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- 2021-06-11 发布
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2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业
1、若某线性方程组对应的增广矩阵是,且此方程组有唯一一组解,则实数m的取值范围是________ .
2、圆:在矩阵对应的变换作用下得到了曲线,曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线,则曲线的方程为__________.
3、已知矩阵,则矩阵的逆矩阵为__________.
4、已知,为矩阵的两个特征向量.
(1)求矩阵;
(2)若,求.
5、若圆:在矩阵对应的变换下变成椭圆:.
(1)求,的值;
(2)求矩阵的逆矩阵.
6、已知矩阵,.
(1)求;
(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.
7、将阶数阵记作(其中,当且仅当时,).如果对于任意的,当时,都有,那么称数阵具有性质.
(Ⅰ)写出一个具有性质的数阵,满足以下三个条件:①,②数列是公差为2的等差数列,③数列是公比为的等比数列;
(Ⅱ)将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作数阵.试判断数阵是否具有性质A,并说明理由.
8、已知矩阵,向量.
(1)求的特征值、和特征向量、;
(2)求的值.
9、已知点P(3,1)在矩阵变换下得到点P′(5,-1).试求矩阵A和它的逆矩阵.
10、已知矩阵,A的逆矩阵.
(1)求a,b的值;(2)求A的特征值.
11、直角坐标平面内,每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.
(I)求矩阵的逆矩阵;
(Ⅱ)求曲线先在变换作用下,然后在变换作用下得到的曲线方程.
12、已知矩阵满足:,其中是互不相等的实常数,是非零的平面列向量,,,求矩阵.
13、已知矩阵的一个特征值为3,求的另一个特征值.
14、已知矩阵M=的一个特征值为3,求M的另一个特征值.
15、已知矩阵.
(1)求的逆矩阵;
(2)若点P在矩阵对应的变换作用下得到点,求点P的坐标.
16、已知矩阵,若矩阵属于特征值的一个特征向量为,属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.
17、已知矩阵M=的一个特征值为3,求M的另一个特征值.
18、[选修4-2:矩阵与变换]
若二阶矩阵满足,.
求曲线在矩阵所对应的变换作用下得到的曲线的方程.
19、已知矩阵A=,满足A=,求矩阵A的特征值.
20、已知矩阵,,求.
参考答案
1、答案:m ≠ ?2
因为方程组有唯一解,所以,即,所以填.
2、答案:
分析:
详解:,
设为曲线上任意一点,是圆:上与P对应的点,,得,,
是圆上的点,
的方程为,即.
故答案为:.
名师点评:本题考查了几种特殊的矩阵变换,体现了方程的数学思想.
3、答案:
分析:直接计算即可.
详解:矩阵,
矩阵的逆矩阵.
故答案为:.
名师点评:本题考查了逆矩阵,注意解题方法的积累.
4、答案:(1)(2)
试题分析:分析:(1)矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,由求出,,,,即可得到答案;
(2),即可求出.
详解:(1)设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,
则由,得,即,
可解得,,,,所以.
(2)因为,
所以.
名师点评:本题考查矩阵乘法的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意矩阵变换、矩阵相乘的性质的合理运用.
5、答案:(1),.(2)
试题分析:先根据矩阵运算得,再运用转移法求轨迹与重合得,最后根据逆矩阵公式求得
试题设点为圆C:上任意一点,经过矩阵A变换后对应点为,
则,所以
因为点在椭圆:上,所以,
又圆方程为,故,即,
又,,所以,.所以,
所以.
考点:逆矩阵
6、答案:(1);(2).
试题分析:分析:(1)直接根据逆矩阵公式计算即可(2)由,即解得,即.
详解:(1)由题知,所以,
根据逆矩阵公式,得.
(2)设由上的任意一点在作用下得到上对应点.
由,即解得,
因为,所以,
即.
即直线的方程为.
名师点评:(1)逆矩阵计算公式是解第一问关键,要会掌握其运算公式(2)一直线在对应的变换作用下所得直线的方程计算不难,不要算错一般都可以解决.
7、答案:(Ⅰ)(答案不唯一);(Ⅱ)见解析.
试题分析:(Ⅰ)利用等差数列、等比数列的定义以及“性质”的定义写出即可;(Ⅱ)数阵具有性质A,只需证明,对于任意的,都有,其中用反证明法证明,假设存在,则都大于,第列中至少有个数,这与第列中只有个数矛盾,假设不成立,从而可得结果.
【详解】
(Ⅰ)(答案不唯一).
(Ⅱ)数阵具有性质A.
只需证明,对于任意的,都有,其中.
下面用反证明法证明:
假设存在,则都大于,
即在第列中,至少有个数大于,且.
根据题意,对于每一个,都至少存在一个,
使得,即在第列中,至少有个数小于.
