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- 2021-06-11 发布
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1．不等式(x－2)(2x－3)<0 的解集是( )
A. －∞，3
2 ∪(2，＋∞) B.R
C.
3
2
，2 D．∅
解析：选 C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，
解得3
20 的解集为{x|－30 的解集是
( )
A. x|－1
31
2
D. x|x<－1
2
或 x>1
3
解析：选 C.由题意得方程 ax2－5x＋b＝0 的两根分别为－3，2，于是
－3＋2＝－－5
a
，
－3×2＝b
a
，
⇒
a＝－5，
b＝30.
则不等式 bx2－5x＋a>0，
即为 30x2－5x－5>0，
即(3x＋1)(2x－1)>0，
⇒
x<－1
3
或 x>1
2
.故选 C.
4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义 a⊙b＝ ab＋a＋b(a，b 为非负实数)，若 1⊙k2<3，
则 k 的取值范围是( )
A．(－1，1) B.(0，1)
C．(－1，0) D．(0，2)
解析：选 A.因为定义 a⊙b＝ ab＋a＋b(a，b 为非负实数)，1⊙k2<3，所以 k2＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，
所以－11 时，
不等式的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可，即 1b 的解集为 －∞，1
5 ，则关于 x 的不等式 ax2＋bx－4
5a>0 的解
集为________．
解析：由已知 ax>b 的解集为 －∞，1
5 ，可知 a<0，且b
a
＝1
5
，将不等式 ax2＋bx－4
5a>0
两边同除以 a，得 x2＋b
ax－4
5<0，即 x2＋1
5x－4
5<0，即 5x2＋x－4<0，解得－10 恒成立，
所以原不等式等价于 2－ax＋x2<3(1－x＋x2)，
即 2x2＋(a－3)x＋1>0 恒成立．
所以Δ＝(a－3)2－8<0，3－2 20.
(1)求 f(x)在[0，1]内的值域；
(2)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
解：(1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
当 x∈(－3，2)时，f(x)>0.
所以－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两根，
所以
－3＋2＝8－b
a
，
－3×2＝－a－ab
a
，
所以 a＝－3，b＝5.
所以 f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3 x＋1
2
2
＋75
4
.
因为函数图象关于 x＝－1
2
对称且抛物线开口向下，
所以 f(x)在[0，1]上为减函数，
所以 f(x)max＝f(0)＝18，
f(x)min＝f(1)＝12，故 f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(2)由(1)知不等式 ax2＋bx＋c≤0 可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0 的解集
为 R，只需 a＝－3<0，
Δ＝b2－4ac≤0，
即 25＋12c≤0，所以 c≤－25
12
，
所以实数 c 的取值范围为 －∞，－25
12 .
10．解关于 x 的不等式 ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
解：原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0.
(1)当 a>0 时，原不等式可以化为 a(x－2) x－1
a <0，根据不等式的性质，这个不等式等
价于(x－2)· x－1
a <0.
因为方程(x－2) x－1
a ＝0 的两个根分别是 2，1
a
，所以当 01
2
时，1
a<2，则原不等式的解集是 x|1
a2，
即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当 a<0 时，原不等式可以化为
a(x－2) x－1
a <0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)· x－1
a >0，
由于1
a<2，
故原不等式的解集是 x|x<1
a
或 x>2 .
综上所述，当 a<0 时，不等式的解集为 x|x<1
a
或 x>2 ；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x>2}；
当 01
2
时，不等式的解集为 x|1
a0 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选 A.不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1，4)
内有解等价于 a<(x2－4x－2)max.
令 g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以 g(x)1 时，解得 10 恒成立，则实数 a 的取值范围为
________．
解析：因为 x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x＋a
x
>0 恒成立，即 x2＋2x＋a>0 恒成立．
即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立．
设 g(x)＝－(x2＋2x)，
而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，所以 g(x)max＝g(1)＝－3，
故 a>－3.
所以，实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
5．求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围．
解：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以
(1)若 x＝3，
则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得
f（－1）>0，
f（1）>0，
即 x2－7x＋12>0，
x2－5x＋6>0，
解得 x<2 或 x>4.
所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}．
6．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，函数 F(x)＝f(x)－x 的两个零点为 m，n(m0 的解集；
(2)若 a>0，且 00，
即 a(x＋1)(x－2)>0.
当 a>0 时，不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<－1 或 x>2}；
当 a<0 时，不等式 F(x)>0 的解集为{x|－10，且 00.
所以 f(x)－m<0，即 f(x)
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