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泉州市普通高中 2019-2020 学年度上学期教学质量跟踪监测 数学(新教材必修第 1 册)试题
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泉州市普通高中 2019 级高一上学期教学质量跟踪监测
数学(新教材必修第 1 册部分)
2020.01
一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.已知集合 { | 2 2}M x x , { | 1}N x x ,则 M N
A.{ | 2 1}x x B. { |1 2}x x C. { | 2}x x D. { | 2}x x
答案:A
2.函数 2( ) ( 0xf x a a 且 1)a 的图象恒过定点,则该定点是
A. (2,0) B. (2,1) C. (3,0) D. (3,1)
答案:B
3.命题“ 0
π(0, )4x , 0 0sin cosx x ”的否定是
A. π(0, )4x , sin cosx x B. π(0, )4x ,sin cosx x
C. 0
π(0, )4x , 0 0sin cosx x D. π(0, )4x , sin cosx x
答案:D
4. “四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析: “四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”,所以 “四边形的对角线互相垂直”不是
充分条件;反之,“四边形是菱形”推出“四边形的对角线互相垂直”,所以“四边形的对角线互相垂直”是必
要条件。
5.以下命题正确的是
A.若 bcac ,则 ba B.若 0)( 2 cba ,则 ba
C.若 1 1
a b
,则 a b D.若 ba ,则 ba
答案:B
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解析:选项 A 中,若 0c ,则 ba ,所以 A 错误;
选项 C 中,取 1a , 2b 满足 1 1
a b
,但是 ba ,所以 C 错误;
选项 D 中,取 2a , 1b 满足 ba ,但是 ba ,所以 D 错误;
选项 B 中,由易 0)( 2 cba 得 02 c ,所以 ba ,所以 B 正确;
6. 四个变量 1y , 2y , 3y , 4y 随变量 x 变化的数据如下表:
x 1 2 4 6 8 10 12
1y 16 29 55 81 107 133 159
2y 9 15 87 735 6567 59055 531447
3y 1 8 64 216 512 1000 1728
4y 2.000 3.710 5.419 6.419 7.129 7.679 8.129
其中关于 x 呈指数增长的变量是
A. 1y B. 2y C. 3y D. 4y
答案:B
解析:从题中表格可以看出,四个变量 1y 2y 3y 4y 都是越来越大,
但是增长速度不同,其中变量 2y 增长速度最快,画出散点图:
可知变量 2y 呈指数增长,选择 B 答案
7. 函数 ( ) tanf x x x π π( )2 2x 的图象大致为
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A B C D
答案:A
解析:由于函数的定义域关于原点对称,且 ( ) ( ) tan( ) tan ( )f x x x x x f x ,
所以函数 ( )f x 的奇函数,排除 B,C 选项;
又因为 π π π π( ) tan 1 04 4 4 4f ,故排除 D 选项.
(另法:当 π0 2x 时, tanx x , ( ) tan 0f x x x ,可以排除 B,D 选项. )
8. 若代数式 24sin 1 有意义,则锐角 的取值范围是
A. π(0, ]6
B. π(0, ]3
C. π π[ , )6 2
D. π π[ , )3 2
答案:C
解析:由题意可得 24sin 1 0 ,结合 π0 2
,即 0 sin 1 ,
解得 1 sin 12
,所以 的取值范围为 π π[ , )6 2
,故选 C .
9. 已知函数 2( ) ln( 1)f x x ax 在[2,3]上单调递减,则 a 的取值范围为
A. ( ,4] B. [6, ) C. 10( ,4]3 D. 10[ ,4]3
答案:C
解析: 2( ) ln( 1)f x x ax 在[2,3]上单调递减,
则应满足 2 1y x ax 在[2,3]上要恒大于零且单调递减,
所以
2
22
3 3 1 0
a
a
,
, 解得:10 43 a .
10. 设 2log 6a , 3log 15b , 0.2515c ,则
A. b a c B. a c b C. c b a D. c a b
答案:C
解析:注意到 0.25 0.2515 16 2c ;
因为 2.52 4 2 4 1.5 6 ,所以 2.5
2 2log 6 log 2 2.5a ;
因为 2.53 9 3 9 1.7 15.3 15 ,且 23 15 ,所以 2 2.5
3 32 log 3 log 3 2.5b .
综上, c b a .
