高考数学复习专题练习选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系 4页

第2讲 直线与圆的位置关系 一、填空题 ‎1. 如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________.‎ 解析　由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，‎ sin ∠ABC＝＝＝＝.‎ 答案　 ‎2. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.‎ 解析　∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，‎ 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.‎ 由此得，∠ACO＝∠CAD，‎ ‎∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，‎ ‎∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°，‎ 又∵∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.‎ 答案　40°‎ ‎3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.‎ 解析　由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，‎ 又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.‎ 答案　2‎ ‎4. 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎3 cm，‎4 cm，以AC为直径的圆与AB交于D，则＝________.‎ 解析　∵∠C＝90°，AC为圆的直径，‎ ‎∴BC为圆的切线，AB为圆的割线，‎ ‎∴BC2＝BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝，‎ ‎∴DA＝BA－BD＝5－＝，∴＝.‎ 答案　 ‎5. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．‎ 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，‎ ‎∴△PCB∽△PAD，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵＝，＝，∴＝.‎ 答案　 ‎6. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ 解析　由题意知，AB＝6，AE＝1，‎ ‎∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.‎ 答案　5‎ ‎7．如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.‎ 解析　如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan 60°＝.‎ 答案　 ‎8. 如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．‎ 解析　∵AC、AD分别是两圆的切线，‎ ‎∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，‎ ‎∴△ACB∽△DAB.‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.‎ ‎∴AB＝＝2(舍去负值)．‎ 答案　2 二、解答题 ‎9．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，‎ 证明：(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.‎ 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.‎ 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，‎ 故△BCD∽△GBD.‎ ‎10．如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.‎ 证明：(1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎(2)AC＝AE.‎ 证明　(1)由AC与⊙O′相切于A，‎ 得∠CAB＝∠ADB，‎ 同理∠ACB＝∠DAB，‎ 所以△ACB∽△DAB.‎ 从而＝，‎ 即AC·BD＝AD·AB.‎ ‎(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，‎ 又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.‎ 从而＝，‎ 即AE·BD＝AD·AB.‎ 结合(1)的结论知，AC＝AE.‎