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- 2021-06-11 发布
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2020届四川省绵阳市高中高三第二次诊断性测试数学(理)试题
一、单选题
1.设全集,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先确定集合的元素,再由补集定义求解.
【详解】
由题意,∴.
故选:D.
【点睛】
本题考查补集的运算,解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算.本题还考查了指数函数的单调性.
2.已知为虚数单位,复数满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由除法计算出复数.
【详解】
由题意.
故选:A.
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
3.已知两个力,作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得.
【详解】
根据力的合成可知
因为物体保持静止,即合力为,则
即
故选:A
【点睛】
本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题.
4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形.然后计数后可概率.
【详解】
两景点用1,2表示,三人选择景点的各种情形为:甲1乙1丙1 ,甲1乙1丙2 ,甲1乙2丙1 ,甲2乙1丙1 ,甲2乙2丙1 ,甲2乙1丙2 ,甲1乙2丙2 ,甲2乙2丙2 共8种,其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种,所以概率为.
故选:B.
【点睛】
本题考查古典概型,解题时可用列举法写出所有的基本事件.
5.已知为任意角,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
【答案】B
【解析】说明命题和
是否为真即可.
【详解】
,则,因此“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断,只要命题为真,则是的充分条件,是的必要条件.
6.若的展开式中各项系数的和为1,则该展开式中含项的系数为( )
A.-80 B.-10 C.10 D.80
【答案】A
【解析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得项的系数.
【详解】
因为的展开式中各项系数的和为1
令代入可得,解得
即二项式为
展开式中含的项为
所以展开式中含项的系数为
故选:A
【点睛】
本题考查了二项定理展开式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.
7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表:
(单位:万元)
0
1
2
3
4
10
15
30
35
(单位:万元)
若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为,则下列说法中错误的是( )
A.产品的销售额与广告费用成正相关
B.该回归直线过点
C.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元
D.的值是20
【答案】C
【解析】根据回归直线方程中系数为正,说明两者是正相关,求出后,再由回归方程求出,然后再求得,同样利用回归方程可计算出时的预估值.
【详解】
因为回归直线方程中系数为6.5>0,因此,产品的销售额与广告费用成正相关,A正确;
又,∴,回归直线一定过点,B正确;
时,,说明广告费用为10万元时,销售额估计为74万元,不是一定为74万元,C错误;
由,得,D正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查回归直线方程,回归直线方程中系数的正负说明两变量间正负相关性,回归直线一定过中心点,回归直线方程中计算的值是预估值,不是确定值.
8.双曲线的右焦点为,过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于,两点,若四边形(为坐标原点)的面积为,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.3
【答案】B
【解析】把四边形面积用表示出来,它等于,变形后可求得离心率.
【详解】
由题意,渐近线方程为,不妨设方程为,
由,得,即,同理,
∴,由题意,∴.
故选:B.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率.求离心率关键是找到关于的一个等式,本题中四边形的面积是就是这个等式,因此只要按部就班地求出其面积即可得.
9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为,则的期望为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】根据古典概型概率求法,列举出现的所有可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.
【详解】
进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:
(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)
(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)
则小明得1分的概率为,得0分的概率为
进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分
由独立重复试验的概率计算公式可得:
则得分情况的分布列如下表所示:
0
1
2
3
4
P
则的期望
故选:C
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于基础题.
10.已知圆:,点,在圆上,平面上一动点满足且,则的最大值为( )
A.4 B. C.6 D.
【答案】D
【解析】根据几何意义可知动点位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得的最大值.
【详解】
圆:
化成标准方程可得
所以圆C的半径为
因为点,在圆上,动点满足且
所以位于以为直径的圆上,位置关系如下图所示:
则,即
在三角形中,由正弦定理可得
代入可得
则
因为
所以的最大值为
故选:D
【点睛】
本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何性质,正弦定理的简单应用,属于中档题.
11.已知为偶函数,且当时,,则满足不等式的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由偶函数性质把不等式化为,由导数确定函数在上的单调性,利用单调性解不等式.
