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- 2021-06-11 发布
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2019-2020学年度高三年级第一次质量检测
数学文科Ⅰ卷
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,则_____.
答案:
2.已知复数满足,且的虚部小于0,则_____.
答案:
3.若一组数据的平均数为7,则该组数据的方差是_____.
答案:
4.执行如图所示的伪代码,则输出的结果为_____.
答案:20
5.函数的定义域为_____.
答案:
6.某学校高三年级有两个自习教室,甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习,则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.
答案:
7.若关于的不等式的解集是,则实数的值为______.
答案:4
8.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为______.
9.已知等差数列的前项和为,,,则的值为_____.
答案:135
10.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是,则的面积为_____.
答案:
11.在平面直角坐标系中,已知圆,圆与圆外切与点
,且过点,则圆的标准方程为______.
答案:
12.已知函数是定义在上的奇函数,其图象关于直线对称,当时,(其中是自然对数的底数),若,则实数的值为_____.
答案:3
13.如图,在中,是上的两个三等分点,,则的最小值为____.
答案:
14.设函数,,其中.若恒成立,则当取得最小值时,的值为______.
答案:
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,,分别为棱的中点,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
解:(1)在中,因为M,N分别为棱PB,PC的中点,
所以MN// BC. ………………………………3分
又MN平面AMN,BC平面AMN,
所以BC//平面AMN.…………………………6分
(2) 在中,因为,M为棱PB的中点,
所以.………………………………8分
又因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB平面PBC,平面PAB,
所以平面PBC.…………………………………………………………12分
又平面AMN,所以平面AMN⊥平面PBC. …………………………14分
16. (本小题满分14分)
在中,角的对边分别为,且.
(1)若,,求的值;
(2)若,求的值.
解:(1)在中,由余弦定理得,
,即, …………………………4分
解得或(舍),所以. ………………………………………6分
(2)由及得,,…8分
所以,
又因为,所以,
从而,………………………………………………12分
所以.………………………………………14分
17. (本小题满分14分)
如图,在圆锥中,底面半径为3,母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥,截面圆的圆心为,半径为,现要以截面为底面,圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥,记圆锥的体积为.
(1)将表示成的函数;
(2)求得最大值.
解:(1)在中,, …………………………2分
由∽可知,,所以,……………………4分
所以,所以.…7分
(2)由(1)得,
所以,令,得,………………………9分
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
所以当时,取得最大值.
答:小圆锥的体积的最大值为.………………………………………14分
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点为,过点作直线与圆相切,与椭圆交于另一点,与右准线交于点.设直线的斜率为.
(1)用表示椭圆的离心率;
(2)若,求椭圆的离心率.
(1)直线l的方程为,即,
因为直线l与圆相切,所以,故.
所以椭圆的离心率.………………………………4分
(2)设椭圆的焦距为,则右准线方程为,
由得,所以,…6分
由得,
解得,则,
所以,……………………………………………10分
因为,所以,
即,………………………………………………12分
由(1)知,,所以,
所以,即,所以,故椭圆的离心率为.……16分
19. (本小题满分16分)
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;
(2)若的导函数存在两个不相等的零点,求实数的取值范围;
(3)当时,是否存在整数,使得关于的不等式恒成立?若存在,
求出的最大值;若不存在,说明理由.
解:(1),
因为曲线在点处的切线方程为,
所以,得.……………………………………………2分
(2)因为存在两个不相等的零点.
所以存在两个不相等的零点,则.
①当时,,所以单调递增,至多有一个零点.……4分
②当时,因为当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以时,. …………………………6分
因为存在两个零点,所以,解得.………7分
因为,所以.
因为,所以在上存在一个零点. …………8分
因为,所以.
因为,设,则,
因为,所以单调递减,
所以,所以,
所以在上存在一个零点.
综上可知,实数的取值范围为.…………………………………10分
(3)当时,,,
设,则.所以单调递增,
且,,所以存在使得,……12分
因为当时,,即,所以单调递减;
当时,,即,所以单调递增,
所以时,取得极小值,也是最小值,
此时,……………14分
因为,所以,
因为,且为整数,所以,即的最大值为.………16分
20. (本小题满分16分)
已知数列的首项,对任意的,都有,数列是公比不为1的等比数列.
(1)求实数的值;
(2)设,数列的前项和为,求所有正整数的值,使得恰好为数列中的项.
解:(1)由,可知,,,
因为为等比数列,所以,
即,即,解得或,…2分
当时,,所以,则,
所以数列的公比为1,不符合题意;
当时,,所以数列的公比,
所以实数的值为. …………………………………………………………4分
(2)由(1)知,所以
则
,……………………………………………………6分
则,
因为,又,
且,,所以,则,
设,…………………………………………………………8分
则或为偶数,因为不可能,所以或为偶数,
①当时,,化简得,
即,所以可取值为1,2,3,
验证得,当时,成立.…………………12分
②当为偶数时,,
设,则,
由①知,当时,;
当时,,所以,所以的最小值为,
所以,令,则,
即,无整数解.
综上,正整数m的值.………………………………………………………16分