题（1）连接，由题意知为直角三角形，‎ 因为，，，‎ 则，即，又，所以 ‎（2）因为是圆的切线，所以，‎ 又，，所以，‎ 因为，又，所以 所以，即 考点：与圆有关的比例线段． 18、答案：试题分析：（1）要证明两角？P，？EDF相等，注意到，，因此只要证？C，？EDF相等，这两个角正好是可证相似的两个三角形的对应角，这个相似由已知DE2=EF·EC？可证；（2）要证明线段乘积相等，在已知圆中由相交弦定理有CE·EB=ED·EA，再看ED·EA与EF·EP的相等可由相似三角形得到． 试题证明（1）∵DE2=EF·EC，‎ ‎∴DE？CE=EF？ED．‎ ‎∵？DEF是公共角，‎ ‎∴ΔDEF∽ΔCED．∴？EDF=C．‎ ‎∵CD∥AP，∴？C=？P．‎ ‎∴？P=？EDF．‎ ‎（2）∵？P=？EDF，？DEF=？PEA，‎ ‎∴ΔDEF∽ΔPEA．∴DE？PE=EF？EA．即EF·EP=DE·EA．‎ ‎∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．10分 考点：相似三角形的判断与性质，相交弦定理． 19、答案：（1）；（2）1.‎ 试题分析：（1）已知，要求，可证△ABC△DBA，而这由弦切角定理可得；（2）要求，首先建立的联系，为此由切割线定理可得，两式相除，得，这样只要求得即可，而这个比值由（1）中的相似三角形可得．‎ 试题（1）根据弦切角定理，知.‎ 所以△ABC△DBA，所以.‎ 故 ‎（2）根据切割线定理，知，‎ 两式相除，得.‎ 由△ABC△DBA，得.所以.‎ 又，所以由（※）式得 考点：弦切角定理，切割线定理，相似三角形的判断与性质． 20、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）只需证，连接，由弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，有，又为的垂直平分线，所以，所以；（2）由（1）知为的中点，为的中点.由切割线定理，有，推出，解直角三角形可求得.‎ 试题 ‎（1）证明:连接圆相切,,又为的垂直平分线,‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知且为的中点,为的中点,‎ 且为圆的切线,‎ ‎,‎ ‎.‎ 考点：几何证明选讲． ‎