2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-1 椭圆及其性质（理科） 10页

第十章 圆锥曲线 第1节 椭圆及其性质 题型113 椭圆的定义与标准方程 ‎1.（2014 大纲理 6）已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2014 安徽理 14）设分别是椭圆： 的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，轴，则椭圆的方程为 .‎ ‎3.（2014 辽宁理 15）已知椭圆：，点与的焦点不重合.若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则 .‎ ‎4.（2014 福建理 19）（本小题满分13分）‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为，.‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图所示，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎5.（2016北京理19（1））已知椭圆的离心率为，，‎ ‎，，的面积为1.求椭圆的方程；‎ ‎5.解析 可先作出本题的图形：‎ 由题设，可得 解得.所以椭圆的方程是.‎ ‎6.（2016山东理21（1））平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.求椭圆的方程；‎ ‎6.解析 由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎7.（2016天津理19（1））设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.求椭圆的方程.‎ ‎7.解析 由，即，可得.‎ 又，所以，因此，所以椭圆的方程为 ‎8.（2017浙江2）椭圆的离心率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.解析 由椭圆方程可得，，所以，所以，，.故选B．‎ ‎9.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．求椭圆的标准方程.‎ ‎9.解析 设椭圆的半焦距为，由题意，解得，因此 ‎，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎10.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.求椭圆的方程.‎ ‎10.解析 由题意知 ，，所以 ，，因此椭圆的方程为.‎ ‎11.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆，四点，‎ ‎，，中恰有三点在椭圆上.求的方程；‎ ‎11. 解析 根据椭圆对称性，必过，，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过 三点.将代入椭圆方程得，解得，‎ ‎，所以椭圆的方程为．‎ 题型114 椭圆离心率的值及取值范围 ‎1.（2013江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 .‎ ‎2.(2013福建理14）椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆 的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_____‎ ‎3.（2014 湖北理 9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）.‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎4.（2014 江西理 15）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 .‎ ‎5.（2014 江苏理 17）F1‎ F2‎ O x y B C A 如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点 的坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结．‎ ‎ （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程 ‎（2）若，求椭圆离心率的值．‎ ‎6.（2014 北京理 19）（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ ‎7.（2015安徽理20）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的 坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线 的斜率为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率； ‎ ‎（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵 坐标为，求椭圆的方程.‎ ‎7.解析 （1）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，‎ 即，所以，故．‎ ‎（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线的方程为，‎ 点的坐标为．设点关于直线的对称点的坐标为，‎ 则线段的中点的坐标为．‎ 又点在直线上，且，从而有，‎ 解得，所以，所以椭圆的方程为．‎ ‎8.（2015重庆理21）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，‎ 过的直线交椭圆于，两点，且.‎ ‎（1）若，，求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率.‎ ‎ 8.解析 （1）由椭圆的定义,故．‎ ‎ 设椭圆的半焦距为，由已知，因此 ‎ ‎,即，从而．‎ 故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）如图所示，连接，由椭圆的定义，，，‎ 从而由,有.‎ 又由， ，知，‎ 因此,,得.‎ 从而.‎ 由,知，‎ 因此.‎ ‎9.（2016浙江理7）已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则（ ）.‎ A.且 B.且 ‎ C.且 D.且 ‎ 9. A 解析 因为两个圆锥曲线的焦点重合，所以，即.‎ 因为，，所以，故，故选A.‎ ‎10.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．‎ ‎10. 解析 由题意得，直线与椭圆方程联立，‎ 可得，.由，‎ 可得，，，‎ 则，由，‎ 可得，则．‎ 评注 另外也可以结合，得，‎ ‎，‎ 而，解得，‎ 进而．设与轴的交点为，则经典转化以为直径的圆 过点．‎ ‎11.（2016全国丙理11）已知为坐标原点，是椭圆 的左焦点，，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11. A 解析 根据题意，作出图像，如图所示.因为点为的中点，所以，又，所以，得，即.故选A.‎ ‎12.（2016浙江理19）如图所示，设椭圆.‎ ‎（1）求直线被椭圆截得的线段长（用、表示）；‎ ‎（2）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎12.解析 （1）设直线被椭圆截得的线段为，联立方程，‎ 得，解得，．‎ 因此．‎ ‎（2）联立圆与椭圆的方程，观察易知圆与椭圆的公共点至多有个.当有个公共点时，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．‎ 记直线，的斜率分别为，，所以，，．所以直线，的方程为，.由（1）知，‎ ‎，所以，‎ 变形得.‎ 由于得因此①‎ 因为式①关于的方程有解的充要条件是，即.‎ 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为，‎ 由，得所求离心率的取值范围为.‎ ‎13.（2107全国3卷理科10）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎13．解析 因为以为直径的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，又因为，则上式可化简为.因为，可得，即，所以.故选A.‎ 题型115 椭圆焦点三角形——暂无