【数学】2020届一轮复习人教版（理）第五章第三节　等比数列及其前n项和作业 9页

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级　基础夯实练 1．(2018·四川绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列， Sn 为其前 n 项和．已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5 等于(　　) A.15 2 　　　　　　　　　　 B．31 4 C.33 4 D．17 2 解析：选 B.设数列{an}的公比为 q，则显然 q≠1，由题意得Error! 解得Error!或Error!(舍去)，∴S5＝a1(1－q5) 1－q ＝ 4(1－ 1 25) 1－1 2 ＝31 4 . 2．(2018·浙江丽水模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝a·2n －1＋1 6 ，则 a 的值为(　　) A．－1 3 B．1 3 C．－1 2 D．1 2 解析：选 A.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2， 当 n＝1 时，a1＝S1＝a＋1 6 ，所以 a＋1 6 ＝a 2 ，所以 a＝－1 3 . 3．(2018·东北六校联考)已知数列 1，a1，a2,9 是等差数列，数列 1，b1，b2，b3,9 是等比数列，则 b2 a1＋a2 的值为(　　) A. 7 10 B．7 5 C. 3 10 D．1 2 解析：选 C.因为 1，a1，a2,9 是等差数列，所以 a1＋a2＝1＋9＝ 10.又 1，b1，b2，b3,9 是等比数列，所以 b22＝1×9＝9，因为 b21＝b2＞ 0，所以 b2＝3，所以 b2 a1＋a2 ＝ 3 10 . 4．(2018·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如 下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意 思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件， 若要使织布的总尺数不少于 30，该女子所需的天数至少为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选 B.设该女子第一天织布 x 尺，则x(1－25) 1－2 ＝5，得 x＝ 5 31 ， ∴前 n 天所织布的尺数为 5 31 (2n －1)．由 5 31 (2n －1)≥30，得 2n≥187，则 n 的最小值为 8. 5．(2018·福州模拟)已知数列{an}满足 log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)， 且 a2＋a4＋a6＝9，则 log1 3 (a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－5 B．－1 5 C．5 D．1 5 解析：选 A.因为 log3an＋1＝log3an＋1，所以 an＋1＝3an. 所以数列{an}是公比 q＝3 的等比数列， 所以 a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9. 所以 a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35. 所以 log1 3 35＝－log335＝－5. 6．(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋ a8＝4，a1a2·…·a 8＝16，则 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 a8 的值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选 A.由分数的性质得到 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 a8 ＝a8＋a1 a8a1 ＋a7＋a2 a7a2 ＋ … ＋ a4＋a5 a4a5 . 因 为 a8a1 ＝ a7a2 ＝ a3a6 ＝ a4a5 ， 所 以 原 式 ＝ a1＋a2＋…＋a8 a4a5 ＝ 4 a4a5 ，又 a1a2·…·a 8＝16＝(a 4a5)4，an＞0，∴a 4a5＝ 2，∴ 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 a8 ＝2. 7．(2018·青岛二模)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1 4 ，则 a1a2 ＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是(　　) A．[12,16] B．[8，32 3 ] C.[8，32 3 ) D．[16 3 ，32 3 ] 解析：选 C.因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1 4 ，所以 q3＝a5 a2 ＝ 1 8 ，q＝1 2 ，a1＝4，故 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝a1a2(1－q2n) 1－q2 ＝32 3 (1－q2n) ∈[8，32 3 )，故选 C. 8．(2018·兰州、张掖联考)已知数列{a n}的首项为 1，数列{bn}为 等比数列且 bn＝an＋1 an ，若 b10·b11＝2，则 a21＝________. 解析：∵b1＝a2 a1 ＝a2，b2＝a3 a2 ， ∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝a4 a3 ， ∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·b n－1， ∴a21＝b1b2b3·…·b 20＝(b10b11)10＝210＝1 024. 答案：1 024 9．设等比数列{an}满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2·…·a n 的 最大值为________． 解析：设等比数列{an}的公比为 q，则由 a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1 ＋a3)＝5，知 q＝1 2 .又 a1＋a1q2＝10， ∴a1＝8. 故 a1a2·…·a n＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·(1 2 )(n－1)n 2 ＝23n－n2 2 ＋n 2 ＝2－n2 2 ＋7 2 n. 记 t＝－n2 2 ＋7n 2 ＝－1 2 (n2－7n)＝－1 2(n－7 2)2＋49 8 ， 结合 n∈N*可知 n＝3 或 4 时，t 有最大值 6. 又 y＝2t 为增函数，从而 a1a2·…·a n 的最大值为 26＝64. 答案：64 10．(2018·广东中山调研)设数列{a n}的前 n 项和为 Sn，a1＝1， 且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求 a1＋a3＋…＋a2n＋1. 