江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题 15页

扬州市2012—2013学年度第一学期期中检测试题 高 三 数 学 ‎ 2012．11‎ 全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．‎ 注意事项：‎ 1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．‎ ‎2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．‎ ‎3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．‎ 第 一 部 分 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．已知复数满足，其中为虚数单位，则 ▲ ．‎ ‎2．已知点和向量，若，则点B的坐标为 ▲ ．‎ ‎3．已知等比数列满足，则数列的公比= ▲ ．‎ ‎4．已知，且，则sin()= ▲ ．‎ ‎5．已知两个平面，，直线，直线，有下面四个命题：‎ ‎　 ①； ② ； ③ ；④。 　 其中正确的命题是 ▲ ．‎ ‎6．设满足的最小值是 ▲ ．‎ ‎7．已知函数，则 ▲ ．‎ ‎8．已知命题：，命题：，则是的 ▲ 条件．（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）‎ ‎9．△ABC中，，，，则 ▲ ． ‎ ‎10．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ▲ ．‎ ‎11．已知等比数列的首项是，公比为2，等差数列的首项是，公差为，把 中的各项按照如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列： ，……，即在和两项之间依次插入中个项，则 ▲ ．‎ ‎12．若内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为 ▲ ．‎ ‎13．已知等差数列的首项为，公差为，若 对恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．设是正实数，且，则的最小值是 ▲ ．‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知，，‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 中，，三个内角成等差数列． ‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ 如图，四边形为正方形，在四边形中，．又⊥平面，.‎ ‎（1）证明：⊥平面；‎ ‎（2）上是否存在一点，使平面，若存在，请求出的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ 某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：‎ ‎（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？‎ ‎（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，且，．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标；‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设数列，对任意都有，(其中、‎ ‎、是常数)。‎ ‎（1）当，，时，求；‎ ‎（2）当，，时，若，，求数列的通项公式；‎ ‎（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列” ，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．‎ ‎2012—2013学年度第一学期检测试题 高 三 数 学 ‎ 2012．11‎ 第二部分（加试部分）‎ ‎（总分40分，加试时间30分钟）‎ 注意事项：‎ ‎ 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．‎ ‎21．（本题满分10分）‎ 已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 如图所示，是长方体，已知，，，是棱的中点，求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎23．（本题满分10分）‎ 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．‎ ‎（1）求得分不大于的概率；‎ ‎（2）求得分的数学期望．‎ ‎24．（本题满分10分）‎ 设函数，数列满足．‎ ‎（1）若，试比较与的大小；‎ ‎（2）若，求证：对任意恒成立．‎ 扬州市2012—2013学年度第一学期期中调研测试试题 高三数学参考答案 ‎1． 2． 3． 4．‎ ‎5．①、④ 6．2 7． 8．充分不必要 ‎9．5 10． 11． 12．‎ ‎13．‎ 解：‎ ‎，‎ 所以，所以对恒成立， ‎ ‎，‎ ‎14．‎ 解：设，，则，‎ 所以=‎ ‎。‎ 因为 所以。‎ ‎15．解：（1）由解得， 3分 由m=2知x2－2x+1－m2≤0化为(x－3)(x+1)≤0,解得,‎ ‎ 6分 ‎ 7分 ‎（2）∵A∪B= B，， 8分 又∵m>0 ，∴不等式x2－2x+1－m2≤0的解集为1－m≤x≤1+m， 11分 ‎∴，∴m≥5，∴实数m的取值范围是［5，+∞ 14分 ‎16．