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  • 2021-06-11 发布

海南省海南中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

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‎2019-2020学年海南省海口市海南中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共12小题)‎ 1. 下列关系中正确的是 A. B. C. D. ‎ 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ 3. 函数与的图象 A. 关于x轴对称 B. 关于y对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 4. 已知命题:,,,则该命题的否定是 A. ,, B. ,, C. ,, D. ,,‎ 5. 下列各对函数中,图象完全相同的是  ‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 设函数,则 A. 37 B. ‎26 ‎C. 19 D. 13‎ 7. 下列命题中,不正确的是 A. 若,,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 8. 下列函数中,在区间上单调递减的是 A. B. C. D. ‎ 9. 若,,,则 A. B. C. D. ‎ 10. 已知,若定义在R上的函数满足对,,都有,则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 若直角三角形的周长为定值2,则的面积的最大值为 A. B. C. 1 D. ‎ 12. 正实数a,b满足,若不等式对任意正实数a,b以及任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ 13. 若幂函数的图象过点则的值为______.‎ 14. 计算:______.‎ 15. 某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆,计划是:第一天记忆300个单词;第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量,则该同学记忆的单词总量y与记忆天数x的函数关系式为______;并写出该函数的一个性质比如:单调性、奇偶性、最值等:______.‎ 16. 已知为定义在R上的偶函数,,且当时,单调递增,则不等式的解集为______.‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ 1. 设全集,集合,. 求; ,求. ‎ 2. 已知函数是定义在R上的偶函数,且时,. 求时的解析式; 在如图坐标系中作出函数的大致图象;写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性不需要证明. ‎ 3. 已知集合,. 若集合,求此时实数m的值; 已知命题p:,命题q:,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围. ‎ 1. 定义在非零实数集上的函数满足:,且在区间上单调递增. 求,的值; 求证:是偶函数; 解不等式. ‎ 2. 如图所示,ABCD是一个矩形花坛,其中米,米.现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求:B在AM上,D在AN上,对角线MN过C点,且矩形AMPN的面积小于‎150平方米. 设AN长为x米,矩形AMPN的面积为S平方米,试用解析式将S表示成x的函数,并写出该函数的定义域; 当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.‎ ‎ ‎ 3. 已知函数是定义在上的奇函数,且. 判断函数在上的单调性,并用定义证明; 设,若对于任意的,总存在,使得成立,求正实数k的取值范围. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解:由元素与集合的关系是属于或不属于的关系,即 Z表示集合中的整数集,N表示集合中的自然数集, Q表示有理数集,R表示实数集,表示正整数集, 故正确, 故选:C. 利用R,N,Q,Z表达的集合,根据元素与集合的关系进行判断. 本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题. 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解:要使原式有意义只需: ,解得且, 故函数的定义域为. 故选:B. 由题意,分子根号下的式子大于或等于零,分母不为零,据此列出x的不等式组,求解即可. 求函数的定义域分两类,一是实际问题中函数的定义域,有变量的实际意义确定;二是一般函数的定义域,由使式子有意的x的范围确定,一般是列出不等式组求解.注意结果要写成集合或区间的形式. 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解:在同一平面直角坐标系中,函数与的图象如下: 可知两图象关于x轴对称. 故选:A. 在同一平面直角坐标系中,作出函数与的图象,观察得出结论. 本题考查指数函数的图象,图象的对称性.一般的与图象关于x轴对称. 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解:命题:,,,为全称命题, 该命题的否定是,,, 故选:D. 根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解:对于A、的定义域为R,的定义域为两个函数的对应法则不相同,不是同一个函数. 对于B、的定义域,的定义域均为两个函数不是同一个函数. 对于C、的定义域为R且,的定义域为R且对应法则相同,两个函数是同一个函数. 对于D、的定义域是,的定义域是,定义域不相同,不是同一个函数. 故选:C. 先判断两个函数的定义域是否是同一个集合,再判断两个函数的解析式是否可以化为一致. 本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数,需要两个条件:两个函数的定义域是同一个集合;两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足. 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解:函数, , , . 故选:A. 推导出,,由此能求出. 本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解:对于选项A,若,,则,所以,故选项A正确. 对于选项B,若,则,不等式两边同时除以一个正数,得,故选项B正确. 对于选项C,若,,则,,所以,故选项C不正确. 