所以,第列中至少有个数,这与第列中只有个数矛盾.
所以假设不成立.
所以数阵具有性质A.
名师点评:
本题主要考查矩阵的性质、新定义问题以及反证法的应用,属于中档题.
新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
8、答案:(1)当时,解得,当时,解得;(2)见解析.
试题分析:分析:(1)先根据特征值的定义列出特征多项式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量;
(2)根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1,然后根据特征向量线性表示出向量,利用矩阵的乘法法则求出,从而即可求出答案.
详解(1)矩阵的特征多项式为,
令,解得,,
当时,解得;
当时,解得.
(2)令,得,求得.
所以
名师点评:考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算,会求矩阵的特征值和特征向量.
9、答案:.
试题分析:由列方程求出a和b的值,求得矩阵A,|A|及,由即可求得.
详解:依题意得
所以
所以A=.
因为|A|==1×(-1)-0×2=-1,
所以=.
名师点评:本题主要考查矩阵的变换和逆矩阵的求法,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.
10、答案:(1)a=1,b=-;(2)λ1=1,λ2=3;
试题分析:
利用题意得到特征多项式,据此即可求得相应的特征值为3和1
试题
则解之得
的特征多项式
令,解之得
的特征值为3和1
11、答案:(Ⅰ);(Ⅱ).
试题分析:(I)求出,,即可求矩阵的逆矩阵;
(Ⅱ)求出,可得坐标之间的关系,代入方程整理,即可求曲线的方程.
(Ⅰ),,.
(Ⅱ),,
代入中得:.
故所求的曲线方程为:.
名师点评:本题给出矩阵变换,求曲线在矩阵对应变换作用下得到新的曲线方程,着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识.
12、答案:.
试题分析:先写出方程f(λ)=0得到ab=1,再根据题意令i=2得到λ2的值,从而求得矩阵M.
详解:由题意,是方程的两根
因为,所以
又因为,所以,从而
所以
因为,所以,从而,
故矩阵
名师点评:本题考查简单的矩阵计算,属于基础题.
13、答案:
试题分析:分析:矩阵的特征多项式为,由是方程的一个根可得结果.
详解:矩阵的特征多项式为
因为是方程的一个根,
所以,解得,
由,得或3,所以.
名师点评:本题主要考查矩阵的特征值,意在考查学生对基本概念与性质掌握的熟练程度,属于简单题.
14、答案:-1
试题分析:根据特征多项式的一个零点为3,可得x=1,再回代到方程f(λ)=0即可解出另一个特征值为λ2=-1.
解:矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ-1)(λ-x)-4.
因为λ1=3是方程f(λ)=0的一个根,
所以(3-1)(3-x)-4=0,解得x=1.
由(λ-1)(λ-1)-4=0,得λ=-1或3,所以λ2=-1.
名师点评:本题给出含有字母参数的矩阵,在知其一个特征值的情况下求另一个特征值,属于基础题.
15、答案:(1)
(2)点P的坐标为(3,–1)
试题分析:分析:(1)根据逆矩阵公式可得结果;(2)根据矩阵变换列方程解得P点坐标.
详解:(1)因为,,所以A可逆,
从而.
(2)设P(x,y),则,所以,
因此,点P的坐标为(3,–1).
名师点评:本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
16、答案:.
试题分析:先由和求得和求得,从而求得,可得.
试题
由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得,
,即;
得,
由矩阵属于特征值的一个特征向量为,
可得,即;
得,
解得.即,
17、答案:-1
试题分析:分析:根据特征多项式的一个零点为3,可得x=1,再回代到方程f(λ)=0即可解出另一个特征值为λ2=-1.
解:矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ-1)(λ-x)-4.
因为λ1=3是方程f(λ)=0的一个根,
所以(3-1)(3-x)-4=0,解得x=1.
由(λ-1)(λ-1)-4=0,得λ=-1或3,所以λ2=-1.
名师点评:本题给出含有字母参数的矩阵,在知其一个特征值的情况下求另一个特征值,属于基础题.
18、答案:.
试题分析:求出,利用变换的公式求出变换矩阵,然后求出曲线方程
记矩阵,则行列式,
故,所以,
即矩阵.
设曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点.
所以,
所以,所以,
又点在曲线上,代入整理得,
由点的任意性可知,所求曲线的方程为.
19、答案:1或4
试题分析:由矩阵的乘法首先求得实数a,b的值,然后求解矩阵的特征值即可.
【详解】
∵∴
矩阵的特征多项式为,
令,解得矩阵的特征值为1或4.
名师点评:
本题考查矩阵的乘法运算,矩阵的特征值的求解等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
20、答案:
试题分析:先求出,进而得到.
【详解】
易得,
所以.
名师点评:
本题考查矩阵乘积的求法,考查逆矩阵、矩阵与矩阵相交等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.