【数学】2020届一轮复习人教B版（理）35直线与圆锥曲线的综合作业 10页

天天练 35　直线与圆锥曲线的综合 小题狂练 小题是基础　练小题　提分快 一、选择题 ‎1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)‎ A．相交　　B．相切 C．相离 D．不确定 答案：A 解析：通解　将直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1联立，整理得(4＋9k2)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0，则Δ＝[18k(1－k)]2－4(4＋9k2)[9(1－k)2－36]＝144(8k2＋2k＋3)>0，所以直线与椭圆相交．‎ 优解　因为直线y＝kx－k＋1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．‎ ‎2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(　　)‎ A．± B．±或± C．± D．± 答案：B 解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得，(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，解得k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.‎ ‎3．[2019·兰州模拟]已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(－∞，3]‎ C．(3，＋∞) D．(－∞，3)‎ 答案：A 解析：直线y＝kx－k－1恒过定点(1，－1)．因为直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则曲线C表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m，所以m≥‎ ‎3，选A.‎ ‎4．[2019·宁波九校联考]过双曲线x2－＝1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意可知，左顶点A(－1,0)．又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－，xC＝.由2＝，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×＝－，得b＝2，故e＝＝.‎ ‎5．[2019·浙江八校联考]抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　)‎ A．x3＝x1＋x2 B．x1x2＝x1x3＋x2x3‎ C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0‎ 答案：B 解析：由消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.‎ ‎6．[2019·长春检测]椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：A 解析：设以P为中点的弦所在直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2‎ ‎)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.‎ ‎7．[2019·福建福州适应性考试]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线y＝x2＋与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C．x2－＝1 D.－y2＝1‎ 答案：D 解析：由题意可得c＝，得a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程和抛物线方程y＝x2＋联立，可得x2±x＋＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝－4××＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为－y2＝1.故选D.‎ ‎8．[2019·唐山市联考]直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，代入双曲线的方程，得两式相减得－＝0，又所以＝，所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2，所以e＝，故选D.‎ 二、非选择题 ‎9．若直线y＝x＋b和曲线4x2－y2＝36有两个不同的交点，则b的取值范围是________．‎ 答案：∪ 解析：联立直线方程和曲线方程，消去y得，－x2－5bx－b2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b2－9(b2＋36)>0，解得b<－或b>.‎ ‎10．直线x－y－1＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过线段AB的中点作直线x＝－1的垂线，垂足为M，则·＝________.‎ 答案：0‎ 解析：设A(x1，x1－1)，B(x2，x2－1)，由得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，故AB的中点C(3,2)，M(－1,2)，又＝(x1＋1，x1－3)，＝(x2＋1，x2－3)，所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x1－3)·(x2－3)＝2x1x2－2(x1＋x2)＋10＝0.‎ ‎11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．‎ 答案： 解析：当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2>0，则x1＋x2＝　①，x1x2＝1　②，＋＝＋＝＝＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF|＝|BF|＝2，故＋＝1.设|AF|＝a，|BF|＝b，则＋＝1，所以|AF|＋4|BF|＝a＋4b＝(a＋4b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝2b时取等号，故a＋4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x1＋1＝2(x2＋1)　③，联立①②③得， x1＝2，x2＝，k＝±2，故直线AB的倾斜角的正弦值为.‎ ‎12．[2019·广东揭阳一中、汕头金山中学联考]已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.‎ 答案： 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，所以p＝8，所以m＝±4.由对称性不妨取M(1,4)，A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，由题意得－×2＝－1，故a＝.‎ 课时测评 综合提能力　课时练　赢高分 一、选择题 ‎1．已知抛物线y2＝16x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是(　　)‎ A．y＝8x＋15 B．y＝8x－15‎ C．y＝6x－11 D．y＝5x－9‎ 答案：B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，代入抛物线方程得y＝16x1，y＝16x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即＝，又y1＋y2＝2，所以kAB＝8，故直线l的方程为y＝8x－15.‎ ‎2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)‎ A．(－3,0) B．(0，－3)‎ C．(3,0) D．(0,3)‎ 答案：A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．‎ ‎3．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为(　　)‎ A．± B．±2‎ C．±1 D．± 答案：C 解析：设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝‎2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(‎2m)2＝5，∴m＝±1.‎ ‎4．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在椭圆C上，且直线PN的斜率为－，则直线PM的斜率为(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2‎ 答案：B 解析：由题意知M(－2,0)，N(2,0)，又直线PN的斜率为－，所以直线PN的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆C：＋＝1可得13x2－4x－44＝0.设P(x0，y0)，则x0＋2＝，解得x0＝－，y0＝，故直线PM的斜率k＝＝3，故选B.‎ ‎5．[2019·太原模拟]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．2p 答案：A 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则＋‎ eq lc( c)(avs4alco1(x2－f(p,2)，y2))＋＝(0,0)，故y1＋y2＋y3＝0.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0.‎ ‎6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案：B 解析：将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋‎6a2x＋‎9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(‎6a2)2－4(a2＋b2)(‎9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎7．[2019·天津红桥区月考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ 答案：C 解析：因为双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x.又抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝3，则＝‎ ，A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝±.又△AOB的面积为，x轴是∠AOB的平分线，所以×p×＝，解得p＝2.故选C.‎ ‎8．[2017·全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16　 B．14‎ C．12　　 D．10‎ 答案：A 解析：‎ 因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．‎ 由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，‎ 所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.‎ 同理可得|DE|＝4(1＋k2)．‎ 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋≥8＋4×2＝16，‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．‎ 故选A.‎ 二、非选择题 ‎9．[2018·北京卷]若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a ‎＝________.‎ 答案：4‎ 解析：由e＝＝知＝2＝，‎ ‎∴a2＝16.‎ ‎∵a＞0，∴a＝4.‎ ‎10．[2019·沈阳监测]已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是_________________．‎ 答案：2x－y－1＝0‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎11．[2019·河南周口联考]已知椭圆C1的方程为＋＝1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)如图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y＝kx(k>0)，求k的值．‎ 解析：(1)∵椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4，‎ ‎∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4.‎ 设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 则 解得a＝4，b＝2，∴椭圆C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由△PON的面积为△POM的面积的2倍，得 ‎|ON|＝2|OM|，‎ ‎∴|x2|＝2|x1|.‎ 联立 消去y得x＝± ，‎ ‎∴|x1|＝ .同理得|x2|＝ .‎ ‎∴ ＝2 ，‎ 解得k＝±3.‎ ‎∵k>0，∴k＝3.‎