【数学】2020届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 课时作业 9页

‎ 2020届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 课时作业 ‎ ‎1、已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于第(　　) 象限 A．一 B．二 C．三 D．四 ‎2、给出下列命题：(1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1；(2)1＋i2是虚数；(3)在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯虚数．其中真命题的个数为(　　)‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎3、设x∈R，y∈R，若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是(　　)‎ A． 以原点为圆心，以2为半径的圆 B． 两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)‎ C． 以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线 D． 以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)‎ ‎4、已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )‎ A． （-3,1) B． （-1,3) C． (1,+) D． （-,-3)‎ ‎5、若， 为虚数单位，且则（ ）‎ A． ， B． ‎ C． D． ‎ ‎6、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)‎ A． 1 B． 0 C． －1 D． －1或1‎ ‎7、复数的实部为 A． -1 B． 0 C． 1 D． 2‎ ‎8、‎ 已知是虚数单位，则复数的模为(　　)‎ A．1 B．2 C． D．5‎ ‎9、‎ 若复数满足，则的实部为（ ）‎ A．-5 B．5 C．-8 D．8‎ ‎10、‎ 若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则（ ）‎ A．4 B．-4 C．0 D． 11、若复数为纯虚数，则实数的值等于__________．‎ ‎12、若复数()为纯虚数，则____.‎ ‎13、如果是方程（）的一个根，则__________．‎ ‎14、设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________． 15、当实数为何值时，复数是：‎ ‎①实数；②虚数；③纯虚数 ‎16、已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？‎ ‎17、已知复数z满足|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限.‎ ‎(1)求复数z;‎ ‎(2)若复数ω满足|ω-1|≤,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.‎ ‎18、已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2. ‎ ‎(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;‎ ‎(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.‎ ‎19、已知复数.‎ ‎(1)当实数m取什么值时,复数z是纯虚数?‎ ‎(2)若z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上,求|z|.‎ ‎20、已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求的值.‎ 参考答案 ‎1、答案：B 先得到复数对应的点的坐标，进而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，复数对应的点的坐标为，‎ 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限．‎ 故选B．‎ 名师点评：‎ 本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟悉复数、复平面内的点之间是一一对应的关系，属于简单题．‎ ‎2、答案：A ‎（1）若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0且a2＋3a＋2≠0，解得a＝1。‎ ‎（2）1＋i2＝1－1＝0是实数。‎ ‎（3）除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为0。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0且a2＋3a＋2≠0，解得a＝1，所以错误；(2)1＋i2＝1－1＝0是实数，所以错误；(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为0，所以错误．故选A 名师点评：‎ 本题考查了复数的基本概念，对于复数为纯虚数，则。‎ ‎3、答案：D 复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，x2＋y2－4＝0，且x≠y，即x2＋y2＝4(x≠y)，由此得解。‎ ‎【详解】‎ 因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，所以x2＋y2－4＝0，且x≠y，即x2＋y2＝4(x≠y)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．故选D 名师点评：‎ 复数为纯虚数，则。‎ ‎4、答案：A 利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，‎ 可得：，解得﹣3＜m＜1.‎ 故选：A．‎ 名师点评：‎ 本题考查复数的几何意义，考查计算能力．‎ ‎5、答案：D 由题意得， ，即，所以，故选D．‎ 考点：复数相等的概念．‎ ‎6、答案：B 根据复数为纯虚数的概念，得到复数的实部为0，并且虚部不为0求出m．‎ ‎【详解】‎ 因为复数z=m（m+1）+（m2－1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以 ，解得m=0；‎ 故答案为：B．‎ 名师点评：‎ 本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0.