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二、多项选择题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分。在每小题给出的四个选项中,至少有 2 个选
项符合题目要求。作出的选择中,不选或含有错误选项的得 0 分,只选出部分正确选项的得 2 分,正
确选项全部选出的得 5 分。
11. 已知 1( , )A x m 和 2( , )B x m 为函数 ( ) 2sin 3
xf x 的图象上两点,若 2 1| | π, 1,2,3,4,5x x k k ,则
m 的值可能为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案:ABD
解析:由已知可得 ( )f x 的周期为 6π ,
当 3k 时,如下图所示,此时 0m
当 2k 或 4k 时,如下图所示,结合对称性,此时 1m
当 1k 或 5k 时,如下图所示,结合对称性,此时 3m
综上,本题答案为 ABD
12. 已知函数 )(xf 是定义在 ,00, 上的偶函数,
当 0x 时,
2,22
1
20,12
)(
|1|
xxf
x
xf
x
.以下说法正确的是
A.当 2 4x 时, 3 1 1( ) 2 2
xf x B. 1(2 1) 2
n
f n n N
C.存在 0 ,0 0,x ,使得 0( ) 2f x D.函数 ( ) 4 ( ) 1g x f x 的零点个数为10
答案:AD
解析:当 2 4x 时, 0 2 2x ,所以 3( 2) 2 1xf x ,
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所以 3 11 1( ) 2 22 2
xf x f x ,故 A 选项正确;
当 0n 时,
01(1) 12f
与 |1 1|(1) 2 1 0f 矛盾,故 B 选项错误;
由 f x 为偶函数,可作出正半轴的图像如下:
观察图像, f x 的值域为 0,1 ,故 C 选项错误;
由 g x 的零点个数即为 1
4f x 根的个数,即 f x 与 1
4y 的交点个数,
观察图像,在 0x 时,有 5 个交点,
根据对称性可得 0x 时,也有 5 个交点.共计 10 个交点,故 D 选项正确.
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,其中第一问 2 分,第 2 问 3 分,共 20 分。将答案填在答题
卡的相应位置。
13. 在平面直角坐标系中,角 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,角 的终边经过点 3 4( , )5 5P ,
则 sin , tan .
答案: 4sin 5
, 4tan 3
14.已知 2 3a , 3log 2b ,则 a , ab .
答案: 2log 3 1
解析: 2log 3a 2 3log 3 log 2 1ab .
15. 已知 0, 0, 2 4a b a b> > + = ,则 1a a
+ 的最小值为 , 1 1
a b
+ 的最小值为________.
答案: 2 3 2 2
4
解析:第(1)问: 1 12 2a aa a
+ = ,当且仅当 1a a
= 即 1a = 时“=”成立;
第(2)问: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 (3 2 2)( )( 2 ) (1 2 ) (3 2 )4 4 4 4
b a b aa ba b a b a b a b
++ = + + = + + + ³ + × =
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当且仅当 2b a
a b
= 即 4 2 4
4 2 2
a
b
时“=”成立.
16. 已知函数 2
2
4 4 sin 1( ) 2 2
x x xf x x x
,且 ( 2) ( ) 0f x f x a ,则 a 的取值范围为_______,
( )f x 的最大值与最小值和为________.
答案: ,2 2
解析:第(1)问:由
2
2
1 1 sin 1( )
1 1
x xf x
x
,
( 2) ( )f x f x
2 2
2 2
2 1 1 sin 2 1 1 1 sin 1
2 1 1 1 1
x x x x
x x
2
2
2 4 4 sin 1 sin 1 22 2
x x x x
x x
,
所以 2 0a ,则 a 的取值范围 ,2 .
第(2)问:法一:由 ( 2) ( ) 2f x f x ,知 ( )f x 关于点 1,1 成中心对称图形,
所以 max min( ) ( ) 2f x f x .
法二:由 2
2 2
4 4 sin 1 2 2 sin 1( ) 12 2 2 2
x x x x xf x x x x x
,
记
2
2 2 sin 1( ) 2 2
x xg x x x
,则 2
sin( 1) 1
x xg x x
在 R 上为奇函数,
所以 max min max min( ) ( ) ( 1) ( 1) 0g x g x g x g x ,
所以 max min max min( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2f x f x g x g x .
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四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应 出文字说明,证明过程或演算步
17. (本小题满分 10 分)
(1)化简与求值: 2 0lg5 lg2 (e 3) ln(π 2) ;
(2) 已知 3tan 4
,求 sin( 3π ) cos 2π+
πsin( ) sin( )2
的值.