解：(1)∵ 成等差数列，∴ ，‎ 又，∴ ， 2分 又，∴ ， 4分 由正弦定理得：， ‎ 所以； 7分 ‎（2）设角的对边为，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 即， 9分 又，当且仅当时取到等号， ‎ 所以 11分 所以，‎ 所以的最大值是． 14分 ‎17．解：‎ ‎（1）法一：QA⊥平面ABCD，QA⊥CD，‎ 由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，‎ 又QA 、AD为平面PDAQ内两条相交直线，‎ CD⊥平面PDAQ，CD⊥PQ， 3分 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，‎ 则PQ⊥QD,　 6分 又CD 、QD为平面ADCB内两条相交直线， ‎ PQ⊥平面DCQ. 7分 法二：QA⊥平面ABCD，QA平面PDAQ，‎ 平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.‎ 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.　‎ ‎ 3分 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD, 6分 又CD 、QD为平面ADCB内两条相交直线， PQ⊥平面DCQ. 7分 ‎（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD 8分 证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，则RT∥DP，且RT＝DP,‎ 又AQ∥DP，且AQ＝DP,从而AQ∥RT，且AQ＝RT，‎ 四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR， 11分 QR平面ABCD，AT平面ABCD，‎ QR∥平面ABCD 15分 ‎18．解：设从2011年起，该车第年啤酒和葡萄酒年生产量分别为吨和吨，经过年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为吨和吨。‎ ‎（1）设第年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为吨，依题意，=，‎ ‎=，（）， 4分 则=+=，‎ 当且仅当，即时取等号， ‎ 故年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为吨。 7分 ‎（2）依题意，，得，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的。 15分 ‎19． 解：（1）由，得，‎ ‎ 解得：． 3分 ‎（2）由（1），‎ 所以， ‎ 令，，‎ 则 因为，所以，‎ 所以，当，‎ 所以， 8分 即的最小值是，此时，‎ 点的坐标是。 9分 ‎（3）问题即为对恒成立，‎ 也就是对恒成立， 10分 要使问题有意义，或．‎ 法一：在或下，问题化为对恒成立， ‎ 即对恒成立，‎ 对恒成立，‎ ‎①当时，或，‎ ‎②当时，且对恒成立，‎ 对于对恒成立，等价于，‎ 令，，则，，‎ ‎，递增，‎ ‎，，结合或，‎ 对于对恒成立，等价于 令，，则，，‎ ‎，递减，‎ ‎，，，‎ 综上： 16分 法二：问题即为对恒成立，‎ 也就是对恒成立， 10分 要使问题有意义，或．‎ 故问题转化为对恒成立，‎ 令 ‎①若时，由于，故，‎ 在时单调递增，依题意，，舍去；‎ ‎②若，由于，故，‎ 考虑到，再分两种情形：‎ ‎（ⅰ），即，的最大值是，‎ 依题意，即，；‎ ‎（ⅱ），即，在时单调递增，‎ 故，，，舍去。‎ 综上可得， 16分 ‎20． 解：（1）当，，时，‎ ‎， ①‎ 用去代得，， ②‎ ‎②-①得，，， 2分 在①中令得，，则0，∴，‎ ‎∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，‎ ‎∴=。 4分 ‎（2）当，，时，， ③‎ 用去代得，， ④‎ ‎④-③得， ， ⑤ 6分 用去代得，， ⑥‎ ‎⑥-⑤得，，即， 8分 ‎∴数列是等差数列。‎ ‎∵，，∴公差，∴。 10分 ‎（3）由（2）知数列是等差数列，∵，∴。‎ 又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使 ‎，‎ 得，故是偶数， 12分 又由已知，，故。‎ 一方面，当时，‎ ‎，对任意，都有。‎ 另一方面，‎ 当时，，，‎ 则，‎ 取，则，不合题意。 14分 当时，，，则 ‎，‎ 当时，，，‎ ‎，‎ 又，∴或或或。 16分 第二部分（加试部分）‎ ‎（总分40分，加试时间30分钟）‎ ‎21． 解：由得， ， 3分 ‎，即， 6分 圆心直角坐标是，极坐标为。 10分 ‎22．解：以为坐标原点，为坐标轴，建立坐标系，‎ 则，，，‎ 设平面的一个法向量为 由可得的一个值是，‎ 设直线与平面所成的角是，则 ‎， 8分 故直线与平面所成角的余弦是。 10分 ‎23． 解：（1），，‎ ‎ 4分 ‎（2）得分的所有可能值为：5，6，7，8‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 得分的分布列为 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎。 10分 ‎24． 解：（1）时，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以。 4分 ‎（2）用数学归纳证明当时，对任意恒成立，‎ ‎①时，结论成立；‎ ‎②设时，，‎ 则当时，‎ ‎，即， 6分 当时，，‎ 即是上的单调递增增函数，‎ 所以，即 即时，结论成立，‎ 综上可得，当时，对任意恒成立， 10分