【数学】2020届一轮复习人教B版 数系的扩充与复数的引入 课时作业 9页

2020 届一轮复习人教 B 版 数系的扩充与复数的引入 课时作 业 1、已知复数 ，则复数 z 在复平面内对应的点位于第( ) 象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2、给出下列命题：(1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数 a＝±1； (2)1＋i2 是虚数；(3)在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯 虚数．其中真命题的个数为( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 3、设 x∈R，y∈R，若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i 是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是 ( ) A． 以原点为圆心，以 2 为半径的圆 B． 两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2) C． 以原点为圆心，以 2 为半径的圆和过原点的一条直线 D． 以原点为圆心，以 2 为半径的圆，并且除去两点( ， )，(－ ，－ ) 4、已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 ( ) A． （-3,1) B． （-1,3) C． (1,+ ) D． （- ,-3) 5、若 ,a b R ， i 为虚数单位，且 a i i b i   则（ ） A． 1a  ， 1b  B． 1, 1a b   C． 1, 1a b    D． 1, 1a b   6、如果 z＝m(m＋1)＋(m2－1)i 为纯虚数，则实数 m 的值为( ) A． 1 B． 0 C． －1 D． －1 或 1 7、复数 的实部为 A． -1 B． 0 C． 1 D． 2 8、 已知是虚数单位，则复数 的模为( ) A．1 B．2 C． D．5 9、在复平面内,若向量 对应的复数为,则 ______． 10、若复数 z 满足 3iz i  （i 为虚数单位），则 z  ______. 11、若复数 为纯虚数，则实数的值等于__________． 12、若复数 2 2( 2 ) ( 2)ia a a a    ( Ra  )为纯虚数，则 a ____. 13、如果3 4i 是方程 2 0x ax b   （ ,a b R ）的一个根，则 a b  __________． 14、设 ，是虚数单位，已知集合 ， ， 若 ，则 的取值范围是________． 15、当实数 m 为何值时，复数    2 2 1z m m m i    是： ①实数；②虚数；③纯虚数 16、已知 a∈R，问复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i 所对应的点在第几象限？ 复数 z 对应点的轨迹是什么？ 17、已知复数 z 满足|z|= ,z2 的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限. (1)求复数 z; (2)若复数ω满足|ω-1|≤ ,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面 积. 18、已知 A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量 对应的复数分别为 z1,z2. (1)若 z1+z2=1+i,求 z1,z2; (2)若|z1+z2|=2,z1-z2 为实数,求 a,b 的值. 19、已知复数 . (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是纯虚数? (2)若 z 在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上,求|z|. 20、已知复数 z 满足|3+4i|+z=1+3i. (1)求； (2)求 的值. 参考答案 1、答案：B 先得到复数对应的点的坐标，进而可得答案． 【详解】 由题意得，复数 对应的点的坐标为 ， 所以复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选 B． 名师点评： 本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟悉复数、复平面内的点之间是一一对应的关 系，属于简单题． 2、答案：A （1）若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则 a2－1＝0 且 a2＋3a＋2≠0，解得 a ＝1。 （2）1＋i2＝1－1＝0 是实数。 （3）除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为 0。 【详解】 (1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则 a2－1＝0 且 a2＋3a＋2≠0，解得 a＝1， 所以错误；(2)1＋i2＝1－1＝0 是实数，所以错误；(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚 数，原点对应的复数为 0，所以错误．故选 A 名师点评： 本题考查了复数的基本概念，对于复数 为纯虚数，则 。 3、答案：D 复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i 是纯虚数，x2＋y2－4＝0，且 x≠y，即 x2＋y2＝4(x≠y)，由 此得解。 【详解】 因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i 是纯虚数，所以 x2＋y2－4＝0，且 x≠y，即 x2＋y2＝ 4(x≠y)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以 2 为半径的圆，并且除去两点( ， )， (－ ，－ )．故选 D 名师点评： 复数 为纯虚数，则 。 4、答案：A 利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可． 【详解】 z=（m+3）+（m﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限， 可得： ，解得﹣3＜m＜1. 故选：A． 名师点评： 本题考查复数的几何意义，考查计算能力． 5、答案：D 由题意得，  a i i b i   ，即 1 ai b i    ，所以 1, 1a b   ，故选 D． 考点：复数相等的概念． 6、答案：B 根据复数为纯虚数的概念，得到复数的实部为 0，并且虚部不为 0 求出 m． 【详解】 因为复数 z=m（m+1）+（m2－1）i（i 为虚数单位）是纯虚数，所以 ，解 得 m=0； 故答案为：B． 名师点评： 本题考查了复数的基本概念；如果复数 a+bi（a，b 是实数）是纯虚数，那么 a=0 并且 b≠0. 7、答案：B 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 = = ， ∴复数 的实部为 0. 故选：B． 名师点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 8、答案：C 【分析】 先化简，再求值 【详解】 ,所以模为 ，故选 C。 