海南省海南中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析 9页

‎2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 下列关系中正确的是 A. B. C. D. ‎ 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ 3. 函数与的图象 A. 关于x轴对称 B. 关于y对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 4. 已知命题：，，，则该命题的否定是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，‎ 5. 下列各对函数中，图象完全相同的是  ‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 设函数，则 A. 37 B. ‎26 ‎C. 19 D. 13‎ 7. 下列命题中，不正确的是 A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 下列函数中，在区间上单调递减的是 A. B. C. D. ‎ 9. 若，，，则 A. B. C. D. ‎ 10. 已知，若定义在R上的函数满足对，，都有，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 若直角三角形的周长为定值2，则的面积的最大值为 A. B. C. 1 D. ‎ 12. 正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 若幂函数的图象过点则的值为______．‎ 14. 计算：______．‎ 15. 某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量y与记忆天数x的函数关系式为______；并写出该函数的一个性质比如：单调性、奇偶性、最值等：______．‎ 16. 已知为定义在R上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 设全集，集合，． 求； ，求． ‎ 2. 已知函数是定义在R上的偶函数，且时，． 求时的解析式； 在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性不需要证明． ‎ 3. 已知集合，． 若集合，求此时实数m的值； 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． ‎ 1. 定义在非零实数集上的函数满足：，且在区间上单调递增． 求，的值； 求证：是偶函数； 解不等式． ‎ 2. 如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中米，米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于‎150平方米． 设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域； 当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．‎ ‎ ‎ 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且． 判断函数在上的单调性，并用定义证明； 设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数k的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由元素与集合的关系是属于或不属于的关系，即 Z表示集合中的整数集，N表示集合中的自然数集， Q表示有理数集，R表示实数集，表示正整数集， 故正确， 故选：C． 利用R，N，Q，Z表达的集合，根据元素与集合的关系进行判断． 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：要使原式有意义只需： ，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可． 求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：在同一平面直角坐标系中，函数与的图象如下： 可知两图象关于x轴对称． 故选：A． 在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象，观察得出结论． 本题考查指数函数的图象，图象的对称性．一般的与图象关于x轴对称． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：命题：，，，为全称命题， 该命题的否定是，，， 故选：D． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：对于A、的定义域为R，的定义域为两个函数的对应法则不相同，不是同一个函数． 对于B、的定义域，的定义域均为两个函数不是同一个函数． 对于C、的定义域为R且，的定义域为R且对应法则相同，两个函数是同一个函数． 对于D、的定义域是，的定义域是，定义域不相同，不是同一个函数． 故选：C． 先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致． 本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：两个函数的定义域是同一个集合；两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数， ， ， ． 故选：A． 推导出，，由此能求出． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：对于选项A，若，，则，所以，故选项A正确． 对于选项B，若，则，不等式两边同时除以一个正数，得，故选项B正确． 对于选项C，若，，则，，所以，故选项C不正确． 对于选项D，若，则，由，所以两边同时乘以b得，，故选项D正确． 故选：C． 利用不等式的基本性质可以分析出A，D正确，对于B选项注意隐含条件，C选项举出一个反例即可判断出是错误的． 考查了不等式的基本性质，是基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A、为幂函数，在区间上是增函数，A错误； B、当时，，在定义域上是增函数，B正确； C、是二次函数，在区间上是减函数，C错误； D、在上是减函数，D错误； 故选：B． 