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- 2021-06-11 发布
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对应学生用书[考案8理]
第八章 综合过关规范限时检测(理)
(时间:120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a的值为( C )
A.0 B.-
C.0或 D.
[解析] 与直线ax+y-1=0垂直的直线方程为x-ay+c=0,将点P(1,2)代入得,c=2a-1,则直线x-ay+2a-1=0与圆x2+y2=1相切,∴=1,解得a=或0.
2.(2019·安徽模拟)抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为( B )
A. B.
C.1 D.
[解析] 抛物线y=x2的焦点为(0,1),双曲线y2-=1的渐近线方程为x±y=0,则焦点到双曲线渐近线的距离为=,故选B.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( A )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
[解析] 由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,
又e==,所以c=1,则b2=2,
故C的方程为+=1.故选A.
4.(2019·广东模拟)双曲线E的中心在原点,离心率等于2,若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则双曲线E的虚轴长等于( D )
A.4 B.
C.2 D.4
[解析] 因为y2=8x的焦点坐标是(2,0),所以双曲线E的一个顶点为(2,0),即a=2.又因为离心率e===2,所以c=4.因此b==2,虚轴长等于2b=4,故选D.
5.过双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左焦点(-,0)作圆(x-)2+y2=4的切线,切点在双曲线E上,则E的离心率等于( B )
A.2 B.
C. D.
[解析] 记切点为M,左焦点为F1,右焦点为F2,则F2(,0)为题中的圆的圆心,连接MF2,则MF2⊥MF1,|MF2|=2,所以|MF1|==4,因此双曲线E的离心率等于===,选B.
6.若过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( D )
A.-2 B.-
C.-4 D.-
[解析] 由y=2x2,得x2=y.其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-,选D.
7.已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴顶点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为( B )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
[解析] 易知圆O:x2+y2=4的半径为2,因为圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴顶点和两个焦点,所以b=c=2,所以a2=b2+c2=8,所以椭圆C的标准方程为+=1,故选B.
8.(2019·山东师大附中模拟)过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,则满足|AB|=6的直线l有( B )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
[解析] 当直线l的倾斜角为90°时,|AB|=6;当直线l的倾斜角为0°时,|AB
|=2<6.故当直线l适当倾斜时,还可作出两条直线使得|AB|=6,故选B.
9.(2019·福建模拟)已知椭圆:+=1(00),即x2+(y-1)2=1(x≥0),如图,圆心(0,1)到直线x-y-2=0的距离为=,结合图形可知曲线上的点到直线的距离的最小值为-1,最大值为点(0,2)到直线x-y-2=0的距离=2,因此a=2,b=-1,a-b=+1.
11.(2018·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( C )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[解析] ∵双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+,∴=3,即b2=3a2,
∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵=3,∴渐近线方程为y=±x,
则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1==a,
d2==a,
又∵d1+d2=6,∴a+a=6,
解得a=,∴b2=9.
∴双曲线的方程为-=1,故选C.
12.(2018·课标Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( D )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),①
直线PF2的方程为y=(x-c).②
联立①②得y=(a+c),
如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c).
因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c)
所以sin60°===,即a=4c,
所以e==.故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2019·陕西质检)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是_____.
[解析] 设O为坐标原点,连接OM,则OM⊥PF,又M为FP的中点,所以△POF为等腰直角三角形,即∠PFO=45°,则不妨令切线FM的方程为x+y=c,由圆心到切线的距离等于半径得=a,所以e==.
14.(2019·济南模拟)已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2.椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为__2___.
[解析] 圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2(m<0),则由题意得m2+3=4,即m2=1,∴m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知直线l的方程为x=-c.又∵直线l与圆M相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2.
15.(2019·温州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,P是抛物线C上的点,且PF⊥x轴,若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2,则实数p的值为__2___.
[解析] 由题可知,△APF为直角三角形,设直线AP与以AF为直径的圆的另一个交点为B,则BF⊥AB,因为AF=PF=p,所以BF=,易知AF2=AB×AP,所以AP=,又AP×BF=AF×PF,即×=p2,解得p=2.
16.已知椭圆C:+=1(a>b>0),点M,N,F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点,若∠MFN=∠NMF+90°,则椭圆C的离心率是_____.
[解析] 如图,tan∠NMF=,tan∠NFO=,∵∠MFN=∠NMF+90°,∴∠NFO=180°-∠MFN=90°-∠NMF,即tan∠NFO=,∴=,则b2=a2-c2=ac,∴e2+e-1=0,又0b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.
[解析] (1)由题意得解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).
设P(x0,y0),则x+4y=4.
当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).
令x=0,得yM=-,
从而|BM|=|1-yM|=|1+|.
直线PB的方程为y=x+1.
令y=0,得xN=-,
从而|AN|=|2-xN|=|2+|.
所以|AN|·|BM|=|2+|·|1+|
=||
=||
=4.
当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
所以|AN|·|BM|=4.
综上,|AN|·|BM|为定值.
18.(本题满分15分)(2019·海宁模拟)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,点B的横坐标为2,F为抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆相交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.
[解析] (1)设B(2,y0),
由题意得
解得所以抛物线的方程为x2=4y.