解：(1)∵S1＝a1＝1， 且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列， ∴Sn＝2n－1， 又当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2. 当 n＝1 时 a1＝1，不适合上式． ∴an＝Error! (2)∵a3，a5，…，a2n＋1 是以 2 为首项，以 4 为公比的等比数列， ∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝2(1－4n) 1－4 ＝2(4n－1) 3 . ∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋2(4n－1) 3 ＝22n＋1＋1 3 . B 级　能力提升练 11．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q＜0”是“对 任意的正整数 n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　) A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.若对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n＜0，则 a1＋a2＜0， 又 a1＞0，所以 a2＜0，所以 q＝a2 a1 ＜0.若 q＜0，可取 q＝－1，a1＝1， 则 a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q ＜0”是“对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件， 故选 C. 12．(2018·济南模拟)设数列{a n}是以 3 为首项，1 为公差的等差 数列，{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 ba1＋ba2＋ba3＋ba4 ＝(　　) A．15 B．60 C．63 D．72 解析：选 B.由数列{an}是以 3 为首项，1 为公差的等差数列，得 数列{an}的通项公式为 an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由数列{bn}是以 1 为首 项，2 为公比的等比数列，得数列{bn}的通项公式为 bn＝b1qn－1＝2n－ 1，所以 ban＝2n＋1 ，所以 ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝ 4 × (1－24) 1－2 ＝60. 13．(2018·湖北黄石检测)已知等差数列{a n}的公差 d＞0，且 a2， a5－1，a 10 成等比数列，若 a1＝5，S n 为数列{an}的前 n 项和，则 2Sn＋n＋32 an＋1 的最小值为________． 解析：由于 a2，a5－1，a10 成等比数列，所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1 ＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又 a1＝5，所以 d＝3，所以 an＝5＋3(n －1)＝3n＋2，Sn＝na1＋n(n－1) 2 d＝5n＋3 2 n(n－1)，所以2Sn＋n＋32 an＋1 ＝ 3n2＋8n＋32 3n＋3 ＝1 3 [3(n＋1)＋ 27 n＋1 ＋2]≥20 3 ，当且仅当 3(n＋1)＝ 27 n＋1 ， 即 n＝2 时等号成立． 答案：20 3 14．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝31 32 ，求 λ. 解：(1)证明：由题意得 a1＝S1＝1＋λa1， 故 λ≠1，a1＝ 1 1－λ ，故 a1≠0. 由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan. 由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以an＋1 an ＝ λ λ－1 . 因此{an}是首项为 1 1－λ ，公比为 λ λ－1 的等比数列， 于是 an＝ 1 1－λ( λ λ－1)n－1. (2)由(1)得 Sn＝1－( λ λ－1)n. 由 S5＝31 32 得 1－( λ λ－1)5＝31 32 ，即 ( λ λ－1)5＝ 1 32 . 解得 λ＝－1. 15．(2018·河北省“五个一名校联盟”高三模拟)已知数列{an}是 等差数列，a2＝6，前 n 项和为 Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3 ＝12，S3＋b1＝19. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{bncos(anπ)}的前 n 项和 Tn. 解：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6， ∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19， ∴b1＝1， ∵b2＝2，数列{bn}是等比数列， ∴bn＝2n－1. ∴b3＝4， ∵a1b3＝12，∴a1＝3， ∵a2＝6，数列{an}是等差数列， ∴an＝3n. (2)设 Cn＝bncos(anπ)，由(1)得 Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1， 则 Cn＋1＝(－1)n＋12n， ∴Cn＋1 Cn ＝－2， 又 C1＝－1， ∴数列{bncos(anπ)}是以－1 为首项、－2 为公比的等比数列． ∴Tn＝－1 × [1－(－2)n] 1－(－2) ＝1 3 [(－2)n－1]． C 级　素养加强练 16．(2018·辽宁鞍山模拟)已知等比数列{a n}满足：|a2－a3|＝10， a1a2a3＝125. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 m，使得 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 am ≥1？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{an}的公比为 q， 则由已知可得Error! 解得Error!或Error! 故 an＝5 3 ·3n－1，或 an＝－5·(－1)n－1. (2)若 an＝5 3 ·3n－1，则 1 an ＝3 5 ·(1 3 )n－1， 故{ 1 an }是首项为3 5 ，公比为1 3 的等比数列 ， 从而 m ∑ n＝1 1 an ＝ 3 5·[1－(1 3 )m] 1－1 3 ＝ 9 10 ·[1－(1 3 )m]＜ 9 10 ＜1. 若 an＝(－5)·(－1)n－1， 则 1 an ＝－1 5 (－1)n－1， 故{ 1 an }是首项为－1 5 ，公比为－1 的等比数列，从而 m ∑ n＝1 1 an ＝Error! 故 m ∑ n＝1 1 an ＜1. 综上，对任意正整数 m，总有 m ∑ n＝1 1 an ＜1. 故不存在正整数 m，使得 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 am ≥1 成立．