2020届二轮复习定积分和微积分基本定理学案（全国通用） 8页

定积分和微积分基本定理 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。‎ ‎2.正确计算定积分，利用定积分求面积。‎ ‎【知识网络】‎ ‎【考点梳理】‎ 要点一、定积分的概念 定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.‎ 要点诠释：‎ ‎（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；‎ ‎（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.‎ 要点二、定积分的性质 ‎（1）（为常数），‎ ‎（2），‎ ‎（3）（其中），‎ ‎（4）利用函数的奇偶性求积分：‎ ‎ 若函数在区间上是奇函数，则；‎ 若函数在区间上是偶函数，则.‎ 要点三、微积分基本定理 如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.‎ 一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.‎ 要点诠释：‎ 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.‎ 要点四、定积分的几何意义 设函数在区间上连续.‎ 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.‎ 在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；‎ 在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.‎ 要点五、应用 ‎（一）应用定积分求曲边梯形的面积 ‎1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线 ‎()围成的曲边梯形的面积：；‎ ‎2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线 ‎()围成的曲边梯形的面积：；‎ ‎3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.‎ ‎4.利用定积分求平面图形面积的步骤：‎ ‎（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；‎ ‎（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；‎ ‎（3）写出定积分表达式；‎ ‎（4）求出平面图形的面积.‎ ‎（二）利用定积分解决物理问题 ‎①变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.‎ ‎②变力作功 物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分 ‎（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴；‎ ‎【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】计算下列定积分的值：‎ ‎（1）， （2） ‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）‎ 定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】‎ 例2.求 ‎【解析】‎ ‎【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】计算下列定积分的值.‎ ‎（1）； （2）； （3）； ‎ ‎【解析】（1），‎ ‎（2）.‎ ‎（3）.‎ 例3.求定积分 ‎ ，求函数在区间上的积分；‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求定积分：；‎ ‎【解析】＝＋‎ ‎＝ ＋‎ ‎＝‎ ‎＝‎ 类型二：利用定积分的几何定义 例4. （2017 河南商丘模拟）求定积分：； ‎ ‎2‎ ‎【解析】设，则表示个圆，‎ ‎0‎ ‎2‎ 由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,‎ 所以 举一反三：‎ ‎【变式】求定积分：‎ ‎【解析】设，则表示如图的曲边形，‎ 其面积,‎ 故.‎ 类型三：利用定积分求平面图形面积 例5.(2018 山东淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)‎ A.‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】　由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即，选A.‎ ‎【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.‎ 求图形的面积的一般步骤是：‎ ‎（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；‎ ‎（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）； ‎ ‎（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；‎ ‎（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；‎ ‎（5）计算各个定积分，求出所求的面积.‎ 举一反三：‎ 定积分和微积分基本定理394577 ‎ ‎【变式1】由直线，，曲线及轴所围图形的面积为( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】D ‎【变式2】(2018江西宜春月考)已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．‎ ‎【解析】∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，‎ 设过点(1,2)处的切线的斜率为k，‎ 则k＝f′(1)＝3x2－2x＋1＝2，‎ ‎∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即y＝2x.‎ y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：‎ 由可得交点A(2,4)．‎ ‎∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积 类型四：利用定积分解决物理问题 例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？‎ ‎【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，‎ 当时，汽车速度公里/小时＝米/ 秒8.88米/秒.‎ 刹车后汽车减速行驶，其速度为.‎ 当汽车停车时，速度，‎ 故从到用的时间秒.‎ 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是 ‎ ＝米.‎ 即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.‎ ‎【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】一物体在力的作用下，沿着与相同的方向，从处运动到处，求力所做的功。‎ ‎【解析】.‎ ‎【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止。求：‎ ‎（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；‎ ‎（2）紧急刹车后火车运行的路程。‎ ‎【解析】（1）由解得，因此，火车经过后完全停止；‎ ‎（2）=。‎