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  • 2021-06-11 发布

2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测(期末)数学(文)试题

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‎2019-2020学年度高三年级第一次质量检测 数学文科Ⅰ卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合,,则_____.‎ 答案: ‎ ‎2.已知复数满足,且的虚部小于0,则_____.‎ 答案:‎ ‎3.若一组数据的平均数为7,则该组数据的方差是_____.‎ 答案:‎ ‎4.执行如图所示的伪代码,则输出的结果为_____.‎ 答案:20 ‎ ‎5.函数的定义域为_____.‎ 答案:‎ ‎6.某学校高三年级有两个自习教室,甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习,则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.‎ 答案:‎ ‎7.若关于的不等式的解集是,则实数的值为______.‎ 答案:4‎ ‎8.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为______.‎ ‎9.已知等差数列的前项和为,,,则的值为_____.‎ 答案:135‎ ‎10.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是,则的面积为_____.‎ 答案:‎ ‎11.在平面直角坐标系中,已知圆,圆与圆外切与点 ‎,且过点,则圆的标准方程为______.‎ 答案:‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数,其图象关于直线对称,当时,(其中是自然对数的底数),若,则实数的值为_____.‎ 答案:3‎ ‎13.如图,在中,是上的两个三等分点,,则的最小值为____.‎ 答案:‎ ‎14.设函数,,其中.若恒成立,则当取得最小值时,的值为______.‎ 答案:‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15. (本小题满分14分)‎ 如图,在三棱锥中,,分别为棱的中点,平面平面.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎ ‎ 解:(1)在中,因为M,N分别为棱PB,PC的中点,‎ ‎ 所以MN// BC. ………………………………3分 ‎ 又MN平面AMN,BC平面AMN,‎ ‎ 所以BC//平面AMN.…………………………6分 (2) 在中,因为,M为棱PB的中点,‎ 所以.………………………………8分 ‎ 又因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB平面PBC,平面PAB,‎ ‎ 所以平面PBC.…………………………………………………………12分 ‎ 又平面AMN,所以平面AMN⊥平面PBC. …………………………14分 ‎16. (本小题满分14分)‎ 在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(1)若,,求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ 解:(1)在中,由余弦定理得,‎ ‎,即, …………………………4分 解得或(舍),所以. ………………………………………6分 ‎(2)由及得,,…8分 所以,‎ 又因为,所以,‎ 从而,………………………………………………12分 所以.………………………………………14分 ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图,在圆锥中,底面半径为3,母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥,截面圆的圆心为,半径为,现要以截面为底面,圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥,记圆锥的体积为.‎ ‎(1)将表示成的函数;‎ ‎(2)求得最大值.‎ 解:(1)在中,, …………………………2分 由∽可知,,所以,……………………4分 所以,所以.…7分 ‎(2)由(1)得,‎ 所以,令,得,………………………9分 当时,,所以在上单调递增;‎ 当时,,所以在上单调递减.‎ 所以当时,取得最大值.‎ 答:小圆锥的体积的最大值为.………………………………………14分 ‎18. (本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点为,过点作直线与圆相切,与椭圆交于另一点,与右准线交于点.设直线的斜率为.‎ ‎(1)用表示椭圆的离心率;‎ ‎(2)若,求椭圆的离心率.‎ ‎(1)直线l的方程为,即,‎ 因为直线l与圆相切,所以,故.‎ 所以椭圆的离心率.………………………………4分 ‎(2)设椭圆的焦距为,则右准线方程为,‎ 由得,所以,…6分 由得,‎ 解得,则,‎ 所以,……………………………………………10分 因为,所以,‎ 即,………………………………………………12分 由(1)知,,所以,‎ 所以,即,所以,故椭圆的离心率为.……16分 ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;‎ ‎(2)若的导函数存在两个不相等的零点,求实数的取值范围;‎ ‎(3)当时,是否存在整数,使得关于的不等式恒成立?若存在,‎ 求出的最大值;若不存在,说明理由.‎ 解:(1),‎ 因为曲线在点处的切线方程为,‎ 所以,得.……………………………………………2分 ‎(2)因为存在两个不相等的零点.‎ ‎ 所以存在两个不相等的零点,则.‎ ‎ ①当时,,所以单调递增,至多有一个零点.……4分 ‎ ②当时,因为当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减,‎ 所以时,. …………………………6分 ‎ 因为存在两个零点,所以,解得.………7分 因为,所以.‎ 因为,所以在上存在一个零点. …………8分 因为,所以.‎ 因为,设,则,‎ 因为,所以单调递减,‎ 所以,所以,‎ 所以在上存在一个零点.‎ 综上可知,实数的取值范围为.…………………………………10分 ‎(3)当时,,,‎ 设,则.所以单调递增,‎ 且,,所以存在使得,……12分 因为当时,,即,所以单调递减;‎ 当时,,即,所以单调递增,‎ 所以时,取得极小值,也是最小值,‎ 此时,……………14分 因为,所以,‎ 因为,且为整数,所以,即的最大值为.………16分 ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知数列的首项,对任意的,都有,数列是公比不为1的等比数列.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)设,数列的前项和为,求所有正整数的值,使得恰好为数列中的项.‎ 解:(1)由,可知,,,‎ 因为为等比数列,所以,‎ 即,即,解得或,…2分 当时,,所以,则,‎ 所以数列的公比为1,不符合题意;‎ 当时,,所以数列的公比,‎ 所以实数的值为. …………………………………………………………4分 ‎(2)由(1)知,所以 则 ‎,……………………………………………………6分 则,‎ 因为,又,‎ 且,,所以,则,‎ 设,…………………………………………………………8分 则或为偶数,因为不可能,所以或为偶数,‎ ‎①当时,,化简得,‎ 即,所以可取值为1,2,3,‎ 验证得,当时,成立.…………………12分 ‎②当为偶数时,,‎ 设,则,‎ 由①知,当时,;‎ 当时,,所以,所以的最小值为,‎ 所以,令,则,‎ 即,无整数解.‎ 综上,正整数m的值.………………………………………………………16分