2019-2020学年湖南省常德市高一上学期期末考试数学试卷 9页

湖南省常德市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题单位 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 1. 设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(　　)‎ A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}‎ 2. 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(　　)‎ A. (-∞，1)　　 B. (-∞，2)　 C. (1，＋∞)　　 D. (2，＋∞)‎ 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)‎ A. y＝ B. y＝x＋‎1 C. y＝－x2＋1　 D. y＝lg x 4. 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小明骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小明从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)‎ 5. 设a＝0.60.4，b＝log0.46，c＝log0.60.4，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 6. 方程lg x＋x＝3的解所在区间为(　　)‎ A. (0，1)　　 B. (1，2)　　 C. (2，3)　　　 D. (3，＋∞)‎ 7. 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球体 8. 对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列结论正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥α，则m⊥n 9. 若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线与直线x－y + 5＝0平行，则m的值为(　　)‎ A．1 B．‎4 C．1或3 D．1或4‎ 10. 如果A·C > 0且B·C < 0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1. 体已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的体积之比为（ ）‎ A．1∶ B．1∶‎3 C．1∶9 D．1∶27 ‎ 2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)‎ A．12π B．12π C．8π D．10π 二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.‎ 3. 计算： × 100＝ . ‎ 4. 若直线x－y－=0的倾斜角为α，则α＝ .‎ 5. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．‎ 6. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式为V＝l2h。该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的。则根据你所学知识，该公式中π取的近似值为______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.‎ 7. ‎(本小题满分10分) ‎ 设集合A=｛x | lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ｝；B=｛x | ｝，求.‎ 8. ‎(本小题满分12分) ‎ 已知幂函数ƒ(x) =的图像过点（2,4）‎ ‎（1）求函数ƒ(x) 的解析式；‎ ‎（2）设函数h(x)=2ƒ(x)–k x–1在[－1,1]是单调函数，求实数k的取值范围。‎ 1. ‎(本小题满分12分) ‎ 如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，‎ ‎∠BAC = 60°，PA = AB. ‎ (1) 求证：平面PAC⊥平面PBC；‎ (2) 求直线PC与平面ABC所成角的正切值。 ‎ 2. ‎(本小题满分12分) ‎ 已知不经过原点的直线m在两坐标轴上的截距相等，且点P(2,2)在直线m上；‎ (1) 求直线m的方程；‎ (2) 过点P作直线n，若直线n，m与x轴围成的三角形的面积为2，求直线n的方程。‎ 1. ‎(本小题满分12分) ‎ 如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC=2，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.‎ ‎(1)若A′A=2，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积；‎ ‎(2)证明：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(3)请问当A′A为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论。‎ 2. ‎(本小题满分12分) ‎ 在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为点E，在一个特定时段内，以点E为中心的1海里以内海域被设为警戒水域，点E正北4海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距10海里的位置B，经过12分钟又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距2海里的位置C. ‎ ‎（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；‎ ‎（2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点E与船的距离小于1海里即为进入警戒水域)，并说明理由。