安徽省庐巢六校2019-2020学年高一下学期6月联考数学试题 Word版含解析 15页

- 1 - 2019-2020 学年度第二学期庐巢六校联盟第一次月考 高一数学试卷 第 I 卷（选择题） 一、单选题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1. 已知 =(5，-3)，C(-1，3)， =2 ，则点 D 坐标是 ( ) A. (11，9) B. (4，0) C. (9，3) D. (9，-3) 【答案】D 【解析】 试题分析：设点 D 的坐标为（x,y）,则 ，∵ =2 ，∴ ，∴ ， 即点 D 坐标为（9，-3），故选 D 考点：本题考查了向量的坐标运算 点评：熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 2. 设 的内角 ， ， 的对边分别为 , ， ，若 ， ， ，则 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 由余弦定理可得： ，即： ， 整理可得： ，结合 可得： . 本题选择 A 选项. 3. 已知{an}是等差数列，且 a2+ a5+ a8+ a11=48，则 a6+ a7= ( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 由等差数列的性质可得 ，则 ，故选 D. 4. 已知四边形 是平行四边形，点 为边 的中点，则 A. B. C. D. - 2 - 【答案】A 【解析】 【分析】 由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】 如图，过 E 作 由向量加法的平行四边 形法则可知 故选 A. 【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题. 5. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金 以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到 者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低 的九等人所得黄金（ ） A. 多 斤 B. 少 斤 C. 多 斤 D. 少 斤 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知各等人所得金数组成等差数列,根据等差数列的性质即可计算出问题答案. 【详解】设十等人得金从高到低依次 a1,a2,……,a10,则{an}为等差数列, 设公差为 d,则由题意可知 ； ∴a2 ,a9=1, ∴d ； ∴a1﹣a9=﹣8d . 即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 斤. 故选：A. - 3 - 【点睛】本题考查了等差数列的性质,等差数列的应用,属于中档题. 6. 设向量 满足 ， ，则 = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【 详 解 】 因 为 ， ，两式相加得： ，所以 ，故选 A. 考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与 基本题型是解答好本类题目的关键． 7. 在锐角 中，已知角 的对边分别为 ， ， ，且最短边 ，则 ( ) A. B. 4 C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 由已知根据正弦定理得 ， 由余弦定理得 . 于是，结合 ，即得 . 由余弦定理得 ，又 ， ， ， 所以 ，即 ，解得 或 . 因为最短边 ，所以 .故选 B． 8. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 若 ， 则 的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角 - 4 - 三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用余弦定理的应用求出 A 的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形 的形状． 【详解】在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 且 b2+c2＝a2+bc． 则： ， 由于：0＜A＜π， 故：A ． 由于：sinBsinC＝sin2A， 利用正弦定理得：bc＝a2， 所以：b2+c2﹣2bc＝0， 故：b＝c， 所以：△ABC 为等边三角形． 故选 C． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算 能力和转化能力，属于基础题型． 9. 已知 的面积 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用余弦定理和三角形的面积公式求出 的值，再根据正弦定理 和 的值． 【详解】解： 中， ， 面积为 ， ， - 5 - 又 ， ； 又 ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查计算能 力，属于基础题． 10. 设 是等比数列 的前 n 项和，若 ，则首项 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 将已知两式相减，可得出 ，则该等比数列的公比为 ，再将用 和 来表示 ，即可解得 的值. 【详解】由 得 ，即 ， 则该等比数列的公比为 ， ，即 ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的 关键.属于基础题. 11. 已知数列 的前 项和 满足： ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 - 6 - 【分析】 首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用已知条件求出数列的首 项，最后利用通项公式求出结果． 【详解】解：数列 的前 项和 满足： ，①当 时， ， 当 时， ②， 由①②得： ，∴ ， 由于 ，则 ，解得 ． ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，考查学生的运算能力和转化能力，属 于中档题． 12. 已知数列 与 前 项和分别为 ， ，且 , ，对任意的 恒成 立，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 可得 ，两式相减整理后可知 ，则 首项为 1， 公差为 1 的等差数列，从而可得 ，进而可以确定 ，则可求出 ，进而可求出 的最小值. 【详解】解：因为 ，所以当 时， ，两式相 减得 ，整理得， ，由 知， ，从而 ，即当 时， ， 当 时， ，解得 或 （舍），则 首项为 1，公差为 1 的等差数列， 则 .所以 ， - 7 - 则 ， 所以 .则 的最小值是 . 故选:A 【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消 法求数列的和.一般如果已知了 的关系式，一般地代入 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知 ， ， ，且 ，则 __________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】 ， ， ， . 