对于选项D,若,则,由,所以两边同时乘以b得,,故选项D正确. 故选:C. 利用不等式的基本性质可以分析出A,D正确,对于B选项注意隐含条件,C选项举出一个反例即可判断出是错误的. 考查了不等式的基本性质,是基础题. 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解:A、为幂函数,在区间上是增函数,A错误; B、当时,,在定义域上是增函数,B正确; C、是二次函数,在区间上是减函数,C错误; D、在上是减函数,D错误; 故选:B. 利用基本初等函数的性质及函数的图象的变换,对选项逐项判断即可. 本题考查函数的单调性,需要熟练应用常用函数的性质和图象,属于基础题目. 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解:,,, 由在单调递增,且 , , 故选:A. 首先利用幂的运算性质,对a、b、c进行变形化同底,然后利用指数函数的单调性,判断出a、b、c 的关系. 本题考查了利用幂的运算性质、指数函数的单调性比较大小,考查了学生的化简能力,属于基础题. 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解:由题意定义在R上的函数满足对,,都有, 可知函数是减函数, 可得:, , 故选:D. 由题意推出函数,在R上是减函数,利用单调性的定义,建立不等式,即可得出结论. 本题考查函数的单调性,考查分段函数,考查学生的计算能力,属于中档题. 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解:设直角边长为a,b,则斜边长为, 直角三角形ABC的三边之和为2, , , , , , 的面积的最大值为. 故选:D. 设直角边长为a,b,则斜边长为,利用直角三角形ABC的三边之和为2,可得,利用基本不等式,即可求ab的最大值,根据三角形的面积公式即可求解. 本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于中档题. 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解:,当且仅当“”时取等号, 对任意实数x都成立,即恒成立, ,解得. 故选:C. 由基本不等式可求得,则对任意实数x都成立,即恒成立,再由二次函数的图象及性质即可求解. 本题考查不等式的恒成立问题,涉及了基本不等式及二次函数等知识点,难度不大. 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解:为幂函数, 设, 的图象过点, , , , . 故答案为:. 利用幂函数的概念求得的解析式,代入计算即可求得的值. 本题考查幂函数的概念,考查理解并应用幂函数的概念解决问题的能力,属于基础题. ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解: . 故答案为:. 利用指数幂的性质、运算法则直接求解. 本题根式与分数指数的互化与化简求值,考查指数幂的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 15.【答案】,   y的最大值为750;答案不唯一 ‎ ‎【解析】解:根据题意,该同学计划第一天记忆300个单词;第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量, 则,; 则函数的值域为350,400,450,500,550,600,650,700,;其最大值为750; 故答案为:,;y的最大值为750;答案不唯一 根据题意,分析可得,变形可得答案,分析函数的值域,即可得函数的最大值. 本题考查函数的解析式的求法,注意分析函数的定义域,属于基础题. 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解:根据题意,为定义在R上的偶函数,则, 则,即为偶函数, 又由当时,单调递增,则在区间上递减, , 解可得:,即不等式的解集为; 故答案为:. 根据题意,分析可得为偶函数,结合的单调性分析可得在区间上递减,进而分析可得不等式等价于,解可得x的取值范围,即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于中档题. 17.【答案】解:,,, , ; , . ‎ ‎【解析】可以求出集合A,B,然后进行补集、并集的运算即可; 根据,且即可求出集合C,然后进行交集的运算即可. 本题考查了描述法的定义,交集、并集和补集的运算,元素与集合的关系,考查了计算能力,属于基础题. 18.【答案】解:设,,则,函数是定义在R上的偶函数,, 即时,. ,故图象如下图所示: ‎ 由图可知:函数的单调递增区间为:和, 函数的单调递减区间为:和. ‎ ‎【解析】根据的解析式,求出的解析式;画出图形,观察即可得到. 考查求偶函数的解析式,函数图象的画法,求函数的单调区间,基础题. 19.【答案】解:, 方程的两根为,1. 由韦达定理知,则. 此时满足; 由p是q的充分条件,知, 又,, 时,,,由, 有,满足; 时,,,由, 有,满足; 时,,不满足. 综上所述,实数m的取值范围是或. ‎ ‎【解析】由集合B可得方程的两根为,1,再由根与系数的关系列式求解m值; 由p是q的充分条件,知,求解一元二次不等式化简A与B,然后对m分类求解得答案. 本题考查一元二次不等式的解法,考查充分必要条件的判定及其应用,考查数学转化思想方法,是中档题. 20.【答案】解:令,则, 分 令,则, 分 令,则,分 分 是偶函数  分 根据题意可知,函数的图象大致如图: ,分 或,分 或分 ‎ ‎【解析】利用赋值法即可求、的值; 根据函数奇偶性的定义即可证明是偶函数; 根据函数奇偶性,利用数形结合即可解不等式. 本题主要考查抽象函数的应用以及函数奇偶性的判断,利用赋值法是解决本题的关键. 21.【答案】解:设AN的长为x米 ‎ 由题意可知:,, , , 由,得,, , 定义域为. 分 当且仅当,即时,取“”号 即AN的长为‎8米,矩形AMPN的面积最小,最小为‎96平方米. ‎ ‎【解析】本题考查根据题设关系列出函数关系式,并求出处变量的取值范围;考查利用基本不等式求最值,解题的关键是确定矩形的面积. 由题意设出AN的长为x米,因为三角形DNC相似于三角形ANM,则对应线段成比例可知AM,由此能用解析式将S表示成x的函数,并求出该函数的定义域. 利用,当且仅当时取等号的方法求出S的最小值即可; 22.【答案】解:由题可知,函数是定义在上的奇函数, 则, 又由,则, 解可得; 函数在上单调递增, 证明如下: 任取,,且, , ,,且, ,, 于是,, 所以在上单调递增; 由题意,任意的,总存在,使得成立. 转化为存在,使得,即. 由知函数在上单调递增, 则, 又由,则在上单调递增,则; 故有即正实数k的取值范围为. ‎ ‎【解析】根据题意,由奇函数的性质,又由,则,分析可得a、b的值,即可得函数的解析式,由作差法分析可得结论; 根据题意,原问题转化为,分析函数的单调性可得以及,据此分析可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及函数的最值,属于基础题. ‎