2013-2017高考数学分类汇编-第8章 立体几何-4 直线，平面平行的判定与性质（理科） 9页

‎ 第4节 直线、平面平行的判定与性质 题型93 证明空间中直线、平面的平行关系 ‎1．（2013江西理8）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，那么（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（2013广东理6）设是两条不同的直线，是两个 不同的平面下列命题中正确的是（ ）.‎ A．若，，，则 ‎ B．若，，，则 C．若，，，则 ‎ D．若，，，则 ‎3. (2013安徽理19）‎ 如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为，和是底面圆上 的两条平行的弦，轴与平面所成的角为.‎ ‎（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；‎ ‎（2）求.‎ ‎4. (2013全国新课标卷理18）‎ 如图，直棱柱中，分别是的中点，‎ ‎ .‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎5.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值. ‎ ‎6.（2013江苏16）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）.‎ ‎7.（2013浙江理20）如图，在四面体中，平面，.是的中点，是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求的大小.‎ ‎8. (2015福建理7) 若是两条不同的直线，，则“ ”是“”的（ ）.‎ A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.解析 若，又因为，则或；若，又因为，‎ 则，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎9.（2016全国甲理14），是两个平面，，是两条线，有下列四个命题：‎ ‎①如果，，，那么．‎ ‎②如果，，那么．‎ ‎③如果，，那么．‎ ‎④如果， ，那么与所成的角和与所成的角相等．‎ 以上命题正确的命题有 .‎ ‎9. ②③④ 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.‎ ‎10.（2016浙江理2）已知互相垂直的平面交于直线.若直线满足，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎10.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.‎ ‎11．（2016江苏卷16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎11.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，又因为三棱柱为直棱柱，故，所以，又因为平面，且，故平面．‎ ‎12.（2016天津理17）如图所示，正方形的中心为O，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎12.分析 （1）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证.‎ 解析 解法一：（1）取中点，连接，，如图所示.‎ 由题意可得，且，所以四边形为平行四边形.‎ 所以，且平面，所以平面.‎ ‎13.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥中，，，.为边的中点，异面直线与所成的角为.‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎13.解析 （1）取棱的中点，点即为所求的一个点.证明如下：‎ 因为，，所以，且.所以四边形是平行四边形，从而.又平面，，所以平面.‎ ‎ (说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点).‎ ‎14.（2016山东理17）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.‎ ‎（1）已知分别为，的中点，求证：平面；‎ ‎14.解析（1）证明：设的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以.‎ 又，所以.在中，因为是的中点，所以.‎ 又，，所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎15.（2107浙江19（1））如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎15.解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.‎ 因为，分别为，的中点，所以，且.‎ 又因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.‎ ‎16.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中，，， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎ （2）．‎ ‎16.解析 （1）在平面内，因为，，且点与点不重合，所以.又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面， ‎ 平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面.又因为平面，所以.‎ ‎17.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，， 是的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎17．解析 （1）令的中点为，联结，，如图所示．因为点，为，的中点，所以为的中位线，所以．又因为，所以．又因为，所以，于是．从而四边形为平行四边形，所以．又因为，所以平面.‎ 题型94 与平行有关的开放性、探究性问题 ‎1.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥中，，，.为边的中点，异面直线与所成的角为.‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎1.解析 （1）取棱的中点，点即为所求的一个点.证明如下：‎ 因为，，所以，且.所以四边形是平行四边形，从而.又平面，，所以平面.‎ ‎ (说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点).‎ ‎2.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面， ，，‎ ‎，，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎2. 解析 （1）如题中的图所示，平面平面，平面平面，平面，得平面，所以.‎ 又因为平面，平面，，所以平面.‎ ‎（2）如图所示，设棱AD的中点是O，由题设可得直线两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 可得，‎ 所以，.‎ 设平面的一个法向量是，得，所以可得.‎ 设直线与平面所成角的大小为，‎ 可得，‎ 即直线与平面所成角的正弦值是.‎ ‎（3）设棱上存在点，使得平面，并设，得，即，即.得.‎ 由平面，平面的一个法向量是，‎ 得，解得.‎ 又平面，所以平面.‎ 即在棱上存在点使得平面，且.‎