(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上,因为直线l过点F(0,1)且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.
联立,得,消去y,
得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-,
|P1P3|=·
=·=.
联立,得消去y,得x2-4x-4=0,
所以x2+x4=4,x2x4=-4,
|P2P4|=·
=·=8.
由题意,易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|,①
|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,②
①-②得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,
所以|P1P2|-|P3P4|=-8.
19.(本题满分15分)(2019·绵阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsinθ+ycosθ-1=0相切(θ为常数).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N两点,求·的取值范围.
[解析] (1)由题意,得⇒
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0).
①若直线l的斜率不存在,则直线l⊥x轴,直线l的方程为x=1,不妨记M(1,),N(1,-),
∴=(2,),=(2,-),故·=.
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),
由消去y得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),
则·=(x1+1)(x2+1)+y2y2
=(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)·k(x2-1)
=(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2
=++1+k2
=
=-,
由k2≥0可得·∈[-1,).
综上,·∈[-1,].
20.(本题满分15分)(2019·大连模拟)已知直线y=2x与抛物线Γ:y2=2px(p>0)交于O和E两点,且|OE|=.
(1)求抛物线Γ的方程;
(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线Γ于A,B两点,P为直线x=-2上一点,PA,PB分别与x轴相交于M,N两点,问M,N两点的横坐标的乘积xM·xN是否为定值?如果是定值,求出该定值,否则说明理由.
[解析] (1)由y2=2px与y=2x,解得交点O(0,0),E(,p),∴|OE|==,得p=2,
∴抛物线Γ的方程为y2=4x.
(2)设直线AB的方程为x=ty+2,代入y2=4x中,
则y2-4ty-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴
设P(-2,y0),则直线PA的方程为y-y0=(x+2),
令y=0,得(y0-y1)xM=y0x1+2y1,③
同理可得(y0-y2)xN=y0x2+2y2,④
由③×④得(y0-y1)(y0-y2)xM·xN=(y0x1+2y1)(y0x2+2y2),
即[y-(y1+y2)y0+y1y2]xM·xN=yx1x2+2y0(y1x2+y2x1)+4y1y2=y×+2y0(y1×+y2×)+4y1y2=y×yy+y0y1y2×+4y1y2,
由①②可得(y-4ty0-8)xM·xN=4(y-4ty0-8),
当点P不在直线AB上时,y-4ty0-8≠0,∴xM·xN=4;
当点P在直线AB上时,xM=xN=xQ=2,∴xM·xN=4.综上,xM·xN为定值,且定值为4.
21.(本题满分15分)(2019·银川模拟)如图,曲线C由左半椭圆M:+=1(a>b>0,x≤0)和圆N:(x-2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.
(1)若|PQ|的最大值为4+,求半椭圆M的方程;
(2)若直线PQ过点A,且=-2,⊥,求半椭圆M的离心率.
[解析] (1)令x=0,由(x-2)2+y2=5得y=±1,
∴A(0,1),B(0,-1),∴b=1.
由题意可知当P,Q均在x轴上时,|PQ|取得最大值,
∴a+2+=4+,∴a=2,
∴半椭圆M的方程为+y2=1(x≤0).
(2)由(1)得A(0,1),B(0,-1),∴b=1.
依题意得直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+1,
设P(x1,y1),由,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
∴x1=-,
设Q(x2,y2),由,得(1+k2)x2+2(k-2)x=0,
∴x2=,
∵=-2,∴x1=-x2,
∵⊥,∴·=0,
又=(x1,y1+1),=(x2,y2+1),
y1=kx1+1,y2=kx2+1,
∴(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
∴(1+k2)x-2kx2-8=0,
将x2=代入上式得k=,
∴x1=-,x2=3,∴-=-,解得a2=3,
由b=1,得c2=2,∴e=.
22.(本题满分15分)(2017·山东平阳模拟)已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆上异于A的不同两点,且直线AM与AN的斜率之积为-3.
①试问M,N所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
②若P为椭圆C上异于M,N的一点,且|MP|=|NP|,求△MNP的面积的最小值.
[解析] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则c=,又=,
∴a=,∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆C的标准方程为+x2=1.
(2)①由题意得A(0,-).
若直线MN的斜率不存在,设M(x1,y1),N(x1,-y1),
则kAM·kAN=·==3,不满足题意.
∴直线MN的斜率存在.
设MN所在直线方程为y=kx+m.
联立消去y,
得(k2+3)x2+2kmx+m2-3=0,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
kAM=,kAN=,
kAM·kAN==
==
=-3.
整理得m=0.
∴直线MN的方程为y=kx,直线MN过定点(0,0).
②由①知x=m,y=,
而|MP|=|NP|,∴OP⊥MN.
当k≠0时,设OP所在直线方程为y=-x,
则x=,y=.
当k=0时,亦符合上式.
∴S△MNP=|OM|·|OP|=·
=·=3.
令k2+1=t(t≥1),k2=t-1,
S△MNP=3=3.
∵t≥1,∴0<≤1,
当=,即t=2时,-++3取得最大值4,
∴当k2=1,即k=±1时,△MNP的面积最小,最小值为.