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  • 2021-06-11 发布

2019-2020学年湖南省常德市高一上学期期末考试数学试卷

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湖南省常德市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 时量:120分钟 满分:150分 命题单位 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 1. 设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(  )‎ A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}‎ 2. 函数y=2log4(1-x)的定义域为(  )‎ A. (-∞,1)   B. (-∞,2)  C. (1,+∞)   D. (2,+∞)‎ 3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(  )‎ A. y= B. y=x+‎1 C. y=-x2+1  D. y=lg x 4. 设甲、乙两地的距离为a(a>0),小明骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小明从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(  )‎ 5. 设a=0.60.4,b=log0.46,c=log0.60.4,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 6. 方程lg x+x=3的解所在区间为(  )‎ A. (0,1)   B. (1,2)   C. (2,3)    D. (3,+∞)‎ 7. 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是(  )‎ A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球体 8. 对于空间中的两条直线m,n和一个平面α,下列结论正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n⊂α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m⊥α,n⊥α,则m⊥n 9. 若过点M(-2,m),N(m,4)的直线与直线x-y + 5=0平行,则m的值为(  )‎ A.1 B.‎4 C.1或3 D.1或4‎ 10. 如果A·C > 0且B·C < 0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1. 体已知两个球的表面积之比为1∶9,则这两个球的体积之比为( )‎ A.1∶ B.1∶‎3 C.1∶9 D.1∶27 ‎ 2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )‎ A.12π B.12π C.8π D.10π 二、填空题:本大题共4小题.每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.‎ 3. 计算: × 100= . ‎ 4. 若直线x-y-=0的倾斜角为α,则α= .‎ 5. 如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.‎ 6. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式为V=l2h。该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的。则根据你所学知识,该公式中π取的近似值为______.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内.‎ 7. ‎(本小题满分10分) ‎ 设集合A={x | lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 };B={x | },求.‎ 8. ‎(本小题满分12分) ‎ 已知幂函数ƒ(x) =的图像过点(2,4)‎ ‎(1)求函数ƒ(x) 的解析式;‎ ‎(2)设函数h(x)=2ƒ(x)–k x–1在[-1,1]是单调函数,求实数k的取值范围。‎ 1. ‎(本小题满分12分) ‎ 如图,AB是⊙O的直径,PA⊥⊙O所在的平面,C是圆上一点,‎ ‎∠BAC = 60°,PA = AB. ‎ (1) 求证:平面PAC⊥平面PBC;‎ (2) 求直线PC与平面ABC所成角的正切值。 ‎ 2. ‎(本小题满分12分) ‎ 已知不经过原点的直线m在两坐标轴上的截距相等,且点P(2,2)在直线m上;‎ (1) 求直线m的方程;‎ (2) 过点P作直线n,若直线n,m与x轴围成的三角形的面积为2,求直线n的方程。‎ 1. ‎(本小题满分12分) ‎ 如图,已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.‎ ‎(1)若A′A=2,求三棱柱ABC-A′B′C′的体积;‎ ‎(2)证明:MN∥平面AA′C′C;‎ ‎(3)请问当A′A为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论。‎ 2. ‎(本小题满分12分) ‎ 在海上进行工程建设时,一般需要在工地某处设置警戒水域;现有一海上作业工地记为点E,在一个特定时段内,以点E为中心的1海里以内海域被设为警戒水域,点E正北4海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距10海里的位置B,经过12分钟又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距2海里的位置C. ‎ ‎(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);‎ ‎(2)若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点E与船的距离小于1海里即为进入警戒水域),并说明理由。