名师点评： 复数的除法运算公式 。 9、答案： 由复数的几何意义写出复数的代数形式，再计算求解即可. 【详解】 解：因为向量 对应的复数为 所以 ， 所以 故答案为： . 名师点评： 本题考查了复数的几何意义，模长的计算，属于基础题. 10、答案：2 由题意可得： 3 iz i  ， 则： 33 2 21 iiz i i     . 11、答案：0 由题意得，复数 为纯虚数，则 ，解得 或 ，当 时， （舍去），所以 . 考点：复数的概念. 12、答案：0 由题意得，复数    2 22 2z a a a a i     为纯虚数，则 2 2 2 0{ 2 0 a a a a      ，解得 0a  或 2a  ，当 2a  时， 2 2 0a a   （舍去），所以 0a  . 考点：复数的概念. 13、答案：19 分析：根据复数相等的概念可得解. 详解： 3 4i 是方程 2 0x ax b   （ ,a b R ）的一个根， 所以   23 4 3 4 0i a i b     ，化简得：    3 7 24 4 0a b a i     . 所以 3 7 0{ 24 4 0 a b a      ，解得 6,b 25a    ，所以 19a b  . 故答案为：19. 名师点评：解负数方程即遵循“实部等于实部，虚部等于虚部”，若复数等于 0 即为“实 部等于 0，虚部等于 0” 14、答案： 根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合 A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心， 半径为 2 的圆及内部；集合 B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求 解 b 的取值范围． 【详解】 由题意，集合 A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为 2 的圆及内部； 集合 B 表示点的轨迹为（1，1+b），半径为 2 的圆及内部 ∵A∩B≠？， 说明，两圆面有交点； ∴ ． 可得： ， 故答案： ， 名师点评： 本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确 A.B 集合 的意义是关键，是中档题 15、答案：（1） 1 1m m  或 （2） 1 1m m  且 （3） 0m  试题分析：复数为实数时需满足虚部为 0，为虚数时需满足虚部不为 0，为纯虚数时需 满足实部为 0，虚部不为 0 试题（1）当 ，即 时，z 是实数。（2）当 ，即 时，z 是虚数。（3）当 且 ，即 时，z 是纯虚 数。 考点：复数的相关概念 16、答案：第四象限，轨迹为 y＝－x＋2 3x  . 试题分析：根据二次函数确定实部与虚部范围，确定正负，决定象限，再设复数代数形 式，再消去 a 得实部与虚部关系，即得轨迹方程. 试题解析:由 a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1， ∴复数 z 的实部为正数，复数 z 的虚部为负数，因此，复数 z 的对应点在第四象限． 设 z＝x＋yi(x、y∈R)，则   2 2 2 4 { 2 2 x a a y a a        消去 a2－2a 得：y＝－x＋2(x≥3)． ∴复数 z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为 y＝－x＋2(x≥3)． 17、答案：（1） ；（2） 试题分析：（1）设出复数，利用已知列出方程组，求解可得复数；（2）把复数 代 入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算 ，由复数 满足 ，由复数的几何意义得出 在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而 计算出对应面积. 【详解】 (1)设 z=x+yi(x,y∈R),则 z2=x2-y2+2xyi, 由|z|= ,z2 的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限, 得 解得 ∴z=-1+i. (2)由(1)知,z=-1+i, ∴ = = = =-+i, ∴ = = , ∴复数ω满足|ω-1|≤ . 由复数的几何意义,得 ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心, 为半径的圆面, ∴其面积为π· = . 名师点评： 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面 内两点间的距离，所以若 ，则 表示点 与点 的距离， 表 示以 为圆心，以为半径的圆. 18、答案：（1） ；（2） 试题分析：（1）向量 对应的复数分别为 ， ，利用 ，即可得出 ；（2） 为实数，可得 ，即可得出结论. 【详解】 (1)∵ =(a-1,-1), =(-3,b-3), ∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i, ∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1, 解得 a=b=5, ∴z1=4-i,z2=-3+2i. (2)∵|z1+z2|=2,z1-z2 为实数,z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i, ∴ =2,2-b=0,∴a=4,b=2. 名师点评： 本题主要考查复数的几何意义，复数的模以及复数与向量的综合应用，属于中档题.复 数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若 ，则 表示点 与点 的距离. 19、答案：（1） ；（2） 或 0 试题分析：（1） ，当实部等于 0, 虚部不等于 0 时,列出方程组，求解即可得结论；（2）当 ，即 或 时,为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数，分类当 或 时，求出 即可. 【详解】 z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)当 即 m=-时,z 为纯虚数. (2)当 2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即 m=0 或 m=2 时,z 在复平面内对应的点在第二、第四象限 的角平分线上, 若 m=0,则 z=-2+2i,|z|=2 ; 若 m=2,则 z=0,|z|=0. ∴|z|=2 或|z|=0. 名师点评： 本题主要考查纯虚数的定义、复数的模以及复数在象限内的特点，意在考查综合应用所 学知识解决问题的能力，属于中档题. 20、答案：（1） ；（2）2 试题分析：（1）先求出为 ,即可求出，再根据共轭复数的定义即可求出；（2） 根据复数的运算法则计算即可得出结论. 【详解】 (1)因为|3+4i|=5, 所以 z=1+3i-5=-4+3i,所以 =-4-3i. (2) = = =2. 名师点评： 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的 理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母 实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错， 造成不必要的失分.