利用基本初等函数的性质及函数的图象的变换，对选项逐项判断即可． 本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于基础题目． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，，， 由在单调递增，且 ， ， 故选：A． 首先利用幂的运算性质，对a、b、c进行变形化同底，然后利用指数函数的单调性，判断出a、b、c 的关系． 本题考查了利用幂的运算性质、指数函数的单调性比较大小，考查了学生的化简能力，属于基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意定义在R上的函数满足对，，都有， 可知函数是减函数， 可得：， ， 故选：D． 由题意推出函数，在R上是减函数，利用单调性的定义，建立不等式，即可得出结论． 本题考查函数的单调性，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于中档题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设直角边长为a，b，则斜边长为， 直角三角形ABC的三边之和为2， ， ， ， ， ， 的面积的最大值为． 故选：D． 设直角边长为a，b，则斜边长为，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得，利用基本不等式，即可求ab的最大值，根据三角形的面积公式即可求解． 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，当且仅当“”时取等号， 对任意实数x都成立，即恒成立， ，解得． 故选：C． 由基本不等式可求得，则对任意实数x都成立，即恒成立，再由二次函数的图象及性质即可求解． 本题考查不等式的恒成立问题，涉及了基本不等式及二次函数等知识点，难度不大． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：为幂函数， 设， 的图象过点， ， ， ， ． 故答案为：． 利用幂函数的概念求得的解析式，代入计算即可求得的值． 本题考查幂函数的概念，考查理解并应用幂函数的概念解决问题的能力，属于基础题． ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解： ． 故答案为：． 利用指数幂的性质、运算法则直接求解． 本题根式与分数指数的互化与化简求值，考查指数幂的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 15.【答案】，   y的最大值为750；答案不唯一 ‎ ‎【解析】解：根据题意，该同学计划第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量， 则，； 则函数的值域为350，400，450，500，550，600，650，700，；其最大值为750； 故答案为：，；y的最大值为750；答案不唯一 根据题意，分析可得，变形可得答案，分析函数的值域，即可得函数的最大值． 本题考查函数的解析式的求法，注意分析函数的定义域，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：根据题意，为定义在R上的偶函数，则， 则，即为偶函数， 又由当时，单调递增，则在区间上递减， ， 解可得：，即不等式的解集为； 故答案为：． 根据题意，分析可得为偶函数，结合的单调性分析可得在区间上递减，进而分析可得不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题． 17.【答案】解：，，， ， ； ， ． ‎ ‎【解析】可以求出集合A，B，然后进行补集、并集的运算即可； 根据，且即可求出集合C，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：设，，则，函数是定义在R上的偶函数，， 即时，． ，故图象如下图所示： ‎ 由图可知：函数的单调递增区间为：和， 函数的单调递减区间为：和． ‎ ‎【解析】根据的解析式，求出的解析式；画出图形，观察即可得到． 考查求偶函数的解析式，函数图象的画法，求函数的单调区间，基础题． 19.【答案】解：， 方程的两根为，1． 由韦达定理知，则． 此时满足； 由p是q的充分条件，知， 又，， 时，，，由， 有，满足； 时，，，由， 有，满足； 时，，不满足． 综上所述，实数m的取值范围是或． ‎ ‎【解析】由集合B可得方程的两根为，1，再由根与系数的关系列式求解m值； 由p是q的充分条件，知，求解一元二次不等式化简A与B，然后对m分类求解得答案． 本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 20.【答案】解：令，则， 分 令，则， 分 令，则，分 分 是偶函数  分 根据题意可知，函数的图象大致如图： ，分 或，分 或分 ‎ ‎【解析】利用赋值法即可求、的值； 根据函数奇偶性的定义即可证明是偶函数； 根据函数奇偶性，利用数形结合即可解不等式． 本题主要考查抽象函数的应用以及函数奇偶性的判断，利用赋值法是解决本题的关键． 21.【答案】解：设AN的长为x米 ‎ 由题意可知：，， ， ， 由，得，， ， 定义域为． 分 当且仅当，即时，取“”号 即AN的长为‎8米，矩形AMPN的面积最小，最小为‎96平方米． ‎ ‎【解析】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积． 由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC相似于三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，由此能用解析式将S表示成x的函数，并求出该函数的定义域． 利用，当且仅当时取等号的方法求出S的最小值即可； 22.【答案】解：由题可知，函数是定义在上的奇函数， 则， 又由，则， 解可得； 函数在上单调递增， 证明如下： 任取，，且， ， ，，且， ，， 于是，， 所以在上单调递增； 由题意，任意的，总存在，使得成立． 转化为存在，使得，即． 由知函数在上单调递增， 则， 又由，则在上单调递增，则； 故有即正实数k的取值范围为． ‎ ‎【解析】根据题意，由奇函数的性质，又由，则，分析可得a、b的值，即可得函数的解析式，由作差法分析可得结论； 根据题意，原问题转化为，分析函数的单调性可得以及，据此分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的最值，属于基础题． ‎