2020届二轮复习平面向量学案（全国通用） 9页

培优点八 平面向量 ‎1．代数法 例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】考虑在上的投影为，所以只需求出，即可．‎ 由可得：，‎ 所以．进而．故选C．‎ ‎2．几何法 例2：设，是两个非零向量，且，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可知，，为平行四边形的一组邻边和一条对角线，‎ 由可知满足条件的只能是底角为，边长的菱形，‎ 从而可求出另一条对角线的长度为．‎ ‎3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，‎ 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，‎ 如图建系：，，，‎ 下面求坐标：令，∴，，‎ 由可得：，∴，‎ ‎∴，，∴．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，故选D．‎ ‎2．已知向量，满足，，，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：，则．故选A．‎ ‎3．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，‎ 则（ ）‎ A． B．‎1 ‎C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，，‎ 则 ‎．故选B．‎ ‎4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，在中，是边的中线，所以，‎ 又因为是边的中点，所以，‎ 所以，故选B．‎ ‎5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，，，‎ 所以是直角梯形，且，，‎ 以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：‎ 因为，，动点和分别在线段和上，‎ 则，，，，‎ 所以，‎ 令且，‎ 由基本不等式可知，当时可取得最大值，‎ 则．故选D．‎ ‎6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，中，，，，‎ 则根据余弦定理可得，即．∴‎ 为直角三角形 以为原点，为轴，为轴建立坐标系，则，，‎ 则线段的方程为，．‎ 设，则．‎ ‎∵，∴．故选C．‎ ‎7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】非零向量，，满足且，则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，∴与的夹角为，故选A．‎ ‎8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（ ）‎ A． B．‎0 ‎C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵在中斜边，∴，‎ ‎∵为线段中点，且，‎ ‎∴原式，‎ 当时，有最大值，．故选B．‎ ‎9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，，因为，，‎ 所以，，所以，，，四点共圆，‎ 因为，，所以，‎ 由正弦定理知，即过，，，四点的圆的直径为2，‎ 所以的最大值等于直径2，故选D．‎ ‎10．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，是单位向量，，可设，，，‎ 由向量满足，∴，‎ ‎∴，即，其圆心，半径，‎ ‎∴，∴．故选B．‎ ‎11．平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系：设，‎ 则，，则，解得． 所以，．在上的摄影，‎ 当时，，得到：，当时，，，故选A．‎ ‎12．如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，‎ 则，，，设，则，．‎ 据此有，，‎ 则．‎ 据此可知，当时，取得最小值；‎ 当或时，取得最大值；‎ 的取值范围是．故选A．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，，若，则________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为，，所以，‎ 又，且，则，即．‎ ‎14．若向量，满足，，且，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，，即，‎ 据此可得，∴，‎ 又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为．‎ ‎15．已知正方形的边长为2，是上的一个动点，则求的最大值为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设，则，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴当时，取得最大值4，故答案为4．‎ ‎16．在中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，‎ 可得，，，则直线的方程为，‎ 设，则，，，，‎ 则|‎ ‎， 由，可得的最小值为 ，时，则的最大值为 ‎ 即的取值范围为．故答案为．‎