解析(1) 2 0lg5 lg2 (e 3) ln(π 2)
原式 lg10 | e 3| 0 ···········································································3 分
1 3 e
4 e ························································································· 4 分
(2)解法一:原式 sin cos
sin cos
········································································· 8 分
tan 1
tan 1
············································································· 9 分
因为 3tan 4
,所以,原式
3 14
3 14
1
7
·········································· 10 分
解法二:原式 sin cos
sin cos
···········································································8 分
因为 3tan 4
,所以 3sin cos4
··················································9 分
所以,原式
3 cos cos4
3 cos cos4
1
7
······················································· 10 分
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18. (本小题满分 12 分)
已知函数 )(xf 是二次函数, 0)1( f , ( 3) (1) 4f f .
(1)求 )(xf 的解析式;
(2)函数 ( ) ( ) ln 1h x f x x 在 R 上连续不断,试探究,是否存在 n nZ ,函数 ( )h x 在区
间 , 1n n 内存在零点,若存在,求出一个符合题意的 n ,若不存在,请说明由.
解析:(1)由 ( 3) (1)f f ,知此二次函数图象的对称轴为 1x ,······························ 1 分
又因为 ( 1) 0f ,所以 ( 1,0) 是 ( )f x 的顶点,········································· 2 分
所以设 2( ) ( 1)f x a x ··········································································· 3 分
因为 (1) 4f ,即 2(1 1) 4a ··································································· 4 分
所以设 1a ·························································································· 5 分
所以 2( ) ( 1)f x x ················································································6 分
(2)由(1)知 2( ) ( 1) ln 1h x x x + ···························································· 7 分
因为 2( 1) ( 1 1) ln 1 1 ln(2) 0h + ·············································8 分
2(0) (0 1) ln 0 1 1 0h + ······························································· 9 分
即 (0) (1) 0h h (可跳步)···································································· 10 分
因为函数 ( ) ( ) ln 1h x f x x 在 R 上连续不断,····································11 分
由零点存在性定理,所以函数 ( )h x 在(-1,0)上存在零点····························· 12 分
(或 2( 3) ( 3 1) ln 3 1 4 ln(4) 0h + ·········································8 分
2( 2) ( 2 1) ln 2 1 1 ln3 0h + ··············································· 9 分
( 3) ( 2) 0h h (可跳步)································································ 10 分
因为函数 ( ) ( ) ln 1h x f x x 在 R 上连续不断,·································11 分
由零点存在性定理,所以函数 ( )h x 在(-3,-2)上存在零点························ 12 分
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19. (本小题满分 12 分)
已知函数 ( ) sin 3 sinf x x x .
(1)用分段函数形式 出 ( )f x 在 [0,2π]x 的解析式,并画出其图象;
(2)直接 出 ( )f x xR 的最小正周期及其单调递增区间.
解析:(1)当 [0, π]x 时, sin 0,| sin | sinx x x , ( ) 4sinf x x ·······································
当 (π,2π]x 时,sin 0,| sin | sinx x x , ( ) 2sinf x x ································ 2 分
所以 4sin , [0, π]( ) 2sin , (π,2π]
x xf x x x
····································································3 分
其图象如上图所示. ···························································································6 分
(2)由 ( 2π) sin( 2π)+3|sin( 2π) | sin 3| sin | ( )f x x x x x f x ,
可知 2π 为函数 ( )f x 的一个周期··············································································· 7 分
结合图象可得 2π 为函数 ( )f x 的最小正周期································································8 分
(直接 出答案也可以给满分)
由图可得, [0,2π]x 时,函数 ( )f x 的递增区间为 π 3π[0, ],[π, ]2 2 ···································9 分
又 ( )f x 的最小正周期为 2π ,故函数 ( )f x 的递增区间为 π[ π, π]( )2k k k Z ···················12 分
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20. (本小题满分 12 分)
已知函数 2( ) ( , )1
ax bf x a bx
R 为在 R 上的奇函数,且 (1) 1f .
(1)用定义证明 ( )f x 在 1 ( , )的单调性;
(2)解不等式 (2 3) (4 1)x xf f .
