【数学】2020届一轮复习人教A版算法复数推理与证明作业 12页

一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设复数 z 满足1＋z 1－z ＝i，则|z|＝(　　) A．1　　　　　　　 B. 2 C. 3 D．2 解析：由1＋z 1－z ＝i，得 z＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i）（1－i） （1＋i）（1－i） ＝i，所以|z| ＝1，故选 A. 答案：A 2．如图所示的框图是结构图的是(　　) A.P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q B.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显 成立的条件 C. D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书 解析：选项 C 为组织结构图，其余为流程图． 答案：C 3．用反证法证明命题：“若 a，b∈N，ab 能被 3 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 3 整除”时，假设应为(　　) A．a，b 都能被 3 整除 B．a，b 都不能被 3 整除 C．a，b 不都能被 3 整除 D．a 不能被 3 整除 解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B 4．下面几种推理中是演绎推理的是(　　) A．因为 y＝2x 是指数函数，所以函数 y＝2x 经过定点(0，1) B．猜想数列 1 1 × 2， 1 2 × 3， 1 3 × 4，…的通项公式为 a n ＝ 1 n（n＋1）(n∈N*) C．由圆 x2＋y2＝r2 的面积为πr2 猜想出椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 的面积为 πab D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空 间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 解析：选项 B 为归纳推理，选项 C 和选项 D 为类比推理，选项 A 为演绎推理． 答案：A 5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9× 2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第 n(n∈N*)个等式应为(　　) A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－9 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 解析：易知等式的左边是两项和，其中一项为序号 n，另一项为 序号 n－1 的 9 倍，等式右边是 10n－9. 猜想第 n 个等式应为 9(n－1)＋n＝10n－9. 答案：B 6．已知（1－i）2 z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：因为（1－i）2 z ＝1＋i， 所 以 z ＝ （1－i）2 1＋i ＝ （1－i）2（1－i） （1＋i）（1－i） ＝ （1＋i2－2i）（1－i） 1－i2 ＝－2i（1－i） 2 ＝－1－i. 答案：D 7．根据如下样本数据得到的回归方程为 y^ ＝bx＋a，则(　　) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 A.a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 解析：作出散点图如下： 观察图象可知，回归直线y^ ＝bx＋a 的斜率 b＜0， 当 x＝0 时， y^ ＝a＞0.故 a＞0，b＜0. 答案：B 8．下列推理正确的是(　　) A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你 一定中奖 B．因为 a>b，a>c，所以 a－b>a－c C．若 a，b 均为正实数，则 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b D ． 若 a 为 正 实 数 ， ab<0 ， 则 a b＋ b a＝ － (－a b ＋ －b a )≤ － 2 (－a b )·(－b a )＝－2 解析：A 中推理形式错误，故 A 错；B 中 b，c 关系不确定，故 B 错；C 中 lg a，lg b 正负不确定，故 C 错．D 利用基本不等式，推理 正确． 答案：D 9．根据下面的列联表得到如下四个判断： ①至少有 99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有 99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”． 项目 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 总计 900 92 992 其中正确命题的个数为(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解 析 ： 由 列 联 表 中 数 据 可 求 得 随 机 变 量 K2 的 观 测 值 k ＝ 992 × （700 × 32－60 × 200）2 760 × 232 × 900 × 92 ≈7.349＞6.635，所以在犯错误的 概率不超过 0.01 的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有 99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确． 答案：C 10．实数 a，b，c 满足 a＋2b＋c＝2，则(　　) A．a，b，c 都是正数 B．a，b，c 都大于 1 C．a，b，c 都小于 2 D．a，b，c 中至少有一个不小于1 2 解析：假设 a，b，c 中都小于1 2， 则 a＋2b＋c<1 2＋2×1 2＋1 2＝2，与 a＋2b＋c＝2 矛盾 所以 a，b，c 中至少有一个不小于1 2. 答案：D 11．已知直线 l，m，平面 α，β且 l⊥α，m⊂β，给出下列四个 命题：①若 α∥β，则 l⊥m；②若 l⊥m，则 α∥β；③若 α⊥β，则 l⊥ m；④若 l∥m，则 α⊥β. 其中正确命题的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：若 l⊥α，m⊂β，α∥β，则 l⊥β，所以 l⊥m，①正确； 若 l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与 β 可能相交，②不正确； 若 l⊥α，m⊂β，α⊥β，l 与 m 可能平行或异面，③不正确； 若 l⊥α，m⊂β，l∥m，则 m⊥α，所以 α⊥β，④正确． 答案：B 12．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x＝0，y＝1，n＝1， 则输出 x， y 的值满足(　　) A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x 解析：输入 x＝0，y＝1，n＝1，得 x＝0，y＝1，x2＋y2＝1<36， 不满足条件；执行循环：n＝2，x＝1 2，y＝2，x2＋y2＝1 4＋4<36，不满 足条件；执行循环：n＝3，x＝3 2，y＝6，x2＋y2＝9 4＋36>36，满足条 件，结束循环，输出 x＝3 2，y＝6，所以满足 y＝4x. 答案：C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填 在题中的横线上) 13．(2017·天津卷)已知 a∈R，i 为虚数单位，若a－i 2＋i 为实数，则 a 的值为________． 解析：a－i 2＋i ＝1 5 (a－i)(2－i)＝2a－1 5 －a＋2 5 i 依题意a＋2 5 ＝0，所以 a＝－2. 答案：－2 14．已知圆的方程是 x2＋y2＝r2，则经过圆上一点 M(x0，y0)的切 线方程为 x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 类似的 性质为______________________________________________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程就是将圆 的方程中的一个 x 与 y 分别用 M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可 得椭圆x2 a2＋y2 b2 ＝1 类似的性质为：过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 上一点 P(x0，y0)的 切线方程为x0x a2 ＋y0y b2 ＝1. 答案：经过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0x a2 ＋y0y b2 ＝1 15．(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时 满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为________； ②该小组人数的最小值为________． 解析：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为 a，b，c， 则有 2c＞a＞b＞c，且 a，b，c∈Z. ①当 c＝4 时，b 的最大值为 6；②当 c＝3 时，a 的值为 5，b 的 值为 4，此时该小组人数的最小值为 12. 答案：①6　②12 16．已知线性回归直线方程是 y^ ＝ a^ ＋ b^ x，如果当 x＝3 时，y 的估计值是 17，x＝8 时，y 的估计值是 22，那么回归直线方程为 ______． 解析：首先把两组值代入回归直线方程得 {3 b^ ＋a^ ＝17， 8 b^ ＋a^ ＝22， 解得{ b^ ＝1， a^ ＝14. 所以回归直线方程是 y^ ＝x＋14. 答案： y^ ＝x＋14 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)复数 z＝1＋i，求实数 a，b，使 az＋2b z－ ＝(a＋2z)2. 解：因为 z＝1＋i， 所以 az＋2b z－ ＝(a＋2b)＋(a－2b)i， (a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i， 因为 a，b 都是实数， 所以{a＋2b＝a2＋4a， a－2b＝4（a＋2）， 解得{a＝－2， b＝－1，或{a＝－4， b＝2. 所以 a＝－2，b＝－1 或 a＝－4，b＝2. 18．(本小题满分 12 分)设 a，b，c 为一个三角形的三边，S＝1 2(a ＋b＋c)，且 S2＝2ab，求证：S<2a. 证明：因为 S2＝2ab，所以要证 S<2a， 只需证 S0)，故 x 与 y 之 间是正相关． (3)将 x＝7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y^ ＝0.3×7 －0.4＝1.7(千元)．