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- 2021-06-11 发布
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天天练 29 空间向量与立体几何
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一、选择题
1.[2019·台州模拟]在空间直角坐标系O-xyz中,z轴上到点A(1,0,2)与点B(2,-2,1)距离相等的点C的坐标为( )
A.(0,0,-1) B.(0,0,1)
C.(0,0,-2) D.(0,0,2)
答案:C
解析:设C(0,0,z),由点C到点A(1,0,2)与点B(2,-2,1)的距离相等,得12+02+(z-2)2=(2-0)2+(-2-0)2+(z-1)2,解得z=-2,故C(0,0,-2).
2.设三棱锥OABC中,=a,=b,=c,点G是△ABC的重心,则等于( )
A.a+b-c B.a+b+c
C.(a+b+c) D.(a+b+c)
答案:D
解析:如图所示,=+=+(+)=+(-+-)=(a+b+c).
3.已知A∈α,P∉α,=,平面α的一个法向量n=,则直线PA与平面α所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.150°
答案:C
解析:设PA与平面α所成的角为θ,则sinθ==
eq f(|o(PA,sup6(→))·n|,|o(PA,sup6(→))||n|)==.∵θ∈[0°,90°],∴θ=60°,故选C.
4.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的三视图如图所示,则异面直线D1C与AC1所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案:D
解析:由三视图可知几何体为直四棱柱,底面为直角梯形且两底边长分别为1,2,高为1,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为2.连接DC1,易得AD⊥D1C,DC1⊥D1C,AD∩DC1=D,所以D1C⊥平面ADC1,所以D1C⊥AC1,所以异面直线D1C与AC1所成的角为90°.
5.
[2019·衡阳模拟]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别为AB,BC的中点,则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:连接AC,B1C,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴∠B1AC为异面直线EF与AB1所成的角.在△AB1C中,∵AB1,AC,B1C为面对角线,∴AB1=AC=B1C,∴∠B1AC=,∴
cos∠B1AC=.
6.[2019·陕西质检]已知△ABC与△BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC⊥平面BCD,且异面直线AB和CD所成的角为θ,则cosθ=( )
A.- B.
C.- D.
答案:D
解析:解法一 取BC的中点O,连接OA,OD,所以OA⊥OC,OD⊥OC,因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,所以OA⊥平面BCD,所以OA,OD,OC两两垂直,以O为坐标原点,OD,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,因为AB=4,所以B(0,-2,0),D(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),所以=(0,-2,-2),=(2,-2,0),则cosθ==
==.
解法二 如图,取BC的中点O,取BD的中点E,取AC的中点F,连接OA,OE,OF,EF,则OE∥CD,OF∥AB,则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角,依题得OE=CD=2,OF=AB=2,过点F作FG⊥BC于点G,易得FG⊥平面BCD,且FG=
OA=,G为OC的中点,则OG=1,又OE=2,∠EOG=120°,所以由余弦定理得EG=
=
=,
由勾股定理得EF2=FG2+EG2=()2+()2=10,在△OEF中,由余弦定理得cos∠EOF===-,因为θ=,所以cosθ=.
7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案:A
解析:
由已知AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC.分别以BC,BA,BB1为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,设AA1=2a,则A(0,1,0),C(,0,0),D,E(0,0,a),所以=,平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),
cos〈,n〉===,
〈,n〉=60°,所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.
8.已知二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为( )
A.150° B.45°
C.120° D.60°
答案:D
解析:如图,AC⊥AB,BD⊥AB,过A在平面ABD内作AE∥BD,过D作DE∥AB,连接CE,所以DE∥AB且DE⊥平面AEC,∠CAE即二面角的平面角.在直角三角形DEC中,CE=2,在三角形ACE中,由余弦定理可得cos∠CAE==,所以∠CAE=60°,即所求二面角的大小为60°.
二、非选择题
9.向量a=(2,0,5),b=(3,1,-2),c=(-1,4,0),则a+6b-8c=________.
答案:(28,-26,-7)
解析:a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2)-8(-1,4,0)=(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0)=(28,-26,-7).
10.[2019·南宁二中、柳州高中两校联考]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.
答案:
解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AD1,B1D1(图略),易知∠B1AD1就是异面直线AB1与BC1所成的角.因为AB=3,BC=2,AA1=1,所以AB1==,AD1==,B1D1==.在△AB1D1中,由余弦定理,得cos∠B1AD1==.
11.
正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.
答案:
解析:以C为原点建立坐标系C-xyz,得下列坐标:A(2,0,0),C1(0,0,2).点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以=(-2,0,2),=,设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ,则cosθ===.又θ∈,所以θ=.
12.
如图,已知AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B的正切值是________.
答案:
解析:取AC的中点D,连接OD,PD,则OD⊥AC,PD⊥AC,∴∠PDO是二面角P-AC-B的平面角.∵PA=AB=2,AC=BC,∴PO=,OD=,∴二面角P-AC-B的正切值tan∠PDO==.
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一、选择题
1.[2019·泸州模拟]在空间直角坐标系中,点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为,则m的值为( )
A.-9或1 B.9或-1
C.5或-5 D.2或3
答案:B
解析:由题意|PP1|=,
即=,∴(m-4)2=25,
解得m=9或m=-1.故选B.
2.在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
答案:B
解析:因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,O为坐标原点,所以=-,=(+),=(+).所以=(+)-(+)=(+)=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).