故答案为:3 【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题. 14. 已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的前 9 项 之和为__________. 【答案】34 【解析】 【分析】 对 分奇偶进行讨论，得出数列 是常数列，数列 是公 差为 的等差数列，然后用分组求和法，即可求解. 【详解】 ， 当 为奇数时， ， 则数列 是常数列， ； - 8 - 当 为偶数时， ， 则数列 是以 为首项， 的等差数列， . 故答案为：34. 【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式. 考查了分类讨论的思想，属于中档题. 15. 年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与 旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°，且第一排和最后一排的距离为 10 米，则旗杆的高度为______米. 【答案】 【解析】 【详解】 设旗杆的高度为 米，如图，可知 ， ，所以 ， 根据正弦定理可知 ，即 ， 所以 ， 所以 米. - 9 - 点睛：1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求 解——检验作答． 2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值． 3．解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦 定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这 些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三 角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 16. 等差数列 前 项和为 ，已知 则 中第_________项最大. 【答案】6 【解析】 【分析】 根据已知条件，判断首项和公差的正负，利用等差数列前 项和的性质，即可容易求得. 【详解】因为 ， 故可得 ， 故 , 由等差数列的性质可知： ， 故当 时， 取得最大值. 故答案为： . 【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，前 项和的函数性质，属综合中档题. 三、解答题（共 6 题，17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分） 17. 已知向量 满足 ， ，且 . （1）求向量 的坐标； （2）求向量 与 的夹角. 【答案】（1）（1,2）或（-2,1）；（2） 【解析】 - 10 - 【分析】 （1）设 ，根据其模长以及向量垂直的坐标运算，即可容易求得； （2）由（1）中所求，利用向量的坐标和数量积运算，即可求得. 【详解】（1）设 因为 ，则 ① .- 又∵ ，且 ， ∴ ，即 的 ， 得： ② 由①②得： 或 ∴ 或 （2）设向量 与 的夹角为 ， 当 或 时， 或 故 ∴向量 与 的夹角 . 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及向量夹角的坐标求解，向量垂直的坐标运算，属综 合基础题. 18. 在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， （1）求 的大小；（2）若 ， ，求 ， 的值. 【答案】（1） （2） ， 或 ， . 【解析】 分析：（1）利用正弦定理把 化成 ， 即为 ，从而解得 . （2）利用余弦定理及 构建关于 的方程，解出 . 详解：（1）由已知得 ，∴ . ∵ ，∴ . - 11 - ∵ ，所以 ，∴ ，所以 （2）∵ ，即 ，∴ ∴ ，又∵ ，∴ ， 或 ， 点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三 个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理； （2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 19. 在锐角 中， 分别为 所对的边，已知 . （1）求 的值； （2） 为 中点， ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理即可求得结果； （2）利用 ，平方后可构造方程求得 ，由同角三角函数关系求得 ，代入三 角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得： ， 即 ， ， ， . （2） 为 中点， ， 两边平方得： ， ，解得： ， 由（1）知： ，又 ， ， . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、三角形面积公式的应用等 知识，属于常考题型. - 12 - 20. 已知数列 为等比数列， ， ， ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 n 项和 . 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设 的公比为 ，利用等比数列的通项公式求出 ，从而求出 ，进而可求解. （Ⅱ）利用分组求和以及等差数列与等比数列的前 项和公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）设 的公比为 ，由 ， ， 得 ，解得 所以 ， （Ⅱ） 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、分组求和法、等差数列的前 项和公式、等比数列 的前 项和公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题. 21. 已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上， (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 ⑴由点在直线上代入得到 的关系，然后求出通项公式 ⑵由（1）得 ，运用错位相减法求出前 项和 【详解】(1) 点 在直线 上， ， . 当 时， 则 ， 当 时， , - 13 - 两式相减，得 , 所以 . 所以 是以首项为 ，公比为 等比数列，所以 . (2) , , , 两式相减得: , 所以 . 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用，解题的关键是理解 各个概念以及掌握求和的基本步骤． 22. 设数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】 （1）利用递推公式,作差后即可求得 的通项公式. （2）将 的通项公式代入,可得数列 的表达式.利用裂项法即可求得前 项和. 【详解】（1）数列 满足 时, ∴ ∴ 当 时, ,上式也成立 ∴ （2） ∴数列 的前 n 项和 - 14 - 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. - 15 -