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- 2021-06-11 发布
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2020届甘肃省武威第一中学高三12月月考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】∵,且，据此可得
本题选择C选项.
2．“”是“”的( ).
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】
或03x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】易知①正确；因为f(x)＝cos 2ax，所以，即a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x＋2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x＋2)min，x∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b<0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”，故④不正确．
6．已知函数满足：并且，那么的值为（ ）
A．2019 B．1010 C．4038 D．3030
【答案】B
【解析】根据，且，令，可得，求得，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，且，
令，可得，即，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解。
【详解】
由于函数的定义域为，且在上为连续函数，可排除A答案；
由于，， ，所以，可排除C答案；
当时，，故排除D答案；
故答案选B.
【点睛】
本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题
8．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】得到的偶函数解析式为，显然
【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.
9．函数的部分图象如图所示,则（ ）．
A．在上是减函数 B．在上是增函数
C．在上是减函数 D．在上是增函数
【答案】B
【解析】由图象可求出A,再根据图象过,代入解析式中求出,最后根据正弦型函数的单调性选出正确答案.
【详解】
由图象可知,函数的图象过点,所以有
,
所以.
当时, ,所以单调递增.
当时, ,函数不具有单调性.
故选：B
【点睛】
本题考查了利用正弦型函数的图象求函数解析式进而判断函数在区间上单调性,考查了正弦型函数的单调性.考查了数形结合能力.
10．已知定义在上 的函数与函数的图像有唯一公共点，则实数的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原题等价为有一解，即，令,确定其函数性质即可求解
【详解】
与函数的图像有唯一公共点，
故有唯一解，即有唯一解
令，所以g（x）关于x=2对称，故a=g(2)=2
故选：D
【点睛】
本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题
11．已知在等比数列中，，，若对任意都成立，则的最小值为( ).
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据等比数列的通项公式解出首项和公比，进而得出为等比数列，求出前n项和，得到其范围．
【详解】
∵a2＝1，
设数列的公比为q，则，
解得q＝，=，
∵．=，∴为以为首项，以为公比的等比数列，
∴．
∴．则的最小值为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，属于中档题．
12．函数是定义在R上的函数,且满足,当时,,则方程在的根的个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】先求出函数f（x）在（0，5]上的解析式，再在同一坐标系中作出函数f（x）与函数在（0，5]的函数图象，观察图象即可求解
【详解】
.
当时, ,
当时, ,
在同一坐标系中作出函数f（x）与函数在（0，5]的函数图象如下所示：
由图象可知，函数f（x）与函数在（0，5]上有4个交点，即方程在（0，5]的根的个数为4．
故选：B
【点睛】
本题考查了用数形结合思想判断方程根的数目问题,根据题目中的等式求出函数的解析式是解题的关键.
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】-5
【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【详解】
由x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立，解得A（﹣1，1）．
∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．对任意的实数都有,若的图象关于对称,且,则______．
【答案】2
【解析】由的图象关于对称,可以判断函数的对称性,也就能求出
周期性,这样就可以求出的值.
【详解】
因为的图象关于对称,所以的图象关于对称,也就是说是偶函数,令代入中得, ,因此有
,所以函数的周期为2, .
故答案为：2
【点睛】
本题考查了抽象函数的对称性、周期性,属于基础题.
15．已知数列,,满足,,，则数列的前10项的和为______．
【答案】
【解析】由,可以判断出数列、分别是等差数列和等比数列,这样可以求出它们的通项公式,最后利用等比数列的前项的和公式求出数列的前10项的和.
【详解】
因为,所以数列是2为公差的等差数列, 是公比为2的等比数列,又因为,所以,,.
所以数列的前10项的和为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了由递推关系确定等差数列和等比数列,考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法,考查了等比数列的前项的和公式,考查了数学运算能力.
16．已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】建立直角坐标系,求出三角形各项点的坐标,设出的坐标,运用向量坐标表示的加法和数量积运算的公式,化简,配方最后求出最小值.
【详解】
建立如下图所示的直角坐标系, ，
,则有,
当,取得最小值.
故答案为：
【点睛】
本题考查了数量积的最小值问题,应用平面向量坐标运算、配方法是解题的关键.
三、解答题
17．设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ）面积的最大值为
【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；
（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意知
由可得
由可得
所以函数的单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ）由得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即：当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
【考点】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.
18．已知等差数列满足，.设正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
【答案】（1）,（2）
【解析】（1）利用基本元的思想将表示为只含的表达式，由此求得的值，再根据等差数列通项公式求得数列的通项公式.将，
表示为的形式，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得列的前项和为.
【详解】
（1）设公差为，因为，，
所以5+2d+5+3d=5+d+13，解得.
又因为，
所以.
因为，所以，b=9，即，①
又，所以，即，②
由①除以②，得，
化简得，因为，所以，
所以.
（2）因为，
所以，③
，④
由③减④，得，
所以.
所以.
【点睛】
本小题主要考查基本元的思想求解等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.
19．如图,在平面四边形中,,,．
(1)求的值；
(2)若,,求的长．
【答案】（1）（2）3
【解析】(1) 在中直接使用余弦定理即可求出的值；
(2) 设，则．运用同角的三角函数的平方和关系、两角差的正弦公式求出的值,最后运用正弦定理求出的长．
【详解】
解：(1)在中,由余弦定理,得．
(2)设，则．
因为,,
所以,
．
于是
．
在中,由正弦定理,得,
故．
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理,考查了同角的三角函数的平方和关系,考查了数学运算能力.
20．已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；（6分）
(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值. （10分）
【答案】在上为增函数,
【解析】解：（1）当时，．
则．
令，得（舍），．…………………3分
①当>1时，
1
-
0
+
↘
↗
∴当时, ．
令，得． ……………………………5分
②当时，≥0在上恒成立，
在上为增函数，当时, ．
令，得（舍）．
综上所述，所求为． ……………………………7分
(2) ∵对于任意的实数，，在区间上总是减函数，
则对于x∈(1,3)，＜0，
∴在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分
设g(x)=，
∵，∴g(x)在区间[1,3]上恒成立．
由g(x)二次项系数为正，得
即 亦即 ………12分
∵ =，
∴ 当n＜6时，m≤，
当n≥6时，m≤， ……………………………14分
∴ 当n＜6时，h(n)= ，
当n≥6时，h(n)= ，
即 ……………………………16分
21．已知点是函数（且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少？
【答案】(1),．；(2)最小正整数为67．
【解析】(1)把点的坐标代入函数解析式中,求出函数的解析式,根据等比数列的前项和为,数列的首项为,可以求出数列的通项公式,再利用
这个递推公式,可以求出的通项公式,进而可以求出的通项公式；
(2)利用裂项相消法求出,最后根据，求出最小正整数的值.
【详解】
解：(1)∵,∴
,,
．
数列成等比数列，,所以．
公比,所以,．
∵
又,，∴．
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,， ，
当,，
∴．
(2)
．
由得,满足的最小正整数为67．
【点睛】
本题考查了利用递推公式求等差数列,利用裂项相消法求数列前项和,考查了利用前项和求通项公式.
22．已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.
【详解】
（I）．
∴在内单调递减，
∴在内恒成立，
即在内恒成立．
令，则，
∴当时，，即在内为增函数；
当时，，即在内为减函数．
∴的最大值为，
∴
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，
则在内有两根，，
由（I），知．
由，两式相减，得．
不妨设，
∴要证明，只需证明．
即证明，亦即证明．
令函数．
∴，即函数在内单调递减．
∴时，有，∴．
即不等式成立．
综上，得．
【点睛】
本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.
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