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- 2021-06-11 发布
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对应学生用书[练案40理][练案39文]
第二讲 一元二次不等式及其解法
A组基础巩固
一、选择题
1．(2020·重庆一中期中)“20⇔(m－2)(m－6)<0⇔20，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为( B )
A．2 B．3
C．7 D．8
[解析] A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝{x|x<－或x>2，x∈Z}，∴A∩B＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.
3．(2020·山东临沂质检)函数y＝ln(2x＋1)＋的定义域为( B )
A．[－，2] B．(－，2]
C．[－2，－) D．[－2，－]
[解析] 由题意可知：解得－0}，B＝{x|2x>1}，则(∁RA)∩B( B )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|00}＝{x|x<－1或x>6}，B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，则∁RA＝{x|－1≤x≤6}，所以(∁RA)∩B＝{x|01的解集为( B )
A．{x|－23} B．{x|－32}
C．{x|x<－3或－12}
[解析] 不等式⇔>0⇔(x2＋x－6)(x＋1)>0，(x－2)(x＋1)(x＋3)>0.易知相应方程的根为－3，－1,2，由穿针引线法可得原不等式的解集为{x|－32}．故选B．
6．(2019·广东江门市一模)根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约是Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．据此预测，本年度内，需求量超过5万件的月份是( C )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
[解析] 日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约是Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，则第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1＝>5⇔3n2－45n＋27×6<0，n2－15n＋54<0⇔61”，又“m≥2”是“m>1”的充分不必要条件，即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：“m≥2”，故选D．
8．(2020·江西南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( A )
A．(0,1) B．(－2,1)
C．(－2,0) D．(－，)
[解析] 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得00的解集为{x|－40⇔x2＋3x－4<0⇔(x＋4)(x－1)<0⇔－40恒成立，
⇒(－6k)2－4(k＋8)<0⇒9k2－k－8≤0
⇒(k－1)(9k＋8)<0，即－0.
[解析] x2－(a＋a2)x＋a3>0⇒(x－a2)(x－a)>0，
当a<0时，xa2；
当a＝0时，x<0或x>0；
当0a；
当a＝1时，x<1或x>1；
当a>1时，xa2.
综上可知：①当a<0或a>1时，不等式解集为{x|xa2}；
②当a＝0时，不等式解集为{x|x<0或x>0}；
③当a＝1时，不等式解集为{x|x>1或x<1}；
④当 0a}．
15．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为{x|x ∈R，x≠}，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
[解析] (1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.
(2)由不等式的解集为{x|x∈R，x≠}可知解得k＝－.
(3)依题意知解得k<－.
(4)依题意知解得k≥.
B组能力提升
1．(2020·河南省阶段测试)设集合A＝{x|x2－5x＋6<0}，B＝{x|2x－1<2}，则A∩B＝( A )
A．(2，) B．(－2，)
C．(2，＋1) D．(－2，＋1)
[解析] 解不等式x2－5x＋6<0，得20”为假命题，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，－8]∪[0，＋∞) B．(－8,0)
C．(－∞，0] D．[－8,0]
[解析] 由题意知，ax2－ax－2≤0恒成立⇒a＝0或⇒－8≤a≤0，故选D．
3．(文)(2019·湖南益阳4月模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( A )
A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－，2)
(理)(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是(－，＋∞) .
[解析] (文)∵f(x)为偶函数，∴a＝－2，
∴(x－2)f(x)<0⇔(x－2)(x－)(x＋)>0
⇔－2.故选A．
(理)当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，
当x－>0，即x>时，f(x－)＝2x－>1，
当x－≤0，即0，
则不等式f(x)＋f(x－)>1恒成立，
当x≤0时，f(x)＋f(x－)＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－2a，
解得－30的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.
(理)(2020·河北正定中学月考)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式，f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
[解析] (文)(1)由题意知，x＝－1，x＝3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，
代入有∴
(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，
∵a>0，∴f(x)>0可化为(x－)(x＋1)>0，
①当≥－1，即a≥1时，解集为{x|x<－1或x>}；
②当<－1，即0－1}．
(理)(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1,1]；
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－1时，g(x)min＝g(1) ＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.
综上，实数a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax ＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)(x＋)<0，
因为1－(－)＝，
所以当－－，解集为{x|－
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