‎ ‎7、答案：B ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎==，‎ ‎∴复数的实部为0.‎ 故选：B．‎ 名师点评：‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎8、答案：C 【分析】‎ 先化简，再求值 ‎【详解】‎ ‎,所以模为，故选C。‎ 名师点评：‎ 复数的除法运算公式。 9、答案：B 【分析】‎ 利用复数的除法运算化简得，从而得到的实部.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴的实部为5‎ 故选：B 名师点评：‎ 本题考查了复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.‎ ‎10、答案：D 【分析】‎ 先化简，然后根据复数为纯虚数，得到实部为零，虚部不为零，由此求得的值 ‎【详解】‎ 复数为纯虚数，故，解得，故选.‎ 名师点评：‎ 本小题主要考查复数的平方运算，考查纯虚数的概念.属于基础题. 纯虚数是实部为零，虚部不为零的复数.‎ ‎11、答案：0‎ 由题意得，复数为纯虚数，则，解得或，当时，（舍去），所以.‎ 考点：复数的概念.‎ ‎12、答案：0‎ 由题意得，复数为纯虚数，则，解得或，当时，（舍去），所以.‎ 考点：复数的概念.‎ ‎13、答案：19‎ 分析：根据复数相等的概念可得解.‎ 详解： 是方程（）的一个根，‎ 所以，化简得： .‎ 所以，解得，所以.‎ 故答案为：19.‎ 名师点评：解负数方程即遵循“实部等于实部，虚部等于虚部”，若复数等于0即为“实部等于0，虚部等于0”‎ ‎14、答案：‎ 根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；‎ 集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部 ‎∵A∩B≠？，‎ 说明，两圆面有交点；‎ ‎∴．‎ 可得：，‎ 故答案：，‎ 名师点评：‎ 本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题 ‎15、答案：（1）（2）（3）‎ 试题分析：复数为实数时需满足虚部为0，为虚数时需满足虚部不为0，为纯虚数时需满足实部为0，虚部不为0‎ 试题（1）当，即时，z是实数。（2）当，即时，z是虚数。（3）当且，即时，z是纯虚数。‎ 考点：复数的相关概念 16、答案：第四象限，轨迹为y＝－x＋2.‎ 试题分析：根据二次函数确定实部与虚部范围，确定正负，决定象限，再设复数代数形式，再消去a得实部与虚部关系，即得轨迹方程.‎ 试题解析:由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，‎ ‎∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．‎ 设z＝x＋yi(x、y∈R)，则消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．‎ ‎∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)． 17、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）设出复数，利用已知列出方程组，求解可得复数；（2）把复数 代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算，由复数满足，由复数的几何意义得出在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z2=x2-y2+2xyi,‎ 由|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限,‎ 得解得 ‎∴z=-1+i.‎ ‎(2)由(1)知,z=-1+i,‎ ‎∴====-+i,‎ ‎∴==,‎ ‎∴复数ω满足|ω-1|≤.‎ 由复数的几何意义,得 ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,‎ ‎∴其面积为π·=.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆. 18、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）向量对应的复数分别为，‎ ‎，利用，即可得出；（2）‎ 为实数，可得，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),‎ ‎∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,‎ ‎∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,‎ 解得a=b=5,‎ ‎∴z1=4-i,z2=-3+2i.‎ ‎(2)∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,‎ ‎∴=2,2-b=0,∴a=4,b=2.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查复数的几何意义，复数的模以及复数与向量的综合应用，属于中档题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离. 19、答案：（1）；（2）或0‎ 试题分析：（1），当实部等于0,虚部不等于0时,列出方程组，求解即可得结论；（2）当，即或时,为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数，分类当或时，求出即可.‎ ‎【详解】‎ z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.‎ ‎(1)当即m=-时,z为纯虚数.‎ ‎(2)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z在复平面内对应的点在第二、第四象限的角平分线上,‎ 若m=0,则z=-2+2i,|z|=2;‎ 若m=2,则z=0,|z|=0.‎ ‎∴|z|=2或|z|=0.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查纯虚数的定义、复数的模以及复数在象限内的特点，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 20、答案：（1）；（2）2‎ 试题分析：（1）先求出为,即可求出，再根据共轭复数的定义即可求出；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为|3+4i|=5,‎ 所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.‎ ‎(2)===2.‎ 名师点评：‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. ‎