‎ ‎ 数学 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C D D C D C A D D B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13. － ； 14. 30°； 15. 1：47 ； 16. 3 ‎ ‎ ‎ 三、解答题 （参考答案，仅供参考，其它解法，酌情计分）‎ ‎17.【解析】解：因为 lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 的解为x=3（x=-2舍去）‎ ‎ 所以A=｛3 ｝ .............................................................(4分)‎ ‎ 又因为的解为x=‎ ‎ 所以B=｛｝ ........................................................(8分)‎ ‎ 所以=｛3， ｝ ...............................................(10分)‎ 18. ‎【解析】解：（1）因为ƒ(x)= 的图像过点（2,4）‎ 所以=4 则α=2‎ ‎ 所以函数ƒ(x)的解析式为：ƒ(x)= .................(5分)‎ （2） 由（1）得h(x)=2x2 -k x–1,‎ ‎ 所以函数h(x)的对称轴为 x= .............(8分)‎ 若函数h(x)在[－1,1]是单调函数 ‎ 则 ≤-1或 ≥1‎ 即k≤-4或k≥4‎ 所以实数k的取值范围为（－∞,－4][4,+∞）.........(12分)‎ 18. ‎【解析】解：（1）证明：∵AB是直径 ‎ ‎ ∴∠ACB = 90°，即BC⊥AC ..........(2分)‎ 又∵PA⊥⊙O所在的平面 BC在⊙O所在的平面内 ‎∴PA⊥BC ........(4分)‎ ‎∴BC⊥平面PAC ‎ 又BC平面PBC ‎∴平面PBC⊥平面PAC ........(6分) ‎ ‎ （2）∵PA⊥平面ABC ‎ ∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA ........(8分)‎ ‎ 设AC = 1，∵∠BAC = 60°∴∠ABC = 30°‎ ‎∴PA = AB = 2‎ ‎ ∴tan∠PCA = = 2 ........(12分)‎ ‎20.【解析】解：（1）因为直线m在两坐标轴上的截距相等 设直线m： ＝1‎ ‎ 将点P(2,2)代入方程，得=4‎ 所以直线m的方程为x+y－4＝0 .......(6分)‎ ‎(2) ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，‎ 直线m，直线n和x轴围成的三角形的面积为2，‎ 则直线m的方程为x＝2符合题意； ..........(8分)‎ ‎②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；‎ ‎③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，‎ 得x＝2－，由（1）得直线m交x轴（4,0），‎ 依题意有×|（2－）－4|×2＝2，即|（2－）－4|＝2，‎ 解得k＝－，所以直线m的方程为y－2＝－(x－2)，‎ 即x+2y－6＝0.‎ 综上，直线m的方程为x+2y－6＝0或x＝2. ......(12分)‎ ‎21.【解析】解：（1）∵三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面 且AB＝AC=2，∠BAC＝90°，A′A=2‎ ‎∴由三棱柱体积公式得：V=×2×2×2=4 ... .......( 3分)‎ ‎(2)证明　(方法一)取A′B′的中点E，连接ME，NE，‎ ‎∵M，N分别为A′B和B′C′的中点，‎ ‎∴NE∥A′C′，ME∥AA′.‎ ‎∵A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，‎ ‎∴ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，‎ 又ME∩NE＝E，‎ ‎∴平面MNE∥平面AA′C′C，‎ ‎∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面AA′C′C. .......(7分)‎ ‎ (方法二)连接B′A，AC，说明M在B′A上，证明MN∥AC；‎ 即可证得MN∥平面AA′C′C. ‎ ‎(3)连接BN，设AA′＝a，‎ 则由题意知BC＝2， NC＝BN，‎ ‎∵三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，‎ ‎∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，‎ ‎∵AB＝AC，∴A′B′＝A′C′，又点N是B′C′的中点，‎ ‎∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N.‎ 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可， .......(10分)‎ 又∵NC＝BN，∴NC＝BN=AA′＝ a ‎∴NC2＋BN2＝BC2，即2（ a）2＝（2）2，‎ ‎∴a＝，则AA′＝时，CN⊥平面A′MN. .......(12分)‎ ‎22.【解析】解：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位长度为1海里 ‎ 则坐标平面中AB = 10，AC = ‎2 A(0,0)，E(0, －4) ‎ ‎ 再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,) .....( 3分) ‎ A BA CA E ‎ 所以|BC| = = 2 ‎ ‎ 又因为12分钟=0.2小时 ‎ 则V=2÷0.2=10(海里/小时)‎ ‎ 所以该船行驶的速度为10海里/小时 .....( 6分) ‎ ‎ （2）直线BC的斜率为k= = 2 ‎ ‎ 所以直线BC的方程为：y－ = 2(x－3)‎ ‎ 即2x－y－5 =0 .....(9分)‎ ‎ 所以E点到直线BC的距离为 = < 1‎ ‎ 即该船不改变航行方向行驶时离E点的距离小于1海里，‎ 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 .....(12分)‎