解析:(1)因为函数 2( ) ( , )1
ax bf x a bx
R 为在 R 上的奇函数,所以 (0) 0f ···················· 1 分
则有
0 00 1
11 1
b
a b
····························································································2 分
解得 2
0
a
b
,即 2
2( ) 1
xf x x
········································································3 分
1 2, (1, )x x ,且 1 2x x ·········································································· 4 分
2
2 2
2 2
1 2 11 2
1 2 2 2 2 2
1 1
2 ( 1) 2 ( 1)2 2( ) ( ) 1 1 ( 1)( 1)
x x x xx xf x f x x x x x
·································· 5 分
2
1 2 2 1
2 2
1
2( 1)( )
( 1)( 1)
x x x x
x x
········································· 6 分
因为 1 2, (1, )x x ,且 1 2x x ,
所以 2
2 2
1( 1)( 1) 0x x , 1 2 1 0x x , 2 1 0x x
所以 1 2( ) ( ) 0f x f x 即 1 2( ) ( )f x f x ························································· 7 分
所以 ( )f x 在 1 ( , )上单调递减······································································ 8 分
(2)因为 2 3 1x , 4 1 1x ,由(1)可得 2 3 4 1x x ··········································· 9 分
不等式可化为 2 2 2 2 0x x x ,即 (2 1)(2 2) 0x x ··································· 10 分
解得 2 2x ,即 1x ···················································································11 分
所以不等式的解集为{ | 1}x x ······································································ 12 分
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21. (本小题满分 12 分)
泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的 20%.现
拥有中国驰名商标 17 件及“全国食品工业强县”2 个(晋江、惠安)等荣誉称号,涌现出达利、盼盼、
友臣、金冠、雅客、安记、回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该
厂每天需要食品配料 200 千克,配料的价格为 1 元/千克,每次购买配料需支付运费 90 元.设该厂每
隔 x x N 天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6 天以内(含 6
天),均按 10 元/天支付;超出 6 天,除支付前 6 天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配
料按 3 5
200
x 元/千克一次性支付.
(1)当 8x 时,求该厂用于配料的保管费用 P 元;
(2)求该厂配料的总费用 y (元)关于 x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出
合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.
附: 80f x x x
在 0,4 5 单调递减,在 4 5, 单调递增.
解析:(1)第 6 天后剩余配料为 8 6 200 400 (千克),············································· 1 分
所以 3 8 560 400 78200P
;······························································ 3 分
(2)当 6x 时, 200 10 90 210 90y x x x ,··············································4 分
当 6x 时, 3 5200 90 60 200 6200
xy x x
23 167 240x x ,····5 分
所以 2
210 90,0 6
3 167 240, 6
x x
y
x x x
其中 Nx .··············································· 6 分
设平均每天支付的费用为 f x 元,
当 0 6x 时, 210 90 90210xf x x x
,·············································· 7 分
f x 在 0,6 单调递减,所以 min 6 225f x f ;···································· 8 分
当 6x 时,
23 167 240 803 167x xf x xx x
,······························· 9 分
可知 f x 在 0,4 5 单调递减,在 4 5, 单调递增,······························· 10 分
又8 4 5 9 , 8 221f , 29 220 3f ,所以 min
29 220 3f x f ·····11 分
综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少 ······················ 12 分
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22. (本小题满分 12 分)
题略。
解析:(1)① )(xf 的对称轴为
2
bx ,········································································1 分
由 2|| b ,所以 2b 或 2b ,所以 12
b 或 12
b .
当 12
b ,即 2b 时, 1 1 2 4M m f f b ;································ 2 分
当 12
b ,即 2b 时, 1 1 2 4M m f f b ;······························· 3 分
综上所述, mM 的取值范围为[4, ) .(回答 4M m 不扣分)·················· 4 分
②由①且 9
4M m 可知,| | 2b ,即 1 12
b ,········································· 5 分
此时,
2 91 1 ,2 2 4
0,2
b bM m f f
b
············································ 6 分
或
2 91 1 ,2 2 4
0,2
b bM m f f
b
············································ 7 分
因此, 1 1b . ··················································································· 8 分
(2)由于
2 2 2
2 cos cos cos 3cos 1 1 12 4 4 4b c c c
,·············· 9 分
所以 ( )f x 的对称轴 02
bx ,
所以 ( )f x 在 1,2 为增函数.···································································· 10 分
又 (1) 1f b c , (2) 4 2f b c ,
所以 11 ,4 2 2 ,84b c b c b c
··············································· 11 分
因此, 12 14b c b c ,即 3
4b ,所以 3
4b .
此时, cos 1 , 1
2c ,
故 2 3 1( ) 4 2f x x x ,所以 (2) 6f . ·················································12 分