【详解】
∵是偶函数,∴,则不等式可化为,即,
时,,,
令,则,∴是上的增函数,∴当时,,
∴时,,∴在上是增函数,
∴由得,即,.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性,考查解对数不等式.此各种类型不等式的解法是:本题这种类型的不等式有两种,一种是奇函数,不等式为,转化为,一种是偶函数,不等式为,转化为,然后由单调性去函数符号“”.
12.函数在区间上恰有一个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据函数零点存在定理可求得的取值范围.并根据区间上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终的取值范围.
【详解】
函数在区间上恰有一个零点,
则,
由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.
且因为恰有一个零点,所以满足且与在上不同时成立.
解不等式可得
当时,函数,区间为
且满足,,
所以在内有一个零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求
综上可知, 的取值范围为
故选:D
【点睛】
本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题.
二、填空题
13.直线:与直线平行,则实数的值是______.
【答案】2.
【解析】由两直线平行的条件判断.
【详解】
由题意,解得.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查两直线平行的充要条件,两直线和平行,条件是必要条件,不是充分条件,还必须有或,但在时,两直线平行的充要条件是.
14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法,受其启发,我们设计如下实验来估计的值:先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对;再统计两数的平方和小于1的数对的个数;最后再根据统计数来估计的值.已知某同学一次试验统计出,则其试验估计为______.
【答案】3.12
【解析】横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计的值.
【详解】
横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形,
两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:
则阴影部分与正方形面积的比值为
由几何概型概率计算公式可知
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.
15.函数的图象如图所示,则在区间上的零点之和为______.
【答案】.
【解析】先求出周期,确定,再由点确定,得函数解析式,然后可求出上的所有零点.
【详解】
由题意,∴,又且,∴,
∴.
由得,,,
在内有:,它们的和为.
【点睛】
本题考查三角函数的零点,由三角函数图象求出函数解析式,然后解方程得出零点,就可确定在已知范围内的零点.本题也可用对称性求解,由函数周期是,区间含有两个周期,而区间端点不是函数零点,因此在上有4个零点,它们关于直线对称,由此可得4个零点的和.
16.过点的直线与抛物线:交于,两点(在,之间),是抛物线的焦点,点满足:,则与的面积之和的最小值是______.
【答案】8
【解析】根据直线过点,设出直线的方程.联立抛物线后可表示出、两点的纵坐标,利用可表示出点的纵坐标.由三角形面积公式可表示出与的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.
【详解】
根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:
因为直线过点
设直线的方程为
则,化简可得
因为有两个不同交点,则,解得或
不妨设,
则解方程可得
因为,则
所以
所以
则
,()
令
则
令
解得
当时, ,所以在内单调递减
当时, ,所以在内单调递增
即当时取得最小值.
所以
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.
三、解答题
17.每年的4月23日为“世界读书日”,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名),统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间(小时)的频率分布直方图如图所示:
(1)求样本学生一个月阅读时间的中位数.
(2)已知样本中阅读时间低于的女生有30名,请根据题目信息完成下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
列联表
男
女
总计
总计
附表:
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
其中:.
【答案】(1);(2)不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
【解析】(1)频率为0.5对应的点的横坐标为中位数;
(2)100名学生中男生45名,女生55名,由频率分布直方图知,阅读时长大于等于的人数为50人,小于的也有50人,阅读时间低于的女生有30名,这样可得列联表中的各数,得列联表,依据公式计算,对照附表可得结论.
【详解】
(1)由题意得,直方图中第一组,第二组的频率之和为
.
所以阅读时间的中位数.
(2)由题意得,男生人数为45人,因此女生人数为55人,
由频率分布直方图知,阅读时长大于等于的人数为人,
故列联表补充如下:
男
女
总计
25
25
50
20
30
50
总计
45
55
100
的观测值,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
【点睛】
本题考查频率分布直方图,考查独立性检验.正确认识频率分布直方图是解题基础.
18.已知等差数列的前项和为,且满足,.各项均为正数的等比数列满足,.
(1)求和;
(2)求和:.
【答案】(1) .. (2)
【解析】(1)根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列与数列的通项公式.
