- 229.50 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
对应学生用书[练案54理][练案50文]
第八章 解析几何
第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
A组基础巩固
一、选择题
1.(2019·秦皇岛模拟 )倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是( D )
A.x-y+1=0 B.x-y-=0
C.x+y-=0 D.x+y+=0
[解析] 由于倾斜角为120°,故斜率k=-.又直线过点(-1,0),所以直线方程为y=-(x+1),即x+y+=0.
2.直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足( A )
A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0
[解析] 由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-x-.
易知-<0,且->0,故ab>0,bc<0.
3.(2019·济宁模拟)直线xsin+ycos=0的倾斜角是( D )
A.- B.
C. D.
[解析] 由题意得直线方程为y=-tan·x,
∴k=-tan=tan.∵0≤α<π,∴α=.
4.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )
A.1 B.-2
C.-2或-1 D.-2或1
[解析] 由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2;当y=0时,x=,∴=a+2,解得a=-2或a=1.
5.(2019·太原质检)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ
的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为( B )
A. B.-
C.- D.
[解析] 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为=-.
6.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( B )
[解析] 当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.结合选项知B符合,其他均不符合.
7.(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( B )
A.[0,] B.[,π)
C.[0,]∪(,π) D.[,]∪[,π)
[解析] k=-∈[-1,0),因此倾斜角的取值范围[,π),选B.
8.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的斜率的取值范围是( B )
A.[,) B.(,+∞)
C.(,+∞) D.(,1]
[解析] 本题主要考查直线的倾斜角.直线l恒过定点(0,-),如图所示.因为当直线l经过点(3,0)时,其斜率为=,所以当两直线的交点位于第一象限时,直线l的斜率的取值范围应为(,+∞).故选B.
二、填空题
9.(2019·重庆模拟)若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是__-20,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为__16___.
[解析] 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.
根据均值不等式得ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.
三、解答题
13.如图,在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求这个三角形三边所在直线的方程.
[解析] 设M(0,a),N(b,0),C(m,n),
∵A(5,-2),B(7,3),
又M是AC的中点,∴5+m=0,m=-5,
N是BC的中点,
∴3+n=0,n=-3,
∴点C的坐标为(-5,-3),
由直线方程的两点式,得
AB边所在直线方程为=,
整理得5x-2y-29=0;
AC边所在直线方程为=,
整理得x-10y-25=0;
BC边所在直线方程为=,
整理得x-2y-1=0.
14.(2019·镇江模拟)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?
[解析]
如图所示,建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),
所以直线EF的方程为+=1(0≤x≤30).
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时,可取最大值,
在线段EF上取点P( m,n),作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,
则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又+=1(0≤m≤30),所以n=20-m.
所以S=(100-m)(80-20+m)
=-(m-5)2+(0≤m≤30).
所以当m=5时,S有最大值,这时=51.
所以当矩形草坪的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分有向线段EF成51时,草坪面积最大.
B组能力提升
1.(2019·苏州模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( D )
A.(-1,)
B.(-∞,)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(,+∞)
D.(-∞,-1)∪(,+∞)
[解析] 设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪(,+∞).
2.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是( B )
A.(-∞,-]∪[,+∞)
B.(-,)
C.[-,]
D.(-∞,-]∪[,+∞)
[解析] 直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,
∵kMA==-,kMB==,
结合题意可知-a>-,且-a<,
∴a∈(-,).
3.(2019·武汉模拟)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是__5___.
[解析] 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,
∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|时等号成立).
4.在平面直角坐标系中,设点P(x,y),定义[OP]=|x|+|y|,其中O为坐标原点,则满足[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为__2___.
[解析] 本题考查直线和方程的应用及数形结合思想.当[OP]=1时,根据新定义得|x|+|y|=1,满足条件的图形如图所示.由图,可知四边形ABCD为边长是的正方形,其面积为2.
5.(2019·福建期末)已知直线l:y=(1-m)x+m(m∈R).
(1)若直线l的倾斜角α∈[,],求实数m的取值范围;
(2)若直线l分别与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
[解析] (1)由已知直线l斜率k=1-m,
∵倾斜角α∈[,],
由k=tanα可得1≤k≤,
∴1≤1-m≤,解得1-≤m≤0.
(2)在直线l:y=(1-m)x+m中,
令x=0可得y=m,
∴点B(0,m),令y=0可得x=,
∴点A(,0),由题设可知m>1,
∴△AOB面积S=|OA|·|OB|=·m·=
=[(m-1)++2]≥
[2+2]=2,
当且仅当m-1=,
即m=2时S取得最小值2,
此时直线l的方程为:x+y-2=0.