3.[2018·全国卷Ⅱ]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:
图(1)
如图(1),在长方体ABCD—A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA—A1′B1′B1A1.连接B1B′,由长方体性质可知,B1B′∥AD1,所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB′,由题意,得DB′==,B′B1==2,DB1==.
在△DB′B1中,由余弦定理,得
DB′2=B′B1+DB1-2B′B1·DB1·cos∠DB1B′,
即5=4+5-2×2cos∠DB1B′,∴ cos∠DB1B′=.
故选C.
图(2)
如图(2),分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1 (0,0,),B1 (1,1,),
∴ =(-1,0,),=(1,1,),
∴ ·=-1×1+0×1+()2=2,
||=2,||=,
∴ cos〈,〉===.
故选C.
4.
[2019·南昌模拟]如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=2,AA1=,则直线AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=,即AB⊥AC,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B1(0,2,),C1(2,0,),A1(0,0,),=(0,0,),=(0,2,),=(2,0,).设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z),则得令x=1,则y=1,z=-,所以n=.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|=,所以θ=.
5.如图,在三棱锥A-SBC中,棱SA,SB,SC两两垂直,且SA=SB=SC,则二面角A-BC-S的正切值为( )
A.1 B.
C. D.2
答案:C
解析:
解法一 由题意,SA⊥平面SBC,且AB=AC=.如图,取BC的中点D,连接SD,AD,则SD⊥BC,AD⊥BC,故∠ADS
是二面角A-BC-S的平面角.设SA=SB=SC=1,则SD=,在Rt△ADS中,tan∠ADS===,故选C.
解法二 以S为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系S-xyz,设SA=1,则S(0,0,0),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),=(0,0,1),=(1,0,-1),=(0,1,-1),易知=(0,0,1)为平面SBC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则即令z=1,则n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量,所以cos〈,n〉=.由图知二面角A-BC-S为锐二面角,故二面角A-BC-S的正切值为.
6.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz,∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,∴D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),D1(0,0,2),∴=(2,0,2),=(2,2,0),=(-2,0,0).设平面A1DB的法向量为n=(x,y,z),则
∴令x=1,则y=z=-1,
∴n=(1,-1,-1)为平面A1DB的一个法向量,∴点D1到平面A1BD的距离d==.
7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:如图,取AC,A1C1的中点分别为M,M1,连接MM1,BM,过点D作DN∥BM交MM1于点N,则易证DN⊥平面AA1C1C,连接AN,则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角.在直角三角形DNA中,sin∠DAN===.
8.[2019·丽水模拟]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是AB上一点,当二面角P-EC-D为时,AE=( )
A.1 B.
C.2- D.2-
答案:D
解析:如图,过点D作DF⊥CE于F,连接PF,因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CE,又PD∩DF=D,所以CE⊥平面PDF,所以PF⊥CE,可得∠PFD为二面角P-EC-D的平面角,即∠PFD=,故在Rt△PDF中,PD=DF=1,因为在矩形ABCD中,△
EBC∽Rt△CFD,所以=,得EC==2,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BE==,所以AE=AB-BE=2-,故选D.
二、非选择题
9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC.则二面角C-PB-D的大小为________.
答案:60°
解析:
以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设PD=DC=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),所以=(0,0,1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(-1,0,0),设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0得令x1=1,得n1=(1,-1,0).
设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2·=0,n2· =0得
令y2=1得n2=(0,1,1).设二面角C-PB-D的大小为θ,则cosθ==,又由题可知θ为锐角,所以θ=60°.
10.如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个结论:
①AF⊥GC;
②BD与GC成异面直线且夹角为60°;
③BD∥MN;
④直线BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确结论的个数为________.
答案:2
解析:将平面展开图还原为正方体如图所示,对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确.对于②,BD与GC显然成异面直线,连接MB,MD,则BM∥GC,所以∠MBD为异面直线BD与GC所成的角或其补角,在等边三角形BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确.对于③,BD与MN为异面直线,所以③错误.对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD为直线BG与平面ABCD所成的角,但在直角三角形BDG中,∠GBD≠45°,所以④错误.
11.[2019·陕西西安模拟]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为边长为的正方形,E,F分别为PC,AB的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若PA⊥BD,EF⊥平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小.
解析:证明 设PD的中点为Q.连接AQ,EQ,则EQ綊CD,
∵AF綊CD,∴EQ綊AF,
∴四边形AFEQ为平行四边形.∴EF∥AQ.∵EF⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴EF∥平面PAD.
(2)由(1)知,EF∥AQ,∵EF⊥平面PCD,
∴AQ⊥平面PCD.∵PD,CD⊂平面PCD,
∴AQ⊥CD,AQ⊥PD.
∵AQ⊥CD,AD⊥CD,AQ∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又∵PA⊂平面PAD,
∴PA⊥CD.
∵PA⊥BD,CD∩BD=D,
∴PA⊥平面ABCD.
由题意,AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
∵AQ⊥PD,且Q为PD的中点,
∴AP=AD=,
则A(0,0,0),B(,0,0),Q,D(0,,0),P(0,0,),
∴=,=(,0,-),易知为平面PCD的一个法向量.
设直线PB与平面PCD所成角为θ,
则sinθ===,
∴直线PB与平面PCD所成角为.