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- 2021-06-11 发布
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2020届二轮复习 不等式选讲 教案(全国通用)
一、含有绝对值不等式的解法
1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可.
(2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为∅,|ax+b|≥c的解集为R.
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根;
②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间;
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>g(x),|f(x)|0)型不等式的解法
(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
(2)|f(x)|0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
.
(2)由题设可得,
f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3,则实数的值为( )
A.5或8 B.或5 C.或 D.或8
【答案】D
【解析】由题意,①当时,即,,则当时,,解得或(舍);②当时,即
,,则当时,,解得(舍)或;③当时,即,,此时,不满足题意,所以或,故选D.
2. 【2014陕西高考理第15题】设,且,则的最小值为
【答案】
【解析】由柯西不等式得:,所以,得
所以,故答案为。
3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】令,则,
(1)当时,由得,解得,此时有;
(2)当时,,此时不等式无解;
(3)当时,由得,解得,此时有;
综上所述,不等式的解集为.
4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为,则________.
【答案】-3
【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,
即,故填.
5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,当且仅当
时取等号,所以的最小值为,选C.
6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】令,其图象如下所示(图中的实线部分)
由图可知:
由题意得:,解这得:
所以答案应填:
7. 【2014高考福建理第21(3)题】已知定义在R上的函数的最小值为.
(I)求的值;
(II)若为正实数,且,求证:.
【答案】(I);(II)参考解析
【解析】(I)因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
(II)由(I)知,又因为是正数,所以
,即.
9. 【2014高考江苏第21题】已知,证明
【答案】证明见解析.
【解析】
∵,∴, ,
∴.
10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵,向量,是实数,若,求的值.
【答案】
【解析】
由题意得,解得.∴.
11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数,,记的解集为M,的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当时,证明:.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)
当时,由得,故;
当时,由得,故;[来源:学_科_网]
所以的解集为.
(2)由得解得,因此,故.
当时,,于是
.
12. 【2014高考全国1第24题】若,且.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在.
【解析】(I)由,得,且当时取等号.故,且当时取等号.所以的最小值为.
(II)由(I)知,.由于,从而不存在,使得.
13. 【2014高考全国2第24题】设函数=
(Ⅰ)证明:2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知:,当且仅当时,取等号,所以.[来源:]
(2)因为,所以
,解得:.
(2013·新课标I理)(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【答案】
当时,令,,做出函数图像可知,当时,,故原不等式的解集为;
(2)依题意,原不等式化为,故对都成立,故,故,故的取值范围是.
【解析】(1)构造函数,作出函数图像,观察可知结论;(2)利用分离参数法进行求解.
(2013·陕西理)A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .
【答案】2
【解析】 由柯西不等式可得
(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因此解集为.
(2013·福建理)(3).(本小题满分7分) 选修4-5:不等式选讲
设不等式的解集为A,且
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)求函数的最小值
【答案】(Ⅰ)因为,且,所以,且
解得,又因为,所以
(Ⅱ)因为
当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为
【解析】 不等式选讲如果如此题只考查绝对值不等式就算比较容易的题目,注意绝对值的三角不等式即可,当然也可通过讨论去掉绝对值号,当然还要注意均值和柯西不等式的应用。
(2013·辽宁理)24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)
(II)
【答案】(I)解法一:当a=2时,,利用几何意义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于4,又2
和4之间的距离为2,即数x可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位。故不等式的解集为:
。
(II)令
由,又知
所以
【解析】第一问的解法一主要运用了绝对值的几何意义,这种方法比较直观简单,解法二主要运用绝对值的意义进行分类讨论解决;第二问主要是含有字母a,以a作为依据分为三段来解决,最后于所给的解集相等进而求得a的值。
(2013·新课标Ⅱ理)(24)(本小题满分10分)选修4——5;不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ac;
(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由,,得:
,由题设得,即
,所以
,即.
(Ⅱ)因为,,,
所以,即,
所以.学科+网