【数学】2020届一轮复习人教A版第18课导数的概念与几何意义作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(18)‎ ‎ 1. 若曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4，则切点的坐标为__(－2，4)__．‎ 解析：由题意得y′＝2x，令y′＝2x＝－4，解得x＝－2，故切点坐标为(－2，4)．‎ ‎ 2. 已知函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m＝__2__．‎ 解析：由题意，得＝3，即＝3，解得m＝2.‎ ‎ 3. 已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__2x＋y＋1＝0__．‎ 解析：因为f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，所以当x>0时，－x<0，则f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，所以f′(1)＝1－3＝－2.又因为点(1，－3)在f(x)＝ln x－3x的图象上，所以所求切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0.‎ ‎ 4. 已知直线y＝kx与函数f(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切，则实数k的值为__e__，切点坐标为__(1，e)__．‎ 解析：设切点坐标为(x，y)，则解得x＝1，y＝k＝e，所以k的值为e，切点坐标为(1，e)．‎ ‎ 5. 若曲线f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__[2，＋∞)__．‎ 解析：因为f(x)＝x2－ax＋ln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝x－a＋.因为函数f(x)的图象存在垂直于y轴的切线，所以f′(x)存在零点，即关于x的方程x＋－a＝0有解，所以a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．‎ ‎ 6. 曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为__y＝3x＋1__．‎ 解析：由题意得y′＝ex＋xex＋2，当x＝0时，y′＝3.因为点(0，1)在曲线上，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即y＝3x＋1.‎ ‎ 7. 已知曲线y＝x2－1在点x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在点x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为__0或－__．‎ 解析：对于函数y＝x2－1，y′＝2x，对于y＝1－x3，y′＝－3x2.由题意可得2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.‎ ‎ 8. 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为____．‎ 解析：由题意得y′＝ex.因为点(2，e2)在曲线y＝ex上，所以曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线的斜率为e2，相应的切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积为.‎ ‎ 9. 已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为____．‎ 解析：由f(x)＝x3－ax＋a，得f′(x)＝3x2－a.设切点为(x0，x－ax0＋a)，所以f′(x0)＝3x－a ‎，所以过切点的切线方程为y－x＋ax0－a＝(3x－a)(x－x0)．因为切线过点A(1，0)，所以－x＋ax0－a＝(3x－a)(1－x0)，解得x0＝0或x0＝，所以f′(0)＝－a，f′＝－a.由两条切线的倾斜角互补，得－a＝a－，解得a＝.‎ ‎10. 已知f(x)＝ex－x，则过原点且与f(x)的图象相切的直线方程为__y＝(e－1)x__．‎ 解析：设切点坐标为(x0，ex0－x0)．由题意得k＝f′(x0)＝ex0－1，所以切线方程为y＝(ex0－1)x，联立解得x0＝1，所以切线方程为y＝(e－1)x.‎ ‎11. 已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1) 求曲线在点P(2，4)处的切线方程；‎ ‎(2) 求曲线过点P(2，4)的切线方程．‎ 解析：(1) 因为点P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，‎ 所以曲线在点P(2，4)处的切线的斜率为k＝4，‎ 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.‎ ‎(2) 设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，‎ 则切线的斜率为k＝x，‎ 所以切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋.‎ 因为点P(2，4)在切线上，‎ 所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，‎ 解得x0＝－1或x0＝2，‎ 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.‎ ‎12. 设t≠0，P(t，0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，且两函数的图象在点P处有相同的切线．‎ ‎(1) 用t表示a，b，c；‎ ‎(2) 若函数y＝f(x)－g(x)在区间(－1，3)上单调递减，求实数t的取值范围．‎ 解析：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点P(t，0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.‎ 因为t≠0，所以a＝－t2.‎ 因为g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.‎ 又因为函数f(x)，g(x)的图象在点P(t，0)处有相同的切线，‎ 所以f′(t)＝g′(t)．‎ 又f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.‎ 将a＝－t2代入上式得b＝t，所以c＝ab＝－t3，‎ 故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.‎ ‎(2) 因为y＝f(x)－g(x)＝x3－tx2－t2x＋t3，‎ 所以y′＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)．‎ 当y′＝(3x＋t)(x－t)<0时，函数y＝f(x)－g(x)单调递减．‎ 由y′<0，得若t>0，则－