【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版2-8函数与方程作业 4页

第八节　函数与方程 A组　基础题组 ‎1.已知2是函数f(x)=log‎2‎(x+m),x≥2,‎‎2‎x‎,x<2‎的一个零点,则f(f(4))的值是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.3 B.2 C.1 D.log23‎ 答案　A　由题意知log2(2+m)=0,所以m=-1, f[f(4)]=f(log23)=‎2‎log‎2‎3‎=3.‎ ‎2.(2018山西联考,7)函数f(x)=ln x-‎2‎x‎2‎的零点所在的区间为(　　)‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ 答案　B　易知f(x)=ln x-‎2‎x‎2‎的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调递增.‎ ‎∵f(1)=-2<0, f(2)=ln 2-‎1‎‎2‎>0,∴f(1)·f(2)<0,‎ ‎∴根据零点存在性定理知f(x)=ln x-‎2‎x‎2‎的零点所在的区间为(1,2).故选B.‎ ‎3.函数f(x)=x‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎x的零点个数为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案　B　令f(x)=x‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎x=0,得x‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎x,求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数.如图所示:‎ 由图可知两个函数图象有1个交点,故选B.‎ ‎4.已知函数f(x)=ex‎+a,x≤0,‎‎3x-1,x>0‎(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-1) B.(-∞,0)‎ C.(-1,0) D.[-1,0)‎ 答案　D　当x>0时, f(x)=3x-1有一个零点x=‎1‎‎3‎,所以只需要当x≤0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x≤0时,ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0),故选D.‎ ‎5.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎124.4‎ ‎35‎ ‎-74‎ ‎14.5‎ ‎-56.7‎ ‎-123.6‎ 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有　　　　个. ‎ 答案　3‎ 解析　由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在[1,6]上至少有3个零点.‎ ‎6.已知f(x)=xlnx,x>0,‎x‎2‎‎-x-2,x≤0,‎则其零点为　　　　. ‎ 答案　1,-1‎ 解析　当x>0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,也就是(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.因为x≤0,所以x=-1.‎ 综上,函数的零点为1,-1.‎ ‎7.已知函数f(x)=‎2x-a,x≥1,‎ln(1-x),x<1‎有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　　　. ‎ 答案　[2,+∞)‎ 解析　当x<1时,令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(-∞,1)上有1个零点,∴f(x)在[1,+∞)上有1个零点.当x≥1时,令2x-a=0,得a=2x≥2,∴实数a的取值范围是[2,+∞).‎ ‎8.判断函数f(x)=4x+x2-‎2‎‎3‎x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.‎ 解析　因为f(-1)=-4+1+‎2‎‎3‎=-‎7‎‎3‎<0,f(1)=4+1-‎2‎‎3‎=‎13‎‎3‎>0,‎ 所以f(x)在区间[-1,1]上有零点.‎ 又f '(x)=4+2x-2x2=‎9‎‎2‎-2x-‎‎1‎‎2‎‎2‎,‎ 当-1≤x≤1时,0≤f '(x)≤‎9‎‎2‎,‎ 所以f(x)在[-1,1]上是单调递增函数.‎ 所以f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.‎ ‎9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).‎ ‎(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;‎ ‎(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)当a=1,b=-2时, f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3,x=-1.‎ 所以函数f(x)的零点为3,-1.‎ ‎(2)依题意, f(x)=ax2+bx+b-1=0恒有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×1×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0m,‎其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(3,+∞)‎ 解析　当m>0时,函数f(x)=‎|x|,x≤m,‎x‎2‎‎-2mx+4m,x>m的图象如下:‎ ‎∵x>m时, f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2>4m-m2,‎ ‎∴要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须有4m-m23m,解得m>3,∴m的取值范围是(3,+∞).‎ ‎3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时, f(x)=x2-2x.‎ ‎(1)写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).‎ ‎∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,‎ ‎∴f(x)=‎x‎2‎‎-2x,x≥0,‎‎-x‎2‎-2x,x<0.‎ ‎(2)当x∈[0,+∞)时, f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1;‎ 当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2≤1.‎ 作出函数f(x)的图象,如图所示,‎ 根据图象可知,使得方程 f(x)=a恰有3个不同的解的a的取值范围是(-1,1).‎ ‎4.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=‎x+‎1‎‎4x,x>0,‎x+1,x≤0.‎ ‎(1)求g[f(1)]的值;‎ ‎(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)∵f(1)=-12-2×1=-3,∴g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.‎ ‎(2)若f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.‎ 易知方程f(x)=t仅在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,‎ 则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,‎ 作出函数y=g(t)(t<1)的图象,‎ 如图所示,由图象可知,‎ 当1≤a<‎5‎‎4‎时,‎ 函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,‎ 即所求a的取值范围是‎1,‎‎5‎‎4‎.‎