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  • 2021-06-11 发布

高考数学复习专题练习第2讲 排列与组合

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第2讲 排列与组合 一、选择题 ‎1.学校准备从5位报名同学中挑选3人,分别担任某运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者,已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者,则不同的安排方法共有(  )‎ A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 解析 可以先从其余的4位同学中选出1人担任游泳比赛的志愿者,有C种方法,再从剩余的4人中选出2人分别担任田径和球类比赛的志愿者,有A种方法,则由分步乘法计数原理可得,不同的安排方法共有CA=48(种).‎ 答案 C ‎2.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有 (  ).‎ A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 解析 可先排C、D、E三人,共A种排法,剩余A、B两人只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排法共A=60(种).‎ 答案 B ‎3.如果n是正偶数,则C+C+…+C+C= (  ).‎ A.2n B.2n-1 ‎ C.2n-2 D.(n-1)2n-1‎ 解析 (特例法)当n=2时,代入得C+C=2,排除答案A、C;‎ 当n=4时,代入得C+C+C=8,排除答案D.故选B.‎ 答案 B ‎4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 ‎ (  ).‎ A.42 B‎.30 ‎ C.20 D.12‎ 解析 可分为两类:两个节目相邻或两个节目不相邻,若两个节目相邻,则有AA=12种排法;若两个节目不相邻,则有A=30种排法.由分类计数原理共有12+30=42种排法(或A=42).‎ 答案 A ‎5.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上,其中3盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有(  )‎ A.2 680种 B.4 320种 C.4 920种 D.5 140种 解析 先将7盆花全排列,共有A种排法,其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5×A×A种,故所求摆放方法有A-5×A×A=4 320(种).‎ 答案 B ‎6.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 (  ).‎ A.232 B.‎252 ‎ C.472 D.484‎ 解析 若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有C×C×C=64种,若2张同色,则有C×C×C×C=144种;若红色卡片有1张,剩余2张不同色,则有C×C×C×C=192种,乘余2张同色,则有C×C×C=72种,所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.故选C.‎ 答案 C 二、填空题 ‎7.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选的组队方案数为(用数字作答)________.‎ 解析 分三类:①1女2男,共CC=50(种);②2女1男,共CC=50(种);③3女0男,共C=10(种).‎ 所以共有50+50+10=110(种).‎ 答案 110‎ ‎8.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c的取值,问共能组成________个不同的二次函数.‎ 解析 a,b,c中不含0时,有A个;a,b,c中含有0时,有‎2A个.故共有A+‎2A=294个不同的二次函数.‎ 答案 294‎ ‎9.某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人不同的出牌方法共有________种.‎ 解析 出牌的方法可分为以下几类:(1)5张牌全部分开出,有A种方法;(2)2张2一起出,3张A一起出,有A种方法;(3)2张2一起出,3张A分3次出,有A种方法;(4)2张2一起出,3张A分两次出,有CA种方法;(5)2张2分开出,3张A一起出,有A种方法;(6)2张2分开出,3张A分两次出,有CA种方法.因此,共有不同的出牌方法A+A+A+CA+A+CA=860(种).‎ 答案 860‎ ‎10.小王在练习电脑编程,其中有一道程序题的要求如下:它由A,B,C,D,E,F六个子程序构成,且程序B必须在程序A之后,程序C必须在程序B之后,执行程序C后须立即执行程序D,按此要求,小王的编程方法有__________种.‎ 解析 对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列,把CD看成整体,A,B,C,D产生四个空,所以E有4种不同编程方法,然后四个程序又产生5个空,所以F有5种不同编程方法,所以小王有20种不同编程方法.‎ 答案 20‎ 三、解答题 ‎11. 7名男生5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种.‎ ‎(1)A,B必须当选;‎ ‎(2)A,B必不当选;‎ ‎(3)A,B不全当选;‎ ‎(4)至少有2名女生当选;‎ ‎(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生担任.‎ 解 (1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选取3人即可,故有C=120种选法.‎ ‎(2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可,故有C=252种选法.‎ ‎(3)全部选法有C种,A,B全当选有C种,故A,B不全当选有C-C=672种选法.‎ ‎(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生,故可用间接法进行.所以有C-C·C-C=596种选法.‎ ‎(5)分三步进行;‎ 第1步,选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法.‎ 第2步,选2男1女补足5人有C·C种选法.‎ 第3步,为这3人安排工作有A方法.由分步乘法计数原理,共有CC·CC·A=12 600种选法.‎ ‎12.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.‎ ‎(1)若x=5,其中能被5整除的共有多少个?‎ ‎(2)若x=9,其中能被3整除的共有多少个?‎ ‎(3)若x=0,其中的偶数共有多少个?‎ ‎(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求x.‎ 解 (1)5必在个位,所以能被5整除的三位数共有A=6(个).‎ ‎(3)∵各位数字之和能被3整除时,该数就能被3整除,‎ ‎∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成,‎ ‎∴共有2×A=12(个).‎ ‎(3)偶数数字有3个,个位数必是一个偶数,同时0不能在百位,可分两类考虑:‎ ‎①0在个位的,有A=6(个).‎ ‎②个位是2或4的,有A×A×A=8(个),‎ ‎∴这种偶数共有6+8=14(个).‎ ‎(4)显然x≠0,∵1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现A×A次,‎ ‎∴这样的数字之和是(1+2+4+x)×A×A,‎ 即(1+2+4+x)×A×A=252,‎ ‎∴7+x=14,∴x=7.‎ ‎13.某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中:‎ ‎(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?‎ ‎(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?‎ ‎(3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?‎ ‎(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?‎ 解 (1)只需从其他18人中选3人即可,共有C=816(种);‎ ‎(2)只需从其他18人中选5人即可,共有C=8 568(种);‎ ‎(3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,‎ 共有CC+C=6 936(种);‎ ‎(4)方法一 (直接法):‎ 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类:‎ 一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,‎ 所以共有CC+CC+CC+CC=14 656(种).‎ 方法二 (间接法):‎ 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C-(C+C)=14 656(种).‎ ‎14.在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中,若1≤i<j≤m时pi>pj(即前面某数大于后面某数),则称pi与pj构成一个逆序,一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a2=3,排列4 321的逆序数a3=6.‎ ‎(1)求a4、a5,并写出an的表达式;‎ ‎(2)令bn=+,证明:2n<b1+b2+…+bn<2n+3,n=1,2,….‎ ‎(1)解 由已知条件a4=C=10,a5=C=15,‎ 则an=C=.‎ ‎(2)证明 bn=+=+=2+2 ‎∴b1+b2+…+bn ‎=2n+2 ‎=2n+2,‎ ‎∴2n<b1+b2+…+bn<2n+3.‎