‎ ‎ 数学 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C D D C D C A D D B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分)‎ ‎13. - ; 14. 30°; 15. 1:47 ; 16. 3 ‎ ‎ ‎ 三、解答题 (参考答案,仅供参考,其它解法,酌情计分)‎ ‎17.【解析】解:因为 lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 的解为x=3(x=-2舍去)‎ ‎ 所以A={3 } .............................................................(4分)‎ ‎ 又因为的解为x=‎ ‎ 所以B={} ........................................................(8分)‎ ‎ 所以={3, } ...............................................(10分)‎ 18. ‎【解析】解:(1)因为ƒ(x)= 的图像过点(2,4)‎ 所以=4 则α=2‎ ‎ 所以函数ƒ(x)的解析式为:ƒ(x)= .................(5分)‎ (2) 由(1)得h(x)=2x2 -k x–1,‎ ‎ 所以函数h(x)的对称轴为 x= .............(8分)‎ 若函数h(x)在[-1,1]是单调函数 ‎ 则 ≤-1或 ≥1‎ 即k≤-4或k≥4‎ 所以实数k的取值范围为(-∞,-4][4,+∞).........(12分)‎ 18. ‎【解析】解:(1)证明:∵AB是直径 ‎ ‎ ∴∠ACB = 90°,即BC⊥AC ..........(2分)‎ 又∵PA⊥⊙O所在的平面 BC在⊙O所在的平面内 ‎∴PA⊥BC ........(4分)‎ ‎∴BC⊥平面PAC ‎ 又BC平面PBC ‎∴平面PBC⊥平面PAC ........(6分) ‎ ‎ (2)∵PA⊥平面ABC ‎ ∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA ........(8分)‎ ‎ 设AC = 1,∵∠BAC = 60°∴∠ABC = 30°‎ ‎∴PA = AB = 2‎ ‎ ∴tan∠PCA = = 2 ........(12分)‎ ‎20.【解析】解:(1)因为直线m在两坐标轴上的截距相等 设直线m: =1‎ ‎ 将点P(2,2)代入方程,得=4‎ 所以直线m的方程为x+y-4=0 .......(6分)‎ ‎(2) ①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,‎ 直线m,直线n和x轴围成的三角形的面积为2,‎ 则直线m的方程为x=2符合题意; ..........(8分)‎ ‎②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;‎ ‎③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,‎ 得x=2-,由(1)得直线m交x轴(4,0),‎ 依题意有×|(2-)-4|×2=2,即|(2-)-4|=2,‎ 解得k=-,所以直线m的方程为y-2=-(x-2),‎ 即x+2y-6=0.‎ 综上,直线m的方程为x+2y-6=0或x=2. ......(12分)‎ ‎21.【解析】解:(1)∵三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面 且AB=AC=2,∠BAC=90°,A′A=2‎ ‎∴由三棱柱体积公式得:V=×2×2×2=4 ... .......( 3分)‎ ‎(2)证明 (方法一)取A′B′的中点E,连接ME,NE,‎ ‎∵M,N分别为A′B和B′C′的中点,‎ ‎∴NE∥A′C′,ME∥AA′.‎ ‎∵A′C′⊂平面AA′C′C,A′A⊂平面AA′C′C,‎ ‎∴ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,‎ 又ME∩NE=E,‎ ‎∴平面MNE∥平面AA′C′C,‎ ‎∵MN⊂平面MNE,∴MN∥平面AA′C′C. .......(7分)‎ ‎ (方法二)连接B′A,AC,说明M在B′A上,证明MN∥AC;‎ 即可证得MN∥平面AA′C′C. ‎ ‎(3)连接BN,设AA′=a,‎ 则由题意知BC=2, NC=BN,‎ ‎∵三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,‎ ‎∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,‎ ‎∵AB=AC,∴A′B′=A′C′,又点N是B′C′的中点,‎ ‎∴A′N⊥平面BB′C′C,∴CN⊥A′N.‎ 要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可, .......(10分)‎ 又∵NC=BN,∴NC=BN=AA′= a ‎∴NC2+BN2=BC2,即2( a)2=(2)2,‎ ‎∴a=,则AA′=时,CN⊥平面A′MN. .......(12分)‎ ‎22.【解析】解:(1)如图建立平面直角坐标系:设一个单位长度为1海里 ‎ 则坐标平面中AB = 10,AC = ‎2 A(0,0),E(0, -4) ‎ ‎ 再由方位角可求得:B(5,5),C(3,) .....( 3分) ‎ A BA CA E ‎ 所以|BC| = = 2 ‎ ‎ 又因为12分钟=0.2小时 ‎ 则V=2÷0.2=10(海里/小时)‎ ‎ 所以该船行驶的速度为10海里/小时 .....( 6分) ‎ ‎ (2)直线BC的斜率为k= = 2 ‎ ‎ 所以直线BC的方程为:y- = 2(x-3)‎ ‎ 即2x-y-5 =0 .....(9分)‎ ‎ 所以E点到直线BC的距离为 = < 1‎ ‎ 即该船不改变航行方向行驶时离E点的距离小于1海里,‎ 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 .....(12分)‎