(2)根据等比数列的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.
【详解】
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由题意,得,解得,
∴
∵等比数列的各项均为正数
由解得或(舍)
∴
(2)由(1)得,
.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法,等比数列前n项和公式的简单应用,属于基础题.
19.在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.
(1)求;
(2)若为边上一点,且,,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由正弦定理把角的关系转化为边的关系,再由余弦定理可求得;
(2)把的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系,由,即即代入可得,再代入余弦定理中可求得,从而可得,于是得的值.
【详解】
(1)在中,由正弦定理得
,即.
由余弦定理得,
结合,可知.
(2)在中,,即.
由已知,可得.
在中,由余弦定理得,
即,整理得,即,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,第(2)问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式:.
20.已知椭圆:,直线交椭圆于,两点.
(1)若点满足(为坐标原点),求弦的长;
(2)若直线的斜率不为0且过点,为点关于轴的对称点,点满足,求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设出,两点的坐标,结合关系式,即可得线段的中点坐标.利用点差法可求得直线的斜率,根据点斜式求得直线的方程.再结合弦长公式即可求得弦的长;
(2)设出直线的方程,根据M的坐标及可知.由两点的斜率公式,可得,将,两点的坐标代入直线方程后,整理代入的表达式,联立圆的方程,即可得关于的方程.进而用韦达定理求得n的值即可.
【详解】
(1)设,
由,且点,得,.①
∴线段的中点坐标为,其在椭圆内
由两式相减得,
整理得,即.
将①代入,得.
∴直线方程为,即.
联立消去得,
由韦达定理得,.
∴.
(2)设直线的方程为,由题意得,
由已知,可知,,三点共线,即.
∴,即,
解得.
将,,代入得.②
联立消去得
由韦达定理得,.③
将③代入②得到
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系,点差法在求直线方程中的应用,弦长公式的用法,综合性较强,属于难题.
21.已知函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,记函数的两个极值点为,(其中),当的最大值为时,求实数的取值范围.
【答案】(1) 当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减. (2)
【解析】(1)先求得的导函数,并令.通过对判别式及的讨论,即可判断单调性.
(2)根据(1)可知当时,有两极值点,,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得的值.解得,的值.即可得的取值范围.
【详解】
(1).
令,则.
①当或,即时,得恒成立,
∴在上单调递增.
②当,即时,
由,得或;
由,得.
∴函数在和上单调递增,
在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,
在上单调递减.
(2)由(1)得,当时,有两极值点,(其中).
由(1)得,为的两根,
于是,.
∴
.
令,则.
∵,
∴在上单调递减.
由已知的最大值为,
而.
∴.
设的取值集合为,则只要满足且中的最小元素为2的集合均符合题意.
又,易知在上单调递增,
结合,可得与是一一对应关系.
而当,即时,联合,
解得,,进而可得.
∴实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题.
22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的直角坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程,曲线的极坐标方程;
(2)若,是曲线上两点,当时,求的取值范围.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)由消元后得普通方程,由代入直角坐标方程可得极坐标方程;
(2)直接把两点的极坐标代入曲线的极坐标方程,得,这样就可转化为三角函数式,利用三角函数知识可得取值范围.
【详解】
(1)将的参数方程化为普通方程为.
由,,
得点的直角坐标为,代入,得,
∴曲线的普通方程为.
可化为,即,
∴曲线的极坐标方程为.
(2)将点,代入曲线的极坐标方程,
得,,
∴
.
由已知,可得,
于是.
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查参数方程与普通方程的互化.消元法和公式法是解决此类问题的常用方法.
23.已知关于的不等式,其中.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若该不等式对恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式,最后要合并(求并集);
(2)设,同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数,求得的最大值,解相应不等式可得的范围.
【详解】
(1)由时,.原不等式化为,
当时,,解得,综合得;
当时,,解得,综合得;
当时,,解得,综合得.
∴不等式的解集为.
(2)设函数,
画图可知,函数的最大值为.
由,解得.
【点睛】
本题考查解含绝对值的不等式,解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号,用分类讨论的方法分段解不等式.